Docente: Stefano Montaldo Esercizi sulla geometria

Geometria 2 - Docente: Stefano Montaldo
Esercizi sulla geometria del piano
(1) Dati i punti A = (1, 2), B = (2, −2), C = (−3, −4) del piano euclideo si consideri il triangolo ABC.
Determinare:
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti i lati del triangolo;
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti le mediane del triangolo;
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per un vertice e parallele al lato
opposto;
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per un vertice ed ortogonali al lato
opposto.
(
x=1−t
(2) Si consideri il fascio di rette individuato dalle rette r : x − y + 1 = 0 e s :
y = −1 + t
• Determinare la retta del fascio passante per il punto P (0, −1).
• Determinare due rette del fascio ortogonali tra di loro.
• Determinare una retta del fascio che formi un angolo di π/3 con la retta r.
• Determinare la retta del fascio parallela alla retta 2x − y − 1 = 0.
(3) Date le rette r : x − ky + 2k = 0 e s : kx − y + k = 0, determinare per quali valori di k ∈ R
• le rette sono parallele;
• le rette sono ortogonali;
• il loro punto comune appartiene alla
( retta x + y − 2 = 0.
x=1+t
(4) Date le rette r : x + 2y + 1 = 0 e s :
y = −1 − 2t
• Determinare le bisettrici degli angoli individuati dalle due rette.
• Determinare un punto su r che abbia distanza 2 da s.
• Detto C è il punto di intersezione tra r ed s, determinare un punto A su r ed un punto B su s
tali che il triangolo ABC sia isoscele ed abbia base BC pari a 2.
(5) Determinare il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai punti A = (−1, 2) e B = (3, −4).
(6) Dati i punti A = (1, 0), B = (2, 0) ed il fascio di rette y = k, determinare per quali valori di k ∈ R
esiste un punto C sulla retta del fascio tale che il triangolo ABC sia equilatero.
(7) Si consideri il fascio di rette generato da r : x + 2y + 3 = 0 e s : x − y = 0.
• Determinare per quali valori di k ∈ R la retta kx − ky + 1 = 0 appartiene al fascio
• Determinare due rette del fascio perpendicolari le cui intercette distano 2.
• Determinare le rette del fascio perpendicolari alle bisettrici delle rette r ed s.
(8) Si definisce incentro di un poligono il punto equidistante da tutti i suoi lati.
• Dimostrare che l’incentro è il punto comune di tutte le bisettrici degli angoli interni.
• Dimostrare che l’incentro di un triangolo di vertici P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ) e P3 = (x3 , y3 )
ha coordinate
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 a1 y1 + a2 y2 + a3 y3
,
(a1 + a2 + a3 )
(a1 + a2 + a3 )
dove ai , i = 1, 2, 3, rappresenta la misura del lato opposto al vertice Pi .
(9) Date le rette r : x + 2y + 3 = 0, r0 : x − y + 1 = 0 e r00 : x + y + 3 = 0.
• Determinare l’area del triangolo individuato dalle tre rette.
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