Ω - Facoltà di Ingegneria di Taranto

Politecnico di Bari - Facoltà di Architettura
Corso di Fisica Tecnica
Lavoro di dilatazione
Il lavoro fatto dall’esterno (o dal fluido verso l’esterno) su ogni
porzione di superficie dΩ vale: F⋅ds = (p⋅dΩ)⋅ds= p⋅dv. Il lavoro
totale è l’integrale di questa espressione estesa a tutta la superficie.
∫ p ⋅ ds ⋅ dΩ = ∫ p ⋅ dv
Ω
V
E’ importante sottolineare che perché ci sia lavoro di espansione
deve esserci una pressione esterna che deve operare sul sistema.
Solo nelle trasformazioni reversibili si ha che pdV = pesterna dV.
Il lavoro di dilatazione rappresenta il totale lavoro delle forze
interne.
Equivalenza calore-lavoro
Sperimentalmente è stata definita l’equivalenza tra il lavoro e il calore.
L’unità di misura del calore era stata definita come la quantità di calore necessaria ad innalzare la
temperatura di un kilogrammo di acqua da 14,5 a 15,5 °C chiamata
kcal. Con l’esperimento descritto nella figura è stato stabilito che 1
kcal equivale a 4186,8 J.
Il calore come il lavoro sono grandezze di trasformazione e non di
stato. Esse, cioè, non descrivono uno stato del sistema ma lo scambio di
energia avvenuto sotto determinate condizioni.
Quindi non si può affermare che un sistema contiene una certa quantità
di calore o di lavoro.
Trasformazioni reversibili o irreversibili
Una trasformazione si dice reversibile se avviene in maniera estremamente lenta tra stati di
equilibrio: la pressione è sempre uniforme, le differenze di temperatura sono infinitesime per cui in
ogni stato della trasformazione essa può indifferentemente procedere o invertire il suo verso.
Quando una sola di queste condizione non è verificata la trasformazione è irreversibile. Nella realtà
non è possibile realizzare trasformazioni reversibili.
Attrito
L’attrito è una delle più conosciute cause di irreversibilità: l’inversione del verso della
trasformazione non recupera l’energia persa per attrito anzi vi è un ulteriore perdita di energia.
L’attrito, è importante sottolineare, non si esercita solo tra il fluido e le pareti che lo contengono ma
anche tra le particelle del fluido stesso.
Primo principio della termodinamica
Se consideriamo il bilancio (somma con il segno) dell’energia scambiata da un corpo sia sotto
forma di calore che sotto forma di lavoro definiamo una grandezza del sistema chiamata energia
interna indicata con U che è un’energia statica. Se consideriamo l’energia entrante, si ha:
ΣδQ1,2 - ΣδL1,2 = dU + ΣEi
1
Politecnico di Bari – Ingegneria II
Matematicamente si afferma che una forma differenziale è un differenziale esatto se esiste una
funzione, nelle stesse variabili, il cui differenziale totale è uguale alla forma differenziale.
Per il differenziale totale valgono le relazioni ∫ f ( x, y) = 0
Se indichiamo con 1 e 2 due punti di una trasformazione ciclica in cui
si ha ∫ f ( x, y) = 0 , otteniamo:
2
1
2
2
∫ f ( x , y ) A + ∫ f ( x , y) B = 0 → ∫ f ( x , y ) A = ∫ f ( x , y) B
1
2
1
1
.L’integrale circolare è uguale a zero e l’integrale tra due valori dipende
solo dai due punti e non dalla funzione che li collega.
L’energia interna può essere espressa attraverso due grandezze di stato.
E’ più comodo esprimerla in funzione di v e T.
dU  ∂U   ∂U 
∂
 ∂U 
(δQ − pdv )v = dQ = c v
=
 +
 → 
 =
dT  ∂T  v  ∂v  T
dT
 ∂T  v ∂T
 ∂U 
dU = c v ⋅ dT + 
 dv
 ∂v  T
Dall’esperimento di Joule si vede che l’energia interna non cambia al variare del volume specifico
per cui si ha: dU =cv ⋅dT Quindi la forma differenziale dq - pdv è il differenziale esatto della
funzione U(v,T) chiamata energia interna.
Esperimento di Joule
e quindi
E’ importante specificare che pur includendo il calore specifico a volume costante nella definizione
dell’energia interna, tale relazione è valida in qualsiasi condizione.
In definitiva possiamo scrivere che:
δQ = dU + δL ovvero δQ = dU + pdv e, per unità di massa, q1, 2 = ∆U + ∫ pdv
Questa relazione esprime il primo principio della termodinamica:
L’energia può essere scambiata, ma né creata né distrutta il saldo netto dell’energia scambiata da
un sistema termodinamico viene evidenziato come variazione dell’energia interna.
Funzione di stato
Una grandezza termodinamica che caratterizza lo stato di un sistema viene detta funzione di stato se
il valore della sua variazione dipende solamente dallo stato iniziale e quello finale della
trasformazione mentre non è assolutamente influenzata dal percorso della trasformazione
indipendentemente dal fatto che la trasformazione sia reversibile o meno. Ovviamente la variazione
di una funzione di stato per un ciclo, l’integrale circolare, è uguale a zero.
Equazioni dell’energia
Equazioni dell’energia: sistemi chiusi
dq = du + pdv
ovvero il lavoro utile (quando non c’è attrito) coincide con il lavoro totale
Equazioni dell’energia: sistemi aperti
Quando si analizzano i sistemi aperti si deve considerare il lavoro necessario a far fluire la massa.
Per cui nel caso di lavoro positivo, al lavoro di dilatazione del gas, pdv = dq - du, si deve sottrarre il
lavoro di spostamento:
2
− p1 v 1 + p 2 v 2 = ∫ d(pv )
1
- 1° principio
2
Corso di Fisica Tecnica
Il differenziale del lavoro di spostamento si può scrivere anche d(pv) = pdv + vdp.
La massa entrando è dotata di una certa velocità quindi possiede energia cinetica ½ mv12 e
un’energia potenziale, rispetto ad una quota di riferimento, pari a gz1.
In totale si ha:
dq = du + pdv + [vdv + gdz] ovvero dq = du + d(pv)-vdp + [vdv + gdz]
accorpando si ha:
dq = du + d(pv) - vdp + [vdv + gdz] = d(u + pv) - vdp + [vdv + gdz]
Il primo principio per sistemi aperti si può scrivere: dq = du + d(pv) - vdp + gdz + vdv
Il gruppo u + pv è una funzione di stato in quanto somma di due funzioni di stato: ad essa si da il
nome di entalpia con simbolo H (h per i valori specifici).
Il bilancio dell’energia per sistemi aperti assume così
un’espressione simile a quella dei sistemi chiusi:
dq = dh - vdp +g dz + vdv
La funzione di stato entalpia
 ∂h 
 ∂h 
dh =   dT +   dp
 ∂T  p
 ∂p  T
dh =
∂
(dq + vdp ) p dT + ∂ (du + d ( pv) )T dp
∂T
∂p
ovvero
 dq 
dh = 
 dT
 dT  p
dh= cp dT
du
dh
e cp =
per cui dh= du +d(pv) = cpdT = cvdT + d(pv).
dT
dT
d ( pv)
Si ottiene c p − c v =
.
dT
Considerando che pv=RT si ha d(pv)=RdT per cui: cp - cv = R
Si ha: c v =
Il rapporto cp/cv=k dipende dal numero degli atomi del gas. Per i gas biatomici, come l’aria, vale
1,4
3
1° principio -