Compito di Fisica 3 del 16-7-2013 Cognome Nome matr. Un

Compito di Fisica 3 del 16-7-2013 Cognome
Nome
matr.
Un condotto orizzontale, costituito da un tubo come quello rappresentato in figura, è percorso da un fluido ideale con
velocità 𝑣⃗𝐴 nel tratto di sezione SA e 𝑣⃗𝐵 in quello di sezione SB. Si calcoli modulo direzione e verso della forza che il
fluido esercita sul condotto per ρ=103 kg/m3, SA=10 cm2, SB=15 cm2 e |𝑣⃗𝐴 |=1 m/s.
∆𝑝⃗
𝑆
𝐹⃗ = , con ∆𝑝⃗ = ∆𝑚(𝑣⃗𝐵 − 𝑣⃗𝐴 ). ∆𝑚 = 𝜌𝑆𝐴 𝑣𝐴 ∆𝑡 = 𝜌𝑆𝐵 𝑣𝐵 ∆𝑡 da cui deriva che 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 𝐴 .
∆𝑡
𝑆𝐵
∆𝑝𝑥 = −∆𝑚𝑣𝐴 ; ∆𝑝𝑦 = ∆𝑚𝑣𝐵 = ∆𝑚𝑣𝐴
𝑆𝐴
𝑆𝐵
2
2
𝑆
𝑆
. |∆𝑝⃗| = 𝜌𝑆𝐴 𝑣𝐴 2 ∆𝑡√1 + ( 𝐴 ) , da cui |𝐹⃗ | = 𝜌𝑆𝐴 𝑣𝐴 2 √1 + ( 𝐴 ) = 12.9 𝑁 . La direzione di 𝐹⃗ è
𝑆𝐵
𝑆𝐵
quella della bisettrice e con il verso diretto all’interno dell’angolo retto.
Un disco di massa M e raggio R può rotolare senza strisciare su un piano orizzontale (cfr. fig.). Una molla
ideale di costante elastica k e di lunghezza a riposo nulla, ha un suo estremo agganciato al centro del disco e
l’altro a un punto sul piano. Se nell’istante t0 in cui il centro del disco e il punto di aggancio della molla sul
piano sono sulla stessa verticale, la velocità angolare è Ω0, si calcoli: a) il valore di Ω0 affinché il disco abbia
velocità nulla dopo aver compiuto 2 giri; b) la frequenza delle piccole oscillazioni del disco intorno alla
posizione di equilibrio. Si eseguano i calcoli per k=10 N/m, R=0.4 m e M=40 kg.
a)
1
1
A t0, 𝐸𝑖𝑛 = 𝐼Ω0 + 𝑘𝑅2 . Energia meccanica nel momento in cui il disco ha percorso 2 giri (x=4πR) e la velocità è nulla 𝐸𝑓𝑖𝑛 =
2
1
2
2
𝑘(𝑅 + 𝑥
Ω0 = √
1
2)
= 𝑘𝑅
2
32𝜋2 𝑘
𝑀
2
2 (1
1
1
1
2
2
2
+ 16𝜋 2 ). Per la conservazione dell’energia 𝑘𝑅2 (1 + 16𝜋 2 ) = 𝐼Ω0 + 𝑘𝑅2 , da cui
= 2.81 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Le piccole oscillazioni avvengono intorno alla posizione che aveva il disco a t0. Scegliendo come polo l’asse istantaneo di rotazione
𝑘 𝑅2
𝐼𝜔̇ = −𝑘𝑅 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜃 = −𝑘𝑅2 𝑠𝑖𝑛𝜃, ma sin 𝜃 ≅ 𝜃 e quindi 𝜔0 = √
𝐼
= 0.41 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e 𝑇 = 0.065 𝑠 con 𝐼 =
1
2
𝑀𝑅2 + 𝑀𝑅2 = 9.6 𝑁𝑚2
Una carrucola di raggio r e massa M può ruotare senza attrito intorno al perno O. A questa è appesa, tramite una fune
inestendibile e di massa trascurabile, una massa M e è saldata una sbarra di lunghezza L e massa M, che forma inizialmente un
angolo θ con la verticale (cfr fig.). Se il sistema è lasciato libero di muoversi, assumendo che la sbarra e la carrucola siano
solidali, si calcoli: a) il verso del moto della massa M nel caso in cui r=20 cm, L=40 cm, e θ=30°; b) che valore deve avere r
affinché, con i valori di L e θ del punto a), il sistema compia piccole oscillazioni intorno a una posizione di equilibrio stabile.
Scegliendo come polo il punto O e verso positivo dei momenti quello uscente dal foglio,
𝐿
𝐿
1
1
5
6 𝑔(𝑟−2𝑠𝑖𝑛𝜃)
2
2
3
6
5
𝐼𝜔̇ = 𝑀𝑔𝑟 − 𝑀𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃 con 𝐼 = 𝑀𝑟 2 + 𝑀𝐿2 = 𝑀(𝑟 2 + 𝐿2 ), da cui 𝜔̇ =
𝑟 2 +𝐿2
= 5.89 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 . Il segno di 𝜔̇ sta a indicare che
la massa M scende
𝐿
Se il sistema compie piccole oscillazioni, la condizione di equilibrio stabile è caratterizzata da 𝜔̇ =
𝐿
𝐿
2
2
𝑟 − 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 e quindi 𝑟 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 10 𝑐𝑚
Lo stesso risultato si può raggiungere studiando l’energia potenziale del sistema.
6 𝑔(𝑟−2𝑠𝑖𝑛𝜃)
5
𝑟 2 +𝐿2
= 0, da cui