A.A. 2011-12 Fisica Generale 10-07-11 ESERCIZIO 1 Una persona di massa 70 kg salta da un ponte, legata con una corda elastica lunga 10 m. Il punto più basso raggiunto dalla persona, rispetto al punto di partenza, è di 25 m. Trascurando ogni forma di attrito calcolare: a) la costante elastica della corda; b) la massima accelerazione a cui è stato sottoposta la persona; c) la velocità massima raggiunta dalla persona. Soluzione a) Chiamata l la lunghezza della corda, e h la distanza del punto di partenza rispetto al punto più basso raggiunto dalla persona, l’elongazione massima della corda è: x h l 25 m 10 m 15 m . In tale punto l’energia potenziale che la persona possedeva inizialmente rispetto al punto più basso raggiunto si è convertita in energia potenziale eleastica (In tale punto l’energia cinetica si annulla). Si ha quindi: 2 mgh 1 2 k x 2 k 2 m g h x 2 70 kg 9.8 m s 2 25 m 15 m 152.4 N m 1 b) Fino a che la corda entra in tensione, la caduta è libera. Da quell’istante l’accelerazione agente sulla persona è la somma di due termini: il primo (accelerazione di gravità) è costante e rivolto verso il basso, mentre il secondo é opposto, dipende dall’allungamento della corda, ed è massimo quando si inverte il moto. Calcoliamo se a tale istante l’accelerazione complessiva è maggiore di g. Si ha: a g k x m 9.8 m s 2 152.4 N m1 15 m 70 kg 22,8 m s 2 che è maggiore in modulo di g. Si può quindi dire che a tale istante l’accelerazione è massima. c) La velocità massima si raggiunge quando l’accelerazione inverte il suo verso, cioè all’istante in cui si annulla. Ciò accade per un allungamento x ' tale che: m g k x ' 0 che fornisce 2 x ' m g k 70 kg 9.8 m s 2 152.4 N m 1 4.5 m . La velocità massima si può calcolare allora conservando l’energia meccanica tra tale punto e quello iniziale. Si ha: 1 1 m g l x ' m v 2 k x '2 da cui si ottiene: 2 2 2 152.4 N m 4.5 m 15.5 m s 1 k x '2 2 9.8 m s 2 10 m 4.5 m m 70 kg 1 v 2 g l x ' ESERCIZIO 2 Una massa m è legata ad una estremità di un filo di massa trascurabile e di lunghezza l 0.5 m . L’altra estremità del filo è legata ad un asse rigido verticale. La massa, lanciata con velocità v, esegue un moto circolare uniforme su di un piano ortogonale all’asse. Calcolare la velocità da imprimere alla massa affinché essa descriva una traiettoria circolare di raggio r l 2 . Soluzione La condizione richiesta è r l sin l 2 arcsin1 2 30 . La massa sarà in equilibrio relativo sotto l’azione della forza peso, della tensione e della forza centrifuga. Si ha quindi lo schema delle forze riportato in figura. La proiezione delle forze su una retta perpendicolare al filo fornisce: m 2 r cos mg cos mg sin , da cui si ottiene g tan r , e quindi la 2 velocità lineare: v r g r tan g l tan 2 9.8 m s 0.5 m tan 30 2 1 2 1.2 m s 1 A.A. 2011-12 Fisica Generale 10-07-11 ESERCIZIO 3 Una ruota di Prandtl (figura) è formata da un disco di raggio R 0.2 m e massa M 0.5 kg e da un cilindro di raggio r 2 cm e momento d’inerzia trascurabile rispetto all’asse di rotazione. Non c’è attrito ed il filo, inestensibile, non slitta sull’albero. All’istante t 0 , la massa m 1 kg , inizialmente in quiete, viene lasciata scendere. Calcolare: a) il tempo t0 affinché la massa m percorra l’altezza h 2 m ; b) il corrispondente numero di giri compiuti dalla ruota Sul bordo della ruota è attaccato un magnetino di massa m0 0.01 kg , e dimensioni trascurabili, che esercita una forza F 5 N sul disco. c) Verificare se al tempo t0 il magnetino è ancora attaccato al disco. Soluzione 2 a) Il momento di inerzia della ruota é I M R 2 2 0.5 kg 0.2 m 2 0.01 kg m 2 Le equazioni del moto del sistema invece sono; m g T m a con a r T r I dove T è la tensione del filo , a la accelerazione di m e l'accelerazione angolare. Eliminando l'accelerazione angolare e la tensione del filo si ottiene: m r2 il che conduce a: mg r mar I a r a g m r2 I 2h 2h m r2 I 3.2 s a g m r2 b) Il numero di giri viene fornito da un puro calcolo geometrico: n h 2 r 15.9 giri c) Il momento d'inerzia del magnetino è trascurabile rispetto quello della ruota, quindi non ne altera la velocità di rotazione. Perciò la forza centrifuga agente sul magnetino è 2 Fc m 2 R m t0 R 7.5 N per cui gli manichino si è già staccato. t0 ESERCIZIO 4 Una pentola a pressione, di volume 10 l, è riempita di