11. Gli integrali
L'integrale definito di una funzione positiva è l'area della regione compresa tra il grafico della
funzione stessa e l'asse delle ascisse. Prima di spiegare meglio questo concetto, soffermiamoci un
po' sulla nozione di area. Secondo il dizionario, l'area è la misura di una estensione superficiale:
sappiamo tutti che l'area di un rettangolo è base per altezza, quella di un triangolo è base per altezza
diviso 2, mentre quella del cerchio è raggio al quadrato per pi greco. Il concetto di area si applica
anche a figure un po' più complesse e possiamo dire che l'area di una regione del piano è
proporzionale alla quantità di vernice necessaria per pitturarla, oppure che è proporzionale al
numero di mattonelle quadrate necessarie per ricoprirla, oppure ancora, e questo è il paragone più
utile, supponete di avere una regione nel vostro giardino e fatela diventare una piscina costruendo
un muretto lungo tutto il suo perimetro. Allora l'area della regione è proporzionale alla quantità di
acqua necessaria per riempire la piscina.
Cosa succede però se il muretto costruito sul bordo della piscina ha delle discontinuità, ossia delle
crepe? In tal caso l'acqua esce e l'area potrebbe non essere misurabile.
La morale è la seguente: affinché sia possibile lavorare con uno dei concetti intuitivi di area appena
esposti, bisogna evitare di avere perimetri discontinui, cioè bisogna limitarsi a considerare regioni
del piano il cui bordo è una unione finita di curve continue, ossia di curve che è possibile disegnare
senza staccare la matita dal foglio. Osserviamo infine che l'area di una regione del piano è
invariante per movimenti rigidi, cioè la misura della superficie di una figura non cambia se la
ruotiamo oppure se la spostiamo in alto/basso/destra/sinistra lasciandone però inalterate forma e
dimensioni.
Dopo aver parlato di area, ritorniamo alla definizione di integrale.
La definizione di integrale definito
Definizione 1. Sia f : [ a, b] → R una funzione continua sull'intervallo chiuso
[a; b] e positiva, cioè f ( x) ≥ 0 per ogni x ∈ [ a, b]
Chiameremo integrale definito della funzione f nell'intervallo [a; b] (frase spesso abbreviata in
“integrale di f da a a b”) il numero che misura l'area della regione del piano delimitata, in basso
dall'asse delle ascisse, in alto dal grafico di f, a destra dalla retta x = b ed a sinistra dalla retta x = a
(vedi Figura 1). Nelle formule matematiche l'integrale di f da a a b viene indicato con il simbolo
b
∫ f ( x)dx
a
I punti a; b sono detti estremi di integrazione e sono caratterizzanti dell'integrale definito.
Definiremo più avanti l'integrale indefinito che si differenzierà da quello definito anche per la
mancanza degli estremi di integrazione.
Figura 1
1
Esempio 1. Sia c un numero reale positivo. Allora la funzione costante f(x) = c è continua
sull'intervallo [a; b] e per definizione l'integrale di c da a a b è l'area del rettangolo di altezza c che
ha come base il segmento [a; b] e quindi (vedi Figura 2)
b
∫ cdx = c ( b − a )
a
Figura 2
Proprietà dell’integrale definito
Vogliamo trovare una regola che ci permetta di calcolare gli integrali definiti e per fare questo
bisogna studiarne prima le principali proprietà.
Lemma 1. Sia f : [ a, b] → R una funzione continua.
