Una molla di costante elastica k è allineata lungo la verticale, col

C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2006-07
Fisica Generale
Prova del 09-05-08
ESERCIZIO 1
Una molla di costante elastica k è allineata lungo la verticale, col suo estremo superiore fissato, in modo
che il suo estremo inferiore, quando la molla è all’equilibrio, si trovi ad una distanza d = 10 cm dal
pavimento. Ad un certo istante un elemento materiale, di massa m = 5 kg , viene attaccato all’estremo
libero della molla.
Si calcoli il minimo valore della costante elastica della molla affinché l’elemento materiale attaccato alla
molla non tocchi il pavimento.
Soluzione
Essendo sia la forza peso che la forza elastica conservative, il problema si può risolvere imponendo la
conservazione dell’energia. Il sistema ha velocità nulla sia prima che dopo che l’elemento sia stato
attaccato alla molla, e quindi non possiede energia cinetica. Se si prende la lunghezza di equilibrio della
molla come punto in cui l’energia potenziale della gravità vale zero, dopo che l’elemento materiale viene
attaccato alla molla si ha una diminuzione di energia potenziale di gravità e un aumento dell’energia
potenziale della molla; le due variazioni si devono compensare. Si ha quindi
1
−m g h + k h2 = 0
2
che ammette due soluzioni: h = 0 ,ovvero la posizione di equilibrio, e la soluzione cercata:
−2
2m g 2 ( 5 kg ) ( 9.8 m s )
k=
=
= 980 N m −1
h
0.1 m
per cui la condizione cercata è:
k > 980 N m −1
Per ottenere il valore della costante elastica che fa sì che la posizione di equilibrio si trovi sopra il
pavimento si deve invece imporre che la risultante delle forze applicate sia nulla, ovvero:
−2
mg ( 5 kg ) ( 9.8 m s )
− kh + mg = 0 ⇒ k =
=
= 490 N m −1
h
0.1 m
ESERCIZIO 2
Una sbarra di massa M e lunghezza l è vincolata a ruotare attorno ad un asse
orizzontale perpendicolare alla sbarra, privo di attrito e passante per il suo
centro. La sbarra inizialmente è ferma in posizione orizzontale. Un elemento
materiale di massa m viene lasciato cadere da una altezza h, con velocità
iniziale nulla, in modo che urti contro un estremo della sbarra. L’urto è
perfettamente elastico.
Si calcolino:
a) la velocità della massa m e
b) la velocità angolare della sbarra
dopo l’urto.
m
h
.
C
Soluzione
L’elemento materiale giunge sulla sbarra con velocità
v = 2 gh .
Essendo l’urto elastico si conserva l’energia cinetica; d’altra parte, essendo il sistema vincolato, non si
conserva la quantità di moto bensì il momento della quantità di moto. Quest’ultimo condizione viene
imposta rispetto all’asse di rotazione. Chiamate v e v ' e ω ' la velocità dell’elemento materiale e la
velocità angolare della sbarra dopo l’urto, e I il momento di inerzia della sbarra rispetto all’asse di
rotazione si ha:
C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2004-05
Fisica Generale
Prova del 11-12-07
1
1
⎧1
2
2
2
⎪⎪ 2 m v = 2 m v ' + 2 I ω '
⎨
⎪ mv l = mv' l + I ω '
⎪⎩
2
2
Portando in entrambe le equazioni i termini relativi all’elemento materiale al primo membro, e dividendo
le due equazioni membro a membro si ottiene:
l
v +v' = ω '
2
che viene messa a sistema con la seconda equazione del sistema precedente:
l
⎧
⎪ v +v' = ω '
2
⎨
⎪m l ( v − v ') = 2 I ω '
⎩
Risolvendo tale sistema si ottengono le espressioni cercate:
m l 2 − 4I )
m l 2 − 4I )
(
(
v' =v
= 2 gh
( m l 2 + 4I )
( m l 2 + 4I )
ω'=
4m lv
4m l
= 2 gh
2
( m l + 4I )
( m l 2 + 4I )
ESERCIZIO 3
Una massa m è appoggiata su di un piano liscio, inclinato di un angolo θ con M
O
l’orizzontale, ed è collegata da un filo inestensibile e di massa trascurabile ad
una carrucola, assimilabile a un disco, di raggio r e massa M. La carrucola
ruota attorno ad un asse fisso orizzontale privo di attrito passante per il suo
centro O e si muove sotto l’azione del filo, che non striscia sulla sua
superficie. All’istante iniziale il sistema viene lasciato andare da fermo.
Calcolare:
a) l’accelerazione della massa e l’accelerazione angolare del disco;
b) la velocità angolare del disco quando la massa ha percorso una distanza d sul piano.
r
m
θ
Soluzione
a) Chiamata T la tensione del filo, si ha per la massa m, su di un asse x allineato col piano e orientato
verso il basso:
m g sin θ − T = m a
mentre per la carrucola si ha, dalla seconda equazione cardinale proiettata sull’asse di rotazione:
T r = Iα
Mettendo a sistema le due espressioni, assieme alla condizione che il filo non strisci sulla superficie
della carrucola ( a = α r ) si ha:
mr
m r2
; α = g sin θ
2
mr + I
mr 2 + I
1
Esplicitando l’espressione del momento d’inerzia del disco, I = Mr 2 , si ottiene:
2
2m
2m
; α = g r sin θ
a = g sin θ
2m + M
2m + M
b) Per percorrere un tratto d la massa impiega un tempo
a = g sin θ
2
C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2004-05
Fisica Generale
Prova del 11-12-07
2d
2d
=
a
αr
In questo intervallo di tempo la carrucola raggiunge una velocità angolare:
2d
2α d
m
4md g sin θ
=
= 2d g sin θ
=
ω =α t =α
2
αr
r
mr + I
( 2m + M ) r 2
t=
3