ossigeno a pressione atmosferica e temperatura t 20 C , e poi chiusa. La pentola è quindi posta a contatto con una sorgente di calore, in modo di ricevere una quantità di calore Q 400 J , con una trasformazione irreversibile. Trascurando la dilatazione termica della pentola ed usando l'approssimazione di gas perfetto biatomico, calcolare i seguenti valori del gas: a) la temperatura finale; b) la pressione finale; c) la variazione di energia interna; d) la variazione di entropia. Soluzione a) La temperatura iniziale é Ti 293.15 K , la pressione P0 101325 Pa e il volume V 0.01 m 3 . Si ha, dall'equazione di stato, un numero di moli pari a 2 A.A. 2011-12 Fisica Generale 10-07-11 n pV RT 101325 Pa 0.01 m3 8.314 J K 1mol 1 293.15 K 0.416 mol . La trasformazione è isocora, per cui dal I principio della termodinamica si ha Q U n cV T T f Ti Q n cV Ti 2 Q 5 n R 339.4 K 66.26 C la temperatura finale: b) la pressione finale è: Pf P0 T f Ti 101325 Pa 339.4 K 293.15 K 117314 Pa 1.16 atm c) Sempre dal I principio della termodinamica la variazione di energia interna è pari al calore assorbito, ovvero U 400 J d) La variazione di entropia é: T f dQ T f n c dT T f dT T 5 V S n cV n R ln f 1.27 J K 1 Ti Ti Ti T T T 2 Ti ESERCIZIO 5 Due fili conduttori indefiniti, posti a distanza d 10 cm , sono percorsi da correnti di eguale intensità i 2.6 A dirette in verso opposto. come in figura. Calcolare modulo, direzione e verso del campo di induzione magnetica B nel punto P equidistante dai fili. Soluzione Per la simmetria del sistema si ha R1 R2 , e anche i moduli dei due campi sono tali che B1 B2 . Il campo risultante è diretto lungo l’asse x positivo in quanto le componenti lungo l’asse y si elidono, e risulta: B B1 cos B2 cos 2 B1 cos . Si ha, dalla legge di Biot-Savart: 2 i d d 2 1 5 d B1 0 , con R1 d 2 d e cos 2R 2 d 5 2 R1 2 5 2 Pertanto: 7 1 7 1 0 2 i 1 2 0 i 2 4 10 H m 2.6 A 2 4 10 H m 2.6 A B1 2 4.15 T 2 d 5 5 5 d 5 0.1 m 5 0.1 m ESERCIZIO 6 Una sbarra conduttrice si appoggia a due rotaie conduttrici. disposte in modo da formare un angolo di 30°, come da figura. La sbarra, partendo dal pulito di incrocio delle rotaie. viene fatta muovere con velocità costante v rimanendo perpendicolare ad una delle due rotaie. Perpendicolarmente al piano delle rotaie è presente un campo magnetico B 1.2 T , uscente rispetto al piano della figura. Calcolare: a) la velocità della sbarra, sapendo che la f.e.m. misurata nel circuito quando la sbarra si trova nella posizione x1 0.6 m rispetto all'incrocio delle rotaie é pari a 0.2V ; b) il modulo della forza che agisce sulla sbarra nella posizione x1, sapendo che le rotaie e la sbarra Cu 1.69 108 m sono costituite da filo di rame di raggio r 0.05 mm ; c) il modulo della carica che ha attraversato il circuito durante il movimento della sbarra, fino al punto x1; d) il lavoro fatto dalla forza che trascina la sbarra nel tratto da 0 a x1. 3 A.A. 2011-12 Fisica Generale 10-07-11 Soluzione a) Calcolo il flusso attraverso la spira triangolare con la sbarra ad un generico punto x: 1 x x2 B x B = 2 3 2 3 Derivando il flusso rispetto al tempo, si ottiene la f.e.m. in funzione della velocità, e da questa v: d d x2B x v B 3 0.48 m s 1 v dt dt 2 3 x1 B 3 b) La resistenza della spira con la sbarra in posizione x1 è R L , con 3 3 x1 x 3 3 2 1 x1 1.64 m , da cui R x1 3.5 r 2 3 3 3 3 Nota la resistenza si può calcolare la corrente circolante e quindi la forza sulla sbarra: x xvB 57 mA , da cui F i B 1 0.024 N i / R 3R 3 c) Si noti che la corrente è costante (non dipende dalla posizione della sbarretta) in quanto sia la f.e.m. che R crescono linearmente con x. Essendo i costante, la carica vale q i t i x1 v 71 mC . d) Infine per calcolare il lavoro bisognerà integrare la forza, che non è costante, per lo spostamento effettuato. La forza che trascina la sbarra deve bilanciare esattamente la forza di frenamento magnetico. Infatti la velocità della sbarra è costante, e quindi la risultante delle forze ad essa applicata deve essere nulla. La forza di frenamento magnetico dipende dalla corrente nel circuito, e dalla lunghezza della sbarra. La corrente nel circuito è come abbiamo visto costante, quindi la forza varia solo con la lunghezza attiva della sbarra, e il lavoro è: x1 x1 x i B x12 W F x dx i B dx 7.1 mJ 0 0 3 2 3 L x1 4