Spiegazione. Per definizione, l'integrale di una funzione positiva è una misura di superficie ed è
quindi un numero ≥ 0 . Se invece f è negativa, allora − f è positiva e basta ricordare che
Lemma 2. Sia f : [ a, b] → R una funzione continua e sia c un punto dell'intervallo [a; b]. Allora
vale
Spiegazione. Basta osservare che la retta x = c divide in due parti la regione del piano delimitata, in
basso dall'asse delle ascisse, in alto dal grafico di f, a destra dalla retta x = b ed a sinistra dalla retta
b
x = a (vedi Figura 3). Ne segue che l'area totale (che per definizione è
∫ f ( x)dx ) è uguale alla
a
2
somma delle aree delle regioni situate a sinistra ed a destra della retta x = c, ossia uguale alla
c
somma di
∫
b
f ( x)dx e
a
∫ f ( x)dx )
c
Figura 3
Definizione 2. Sia f : [ a, b] → R una funzione continua e sia F : [ a, b] → R una funzione continua
e derivabile in ]a; b[ tale che F ′( x) = f ( x) per ogni x ∈ ]a, b[ . Allora diremo che F è una primitiva
di f sull'intervallo [a; b].
Se diciamo che F è una primitiva di f, senza fare riferimento ad intervalli, intendiamo che
F ′( x) = f ( x) in tutti i punti dove F è derivabile.
1
1
Ad esempio − è una primitiva della funzione 2 , mentre e x è una primitiva della funzione e x .
x
x
Corollario 1. Sia f : [ a, b] → R una funzione continua e sia F : [ a, b] → R una primitiva di f
sull'intervallo [a; b]. Allora vale la formula
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
Senza dimostrazione
In buona sostanza, il Corollario 1 implica che: per calcolare l'integrale di f da a a b è sufficiente
trovare una primitiva F di f e calcolare la differenza F (b) − F (a ) . In formule:
dove, se F(x) è una qualsiasi funzione e a; b sono numeri reali, si denota con
Esempio 2 La funzione
x3
è una primitiva di x 2 e quindi
3
3
Lemma 3. Siano F , G : [ a, b] → R due primitive della stessa funzione continua f : [ a, b] → R .
Allora F e G differiscono per una costante additiva.
Dimostrazione. Consideriamo la funzione H ( x) = F ( x) − G ( x) , la sua derivata
H ′( x) = F ′( x) − G ′( x) = f ( x) − f ( x) ≡ 0 è identicamente nulla e quindi, per un corollario del
teorema di Lagrange, la funzione H è costante.
Teorema della media
Se f(x) è continua in [a,b], esiste un punto x0 ∈ [ a, b ] tale che :
b
∫ f ( x)dx = f ( x )(b − a)
0
a
Senza dimostrazione
Il problema del calcolo differenziale, trattato in precedenza, studia l’operazione che fa passare da
una funzione f(x) alla sua derivata. Si presenta, ora, il problema di studiare l’operazione inversa, la
quale consiste nella ricerca delle primitive di una funzione data f(x).
Sappiamo già che le funzioni primitive di una data funzione sono determinate a meno di una
costante additiva.
Definizione Sia [ a, b] un intervallo chiuso. Si chiama partizione P dell’intervallo [ a, b] un
insieme finito di numeri { x0 , x1 ,..., xn } tale che:
a = x0 < x1 < ... < xn = b
Si chiama ampiezza della partizione P il numero:
| P |= max { xi − xi −1 : i = 1, 2,..., n}
Definizione Sia f(x) una funzione limitata nell’intervallo chiuso [ a, b] . In corrispondenza ad ogni
partizione P di [ a, b] poniamo:
mi = inf { f ( x) : x ∈ [ xi , xi −1 ] : i = 1, 2,..., n}
M i = sup { f ( x) : x ∈ [ xi , xi −1 ] : i = 1, 2,..., n}
e
4
n
s ( P, f ) = ∑ mi ( xi − xi −1 ) , somme inferiori di f rispetto a P;
i =1
n
S ( P, f ) = ∑ M i ( xi − xi −1 ) , somme superiori di f rispetto a P.
i =1
Ricordiamo che le definizioni di estremo superiore ed inferiore di un insieme sono già state
introdotte nel capitolo sugli insiemi.
f(x)
a
xi-1
xi
b
x
b
x
Figura 1
f(x)
a
xi-1
xi
Figura 2
Allo scopo di comprendere meglio la definizione di somme superiori ed inferiori, si osservino le
figure precedenti.
