Programmi di MATEMATICA 1 e MATEMATICA 3
per i corsi di laurea di INGEGNERIA CIVILE ed INGEGNERIA AMBIENTALE Docenti: Eduardo GONZALEZ (Civile) - Paolo CIATTI (Ambiente)
L’esame è soltanto scritto e si compone di tre parti: A, B e C. Per superare
l’esame (con un voto fra 18 e 26) è necessario svolgere in maniera soddisfacenti
le parti A e B del compito. Per poter aspirare ad un voto più alto è necessario
svolgere correttamente anche la parte C del compito.
Programma di MATEMATICA 1
NUMERI, SUCCESSIONI LIMITI
I NUMERI REALI. Numeri razionali ed irrazionali. Il principio di incastro.
Successioni. Limite di successioni. La progressione geometrica.
NUMERI DECIMALI (un modello di R). Numeri decimali e frazioni. Densità di Q e di R − Q. Esistenza della radice n-esima.
LA QUANTITÀ DI ELEMENTI DI UN INSIEME INFINITO.
Cardinalità. Insiemi numerabili. Numerabilità di Q e nobn numerabilità di
R − Q. Lunghezza di (0, 1) ∩ Q.
Proprietà di BOLZANO-WEIERSTRASS. Le successioni monotone
hanno sempre limite.
VELOCITÀ DI VARIAZIONE. DERIVATE. Approssimazione lineare
di una funzione derivabile. Relazione fra derivabilità e continuità. Calcolo
di derivate. Segno della derivata e monotonia. Derivate successive. Derivate
laterali.
BINOMIO
DI NEWTON. Numeri combinatori. Triangolo di TARTAGLIA.
1
< 3 ∀ n ∈ N.
2≤ 1+
n
FUNZIONI CONVESSE. Caratterizzazione in termini di combinazioni
convesse.
COMPOSIZIONE DI FUNZIONI. Funzioni iniiettive, funzione inversa.
AREE. Calcolo elementare
di aree.
Z x
dt
1
La funzione L(x) =
, x > 0. L0 (x) = . L(a + b) = L(a)L(b) ∀ a >
x
1 t
1
1
1
0, b > 0. lim
+
+ ··· +
= L(2). Il logaritmo. Media aritn
n n+1
2n
metica e media geometrica. Prodotto massimo di numeri positivi di somma
1 n
1 n+1
1 n
costante. Monotonia di 1 +
e di 1 +
. Il numero e = lim
1+
.
n
n
n
n
√
Confronto fra ln x e n x. Zeri di funzioni continue.
1
LA FUNZIONE ESPONENZIALE E(x). Derivata di E(x). E(q) =
eq ∀q ∈ Q. Definizione di ex per x ∈ R. Approssimazione di ex mediante
polinomi. Calcolo effettivo di e. Irrazionalità di e. Approzzimazione di
ln(1 + x) mediante polinomi. Funzioni iperboliche. Esponenziale di base
a > 0, a 6= 1.
Derivata della composta e dell’inversa.
STUDIO DI FUNZIONI. Asintoti. Uniforme continuità.
INTEGRALI DI FUNZIONI CONTINUE. Somme di RIEMANN. Proprietà fondamentali dell’integrale. Disuguaglianza di SCHWARZ. Il teorema
fondamentale del calcolo. Regola di BARROW-TORRICELLI. Primitive.
Una stima elementare di n!. Derivata di F (x) =
Z
β(x)
f (t)dt.
α(x)
CURVE PIANE. Curve regolari, loro lunghezza.
LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE.
Definizino di π. Misura dell’angolo
Z t
dx
. Seno e coseno. Formule di TOLOMEO. Forin radianti: α(t) =
0 1 + x2
mule di bisezione. Il prodotto scalare nel piano. La formula di ERONE. Proprietà isoperimetrica del triangolo equilatero. La funzione tangente. Continuità e derivabilità delle funzioni trigonometriche. Funzioni trigonometriche
inverse. Area del cerchio. Volume ed area dei solidi di rotazione. Volume ed
area della sfera. Approssimazione delle funzioni trigonometriche mediante
polinomi. Calcolo effettivo di π.
I NUMERI COMPLESSI
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali lineari del primo
ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
Moto armonico semplice. Soluzione dell’equazione omogenea. Soluzioni fondamentali. L’equazione non omogenea. Il problema ai valori iniziali.
CALCOLO DI PRIMITIVE. Primitive non calcolabili esplicitamente.
Calcolo di primitive per sostituxione. Funzioni razionali del seno e del coseno.
