L'equazione d'onda di Schrödinger
12 L'equazione d'onda di Schrödinger
Sappiamo dall'eletromagnetismo classico che il campo elettromagnetico è
descritto dalle equazioni di Maxwell
Ðf#
" `#
Ñ <Ð<>Ñ œ !
- # `>#
(12.1)
dove <ÐBß Cß Dß >Ñ rappresenta una componente del potenziale vettore o dei campi
elettrico e magnetico. Assumiamo che l'onda abbia una dipendenza di tipo armonico
dal tempo
<Ð<>Ñ œ <Ð<Ñ/3=>
(12.2)
Sostituendo la (12.2) nella (12.1) abbiamo
=
f# <Ð<Ñ Ð Ñ# <Ð<Ñ œ !
-
(12.$)
Nel caso di una particella materiale di quantità di moto 7@ De Broglie ha ipotizzato
un comportamento ondulatorio, con lunghezza d'onda data da - œ 2Î7@. La (12.3)
diventa in questo caso
7@ #
f # < Ð< Ñ Ð
Ñ <Ð<Ñ œ !
(12.4)
2
assumendo esplicitamente che l'ampiezza < ora rappresenti l'ampiezza dell'onda
materiale che, in accordo con il principio di De Broglie, noi associamo alla particella
di massa 7. In generale possiamo poi scrivere l'energia totale di una particella come
somma del termine cinetico e del termine di energia potenziale
Iœ
" #
7@ Z Ð<Ñ
#
(12.5)
dove considereremo Z Ð<Ñ indipendente dal tempo. Conseguentemente la (124) può
essere ulteriormente trasformata in
f # < Ð< Ñ
27
I Z Ð<Ñ‘<Ð<Ñ œ !
h#
(12.6)
che a sua volta si scrive nella forma finale
Š
h# #
f Z ( < ) ‹ < Ð < ) œ I < Ð< )
#7
(12.7)
Questa equazione prende il nome di equazione di Schrödinger o equazione agli
autovalori per l'energia totale. E' assolutamente importante ricordare che l'equazione
(12.7) è stata ricavata sotto l'ipotesi di sistema conservativo (l'energia totale non
dipende dal tempo).
L'importanza concettuale dell'equazione di Schrödinger è fondamentale.
Infatti, tramite essa:
i) si può determinare in maniera esatta la forma matematica che descrive
l'onda materiale <Ð<) descrivente una certa particella soggetta al potenziale Z Ð<Ñ;
ii) introduce in modo naturale nel nostro formalismo un principio di
quantizzazione, tramite l'esplicito uso della costante di Planck 2Î#1.
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Anno accademico 2011/2012
L'equazione d'onda di Schrödinger
L'equazione di Schrödinger costituisce il fondamento di un nuovo capitolo
della fisica che prende il nome di meccanica quantistica. Essa rappresenta il corretto
linguaggio per descrivere i fenomeni naturali alla scala atomica (o sub-atomica). La
funzione <Ð<) è anche detta funzione d'onda.
L'equazione di Schrödinger va considerata un postulato a somiglianza delle
equazioni del moto di Newton, postulato valido, però, per le energie. Infatti, se si
associa all'operatore h 2 f# il quadrato del momento lineare (quantità di moto), si
ha che l'equazione di Schrödinger non dice altro che la somma dell'energia cinetica
h2
:# Î#7 œ #7
f# e dell'energia potenziale Z Ð<Ñ di una particella, entrambe
moltiplicate per la funzione d'onda <Ð<) è pari all'energia totale I , moltiplicata
anch'essa per la funzione d'onda <Ð<).
Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo
La generalizzazione al caso in cui l'hamiltoniana dipende dal tempo si effettua
trasformando nell'equazione (12.7) l'energia I nell'operatore differenziale del
`
prim'ordine rispetto al tempo: 3h `>
. L'quazione di Schrödinger dipendente dal tempo
è quindi
L < Ð< ) œ 3h
` < Ð< )
`>
(12.8)
Si noti che l'ordine delle derivate spaziali (secondo) è diverso da quello della derivata
temporale (primo) (per cui la 12.8 non è invariante relativisticamente).
Interpretazione fisica della funzione d'onda
Inizialmente fu assunto che l'ampiezza <Ð<) rappresentasse l'ampiezza
dell'onda materiale che, in accordo al principio di de Broglie, noi associamo alla
particella di massa 7. Successivamente, ad opera di Max Born, alla <Ð<) fu dato il
significato fisico di ampiezza di probabilità di localizzare la partcicella in un volume
infinitesimo di spazio. Più precisamente il modulo quadro di < nel punto <
moltiplicato l'elemento di volume infinitesimo .Z œ .B.C.D rappresenta la
probabilità .T di localizzare la particella nel volume .Z , in formule
.T œ l<Ð<Ñ l# .Z
(12.8)
Born mise in evidenza l'analogia con la teoria ondulatoria della luce, che fa coincidere
il quadrato dell'ampiezza dell'onda elettromagnetica con l'intensità dell'onda nella
regione in esame. Dal punto di vista quanto meccanico, questo coincide con la
probabilità di trovare un fotone nella regione in esame.
L'interpretazione di Born ha delle conseguenze dirette importanti:
1) solo l< l# , non <, ha significato fisico diretto (è una densità di probabilità);
2) non ha importanza, quindi, il segno di < (ha solo significato fisico indiretto per
l'interferenza costruttiva o distruttiva tra più funzioni d'onda);
#
3) la variazione di < ( ``B< o ``B<# ) ci dice quanto più velocemente varia la probabilità di
trovare la particella in una data regione. Ma quanto più velocemente varia questa
probabilità, tanto più velocemente si deve muovere la particella. Quindi l'energia
cinetica della particella è maggiore dove la funzione d'onda si incurva più
decisamente (maggiore derivata della funzione d'onda).
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L'equazione d'onda di Schrödinger
L'interpretazione di Born impone limitazioni severe all'accettabilità
della funzione d'onda e la stessa equazione di Schrödinger richiede limitazioni
matematiche sul tipo di funzione.
Vincoli matematici
i) L'equazione è un'equazione differenziale del II ordine, quindi deve esistere
dovunque la derivata seconda della funzione, cioè la funzione deve essere continua e
con derivata prima continua.
Vincoli fisici
i) La funzione non deve essere infinita in alcun luogo. Se così fosse l'integrale sarebbe
infinito, la costante N sarebbe zero e la probabilità di ritrovare la particella sarebbe
zero ovunque tranne nei punti dove è infinita.
ii) La funzione deve essere univoca: non può, cioè, presentare più valori per un solo
punto, perché la probabilità di ritrovare la particella in un punto deve essere una sola.
iii) La funzione non può essere nulla ovunque perché la particella deve pur trovarsi in
qualche luogo.
Tutti questi vincoli limitano l'accettabilità della funzione d'onda per valori
arbitrari dell'energia. In altre parole, una particella può assumere soltanto determinata
energia, cioè l'energia della particella è quantizzata.
L'equazione di Schrödinger può essere sinteticamente riscritta:
L< œ I <
dove L œ
h2
#
#7 f +Z
(12.11)
è l'operatore hamiltoniano.
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