Liceo Scientifico Statale "Albert Einstein" a.s. 2012/2013
Programma di Matematica P.N.I.
svolto nella classe 5ª sez. C
Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Derivata di una funzione
in un punto; derivata destra; derivata sinistra; interpretazione geometrica
della derivata; derivate fondamentali; tangente e normale ad una curva in un
suo punto. Funzione derivata. Punti stazionari. Casi di non derivabilità: punto
di flesso a tangente verticale, punto di cuspide, punto angoloso. Teorema
sulla continuità delle funzioni derivabili con dimostrazione. Derivata del
prodotto di una costante per una funzione; derivata della somma, del prodotto
e del quoziente di due funzioni. Derivata di una funzione composta, di una
funzione elevata a funzione, del reciproco di una funzione, di una funzione
inversa. Derivate di ordine superiore al primo. Differenziale di una funzione e
relativo significato geometrico. Teorema di Rolle: dimostrazione, discussione
di controesempi e relativo significato geometrico. Teorema di Lagrange:
dimostrazione, relativo significato geometrico e conseguenze.
Funzioni
derivabili crescenti e decrescenti. Teorema di Cauchy. Rimozione di
particolari forme indeterminate, nel calcolo di limiti, mediante applicazione
della regola di De L’Hôpital. Ricerca degli intervalli di monotonia, dei punti di
massimo e di minimo relativi e dei punti di flesso a tangente orizzontale
mediante lo studio della derivata prima. Massimi e minimi assoluti. Problemi
di massimo e di minimo. Ricerca degli intervalli di concavità, di convessità e
dei punti di flesso anche a tangente obliqua mediante lo studio della derivata
seconda. La ricerca dei massimi, minimi e flessi con il metodo delle derivate
successive. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio di funzioni e
costruzione del relativo grafico.
Primitiva di una funzione. L’integrale indefinito e suo significato geometrico.
L’integrale indefinito come operatore inverso della derivata. Proprietà degli
integrali indefiniti. Integrazione delle funzioni elementari; integrazione delle
funzioni razionali fratte. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Trapezoide e plurirettangoli inscritti e circoscritti; somme integrali inferiori e
superiori; integrale definito di una funzione continua. Proprietà degli integrali
definiti e indefiniti. Integrale della funzione la cui primitiva è una funzione
composta. Teorema della media con relativo significato geometrico e valor
medio di una funzione integrabile su un dato intervallo. La funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale con dimostrazione. Formula
fondamentale del calcolo integrale. Applicazione degli integrali definiti al
calcolo delle aree e al volume dei solidi di rotazione. Integrale improprio di
una funzione continua in un intervallo illimitato e di una funzione continua in
un intervallo limitato privo di almeno uno dei suoi estremi. Equazioni
differenziali a variabili separabili. Variabile casuale discreta. Variabili casuali
continue. Funzione di ripartizione e funzione densità di probabilità con relative
proprietà e rappresentazione grafica. Speranza matematica (valor medio),
varianza, scarto quadratico medio. Il problema delle prove ripetute e la
variabile casuale con distribuzione binomiale; La variabile casuale con
distribuzione poissoniana. La variabile casuale con distribuzione gaussiana.
TEOREMI DI ANALISI NUMERICA: teorema di esistenza delle radici; primo teorema
di unicità della radice con dimostrazione; enunciato del secondo teorema di
unicità delle radici; separazione delle radici; metodo di bisezione, metodo
delle secanti o delle corde e metodo delle tangenti o di Newton. Integrazione
numerica: formule dei rettangoli; formula dei trapezi o di Bézout; metodo delle
parabole o di Cavalieri-Simpson. Richiami sulle trasformazioni geometriche
del piano in sé: (affinità). Il ruolo degli assiomi nella matematica classica e
moderna; generalità sugli Elementi di Euclide; Sistemi formali: proprietà
generali; sintassi e semantica; la coerenza; la completezza e la decidibilità.
LIBRI di
TESTO
«Manuale blu di matematica» Derivate e studio di funzioni - Integrali
Vol V+W – M. Bergamini – A. Trifone – G. Barozzi – Zanichelli
«Manuale blu di matematica» Analisi numerica – Distribuzioni di probabilità
Vol ι+σ – M. Bergamini – A. Trifone – G. Barozzi – Zanichelli
FIRME
GLI ALUNNI
Palermo lì 05/06/2013
Il Docente
G. E. Perez