Integrazione per parti. Primitive di funzioni razionali.
MASSIMI e MINIMI di FUNZIONI CONTINUE. Il teorema di
WEIERSTRASS. Teorema della media del calcolo integrale.
Teorema della
Z b
sin x
dx = 0 ∀ 0 <
media generalizzato. Secondo teorema della media. lim
n
x
a
a < b < +∞.
IL TEOREMA DI LAGRANGE. Conseguenze immediate. Proprietà di
DARBOUX. La regoila di L’HOPITAL. Il polinomio di TAYLOR. Unicità
del polinomio di TAYLOR. Il simboloo ◦(xn ) di LANDAU. Alcuni importanti
2
sviluppi asintotici. Applicazione al calcolo di limiti ed allo studio di funzioni.
Il resto nella formula di TAYLOR. Applicazione al calcolo approssimato.
Testo di riferimento:
E.BAROZZI - E.GONZALEZ. Lezioni di ANALISI MATEMATICA 1. Libreria PROGETTO, Padova 2007
Programma di MATEMATICA 3
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Struttura vettoriale e metrica di Rn .
Rette e piani in R3 . Il prodotto vettoriale. I due orientamenti dello spazio.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Funzioni lineari. Calcolo
differenziale per funzioni di più variabili. Funzioni differenziabili. Derivate
parziali. Differenziali e jacobiano. Il gradiente. Piano tangente e retta normale. Vettore normale. Derivate direzionali. Funzioni composte. Regola
della catena. Funzioni omogenee. Teorema di EULERO. Derivate di ordine
superiore. Equazione del calore ed equazione delle onde. Operatori differenziali. Il laplaciano. Gradiente e divergenza. Il rotore. Campi solenoidali ed
irrotazionali. Operatore di Laplace in coordinate polari. Funzioni implicite.
Teorema del DINI. Ortogonalità fra gradiente e curve (superfici) di livello.
ELEMENTI DI TOPOLOGIA IN Rn . Insiemi aperti ed insiemi chiusi.
La frontiera di un insieme. Caratterizzazione degli insiemi chiusi in termini
di successioni. INSIEMI COMPATTI . Teorema di TYCHONOFF. Caratterizzazione dei sottoinsiemi compatti di Rn .
MASSIMI E MINIMI. Estremi di forme quadratiche ed autovalori. Formula di TAYLOR. Condizioni sufficienti per l’esistenza di estremo. Massimi
e minimi assoluti. Teorema di WEIERSTRASS.
SERIE NUMERICHE. Il paradosso di ZENONE. Serie. convergenti, divergenti, oscillanti. La serie geometrica. La serie armonica. Criterio del
confronto e del confronto asintotico. Il termine generale e la coda di una
serie convergente. Serie a termine di segno alterno. Criterio di LEIBNIZ.
Convergenza assoluta e convergenza semplice. Riordinamenti. I criteri della
√
an+1
e lim n an .
radice e del rapporto. Uguaglianza fra lim
n
n
an
SERIE DI POTENZE. Raggio e intervallo di convergenza. La derivata di
una serie di potenze. Osservazione di LAGRANGE. Formula di TAYLOR e
serie di potenze.
3
INTEGRALI MULTIPLI. Teorema di FUBINI. Volume dei solidi di rotazione. Il teorema della media integrale. Trasformazioni regolari del piano.
Il teorema della funzione inversa. Carattere locale della funzione inversa.
Cambio di variabili negli intregrali multipli. Coordinate cilindriche e sferiche.
Il baricentro di un insieme. Teorema di PAPPO-GULDIN.
CURVE E SUPERFICI. Curve regolari. Lunghezza. Integrazione lungo
curve. Superfici regolari. Piano tangente. Area di una superficie.
FORME DIFFERENZIALI E LORO INTEGRALI. Potenziali. Forme
esatte. Unicità del potenziale. Indipendenza del camino di integrazione.
Forme chiuse. Insiemi semplicemente connessi. Esattezza delle forme chiuse
nei domini semplicemente connessi. Il campo elettrrico. Il lavoro. Campo di
forse newtoniano.
LE FORMULE DI GAUSS-GREEN Formula di RIEMANN. Il teorema
della divergenza. Flusso. Formula di integrazione per parti. Il teorema do
STOKES. Circuitazione.
Testo di riferimento:
E.BAROZZI - E.GONZALEZ. Lezioni di ANALISI MATEMATICA 3. Libreria PROGETTO, Padova 2008
4