L’intervallo [a,b] viene partizionato in sottointervalli di larghezza xi − xi −1 . Nel caso delle somme
inferiori, in ogni sottointervallo si considera l’estremo inferiore dell’insieme delle f(x) il quale
n
definisce l’altezza del rettangolo di base xi − xi −1 . La quantità s ( P, f ) = ∑ mi ( xi − xi −1 ) , rappresenta
i =1
quindi la somma delle aree di tutti i rettangoli (vedi figura 1).
Il medesimo discorso vale per le somme superiori S ( P, f ) , considerando questa volta l’estremo
superiore dell’insieme delle f (figura 2).
Teorema Se f(x) è una funzione limitata in [ a, b] , per ogni partizione P1 e P2 di [ a, b] , si ha:
m(b − a ) ≤ s ( P1 , f ) ≤ S ( P2 , f ) ≤ M (b − a )
Dove:
5
m = inf { f ( x) : x ∈ [ xi , xi −1 ] : i = 1, 2,..., n}
M = sup { f ( x) : x ∈ [ xi , xi −1 ] : i = 1, 2,..., n}
Senza dimostrazione
Lemma Siano P1 e P2 due partizioni di [a,b] tali che P1 ⊂ P2 , allora:
s ( P1 , f ) ≤ s ( P2 , f )
S ( P1 , f ) ≥ S ( P2 , f )
Dimostrazione
Cominciamo con il supporre che P1 = {x0 , x1 ,..., xi −1 , xi ,..., xn } e che P2 = {x0 , x1 ,..., xi −1 , x, xi ,..., xn } ,
cioè P2 abbia un punto x in più di P1 tale che xi −1 < x < xi . Poniamo:
{
}
{
}
η1 = inf f ( x) : x ∈ xi −1 , x
η2 = inf f ( x) : x ∈ x, xi ,
Ovviamente si ha: η1 ≥ mi e η2 ≥ mi e quindi:
s ( P2 , f ) − s ( P1 , f ) = η1 ( x − xi −1 ) + η 2 ( xi − x) − mi ( xi − xi −1 ) =
(η1 − mi )( x − xi −1 ) + (η2 − mi )( xi − x) ≥ 0
Se P2 contiene più di un punto, si ripete il ragionamento precedente più volte.##
Osservazione: quanto più si raffina ( P1 ⊂ P2 , P2 è più raffinato di P1, ossia contiene ad esempio, un
punto in più), tanto più le somme inferiori crescono, mentre le somme superiori decrescono.
Dal lemma precedente, si può notare che s ( P2 , f ) ( S ( P2 , f ) ) è un maggiorante (minorante) di
s ( P1 , f ) ( S ( P1 , f ) ), facendo variare P2 (ossia considero dei punti in più) e tenendo fermo P1,
esisterà** l’estremo superiore (inferiore) delle somme inferiori (superiori) di f rispetto a P1.
**Infatti dal capitolo sugli insiemi, un elemento y di un insieme M è un estremo superiore
(estremo inferiore) dell’insieme A (incluso in M) se:
1. y è maggiorante (minorante) di A
2. per ogni maggiorante (minorante) a ∈ M , risulta y ≤ a ( a ≤ y )
Possiamo quindi definire:
b
sup s ( P, f ) = ∫ f , estremo superiore delle somme inferiori
a
e
6
b
inf S ( P, f ) = ∫ f estremo inferiore delle somme superiori
a
Di conseguenza, possiamo dare la seguente
Definizione Sia f :[a, b]
→ R limitata su [a,b] , si dice che f è integrabile secondo Riemann in
[a,b] se
b
∫
a
b
f =∫ f
a
Il valore comune si chiama integrale della f.
Esempio di funzione integrabile secondo Riemann
Sia f una funzione dall’intervallo [a,b] su R ( f :[a, b] → R ) tale che f(x)=c. La funzione f è
integrabile secondo Riemann poiché:
n
n
i =1
i =1
S ( P, f ) = ∑ M i ( xi − xi −1 ) = c ∑ ( xi − xi −1 ) = c ( ( x1 − x0 ) + ( x2 − x1 ) + ... + ( xn − xn −1 ) )
Poiché x0 = a , xn = b , segue
S ( P, f ) = c(b − a )
Lo stesso vale per le somme inferiori, ossia s ( P, f ) = c(b − a ) , quindi
S ( P , f ) = s ( P, f )
Dunque la funzione f è integrabile secondo Riemann.
Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann
Si consideri la funzione di Dirichèlet:
0, x ∈ [a, b] ∩ Q
f ( x) =
1, x ∈ [a, b] \ Q
In altre parole, la funzione vale 0 se x è un numero razionale compreso tra a e b, mentre vale 1 se x
è un numero irrazionale compreso tra a e b.
Di conseguenza S ( P, f ) = (b − a ) , mentre s ( P, f ) = 0 . Di conseguenza la funzione non è
integrabile secondo Riemann.
Definizione
Sia f una funzione continua nell’intervallo [a,b] , per ogni x ∈ [a, b] consideriamo l’integrale
definito
7
x
F ( x) = ∫ f (t )dt (*)
a
La funzione F(x) si chiama funzione integrale.
Notiamo che abbiamo rappresentato l’integrale definito usando la variabile di integrazione t, invece
che la x, con un puro scambio di simboli. Invece abbiamo denotato con x il secondo estremo di
integrazione. Per ogni x è determinato l’integrale definito nell’intervallo [ a, x ] della funzione f;
pertanto il risultato dell’integrazione risulta una funzione di x. Ciò spiega il simbolo di funzione
F(x) a primo membro della (*).
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia f una funzione continua nell’intervallo [a,b]. La funzione integrale F(x), definita in precedenza,
è derivabile e la derivata vale
F ′( x) = f ( x) , ∀x ∈ [ a, b ]
Dimostrazione:
Occorre calcolare il limite del rapporto incrementale della funzione F(x), quando l’incremento tende
a zero. Cominciamo con il rapporto incrementale
x+h
x
F ( x + h) − F ( x) 1
= ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt =
h
h a
a
x
x+h
x
x+h
1
1
∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt
h a
x
a
h x
Abbiamo utilizzato la proprietà di additività dell’integrale rispetto all’intervallo.
F ( x + h) − F ( x ) 1
=
h
h
x+h
∫
f (t )dt
x
Dal teorema della media segue
x+ h
∫
f (t )dt = f ( x0 )( x + h − x) = f ( x0 )h ,
x
quindi
1
h
x+h
∫
f (t )dt = f ( x0 )
x
con x0 ∈ [ x, x + h] . Passando al limite per h → 0 , segue che x0 → x ; inoltre poiché la funzione f è
continua:
lim f ( x0 ) = f ( x)
h →0
8
quindi
lim
h →0
F ( x + h) − F ( x)
= lim f ( x0 ) = f ( x) .
h →0
h
L’integrale indefinito
L'integrale indefinito di una funzione continua f si indica con
ed è per definizione l'insieme di tutte le primitive della funzione f. Abbiamo visto che, se f è
continua su di un intervallo, allora f possiede primitive e due primitive di f differiscono per una
costante additiva. Pertanto, se F è una primitiva di una funzione continua f definita in un intervallo
scriveremo
dove F(x) + C sta ad indicare l'insieme delle funzioni della forma F(x) + c, con c costante.
Dalle regole di derivazione seguono immediatamente i seguenti integrali indefiniti
In generale:
Osserviamo che, se F(x) è una primitiva di f(x) e c è una costante, allora cF (x) è una primitiva di
cf(x) e quindi si ha
ossia le costanti moltiplicative si possono portare fuori dal segno di integrale indefinito. Ad
esempio:
9
Se F;G sono primitive di f; g rispettivamente, allora F +G è una primitiva di f +g e quindi si ha
La regole da adottare e ricordare sono quindi che:
1. L'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali.
2. Le costanti moltiplicative possono essere portate fuori dal segno di integrazione.
Ad esempio
Integrazione per parti
Al fine di prevenire un errore comune, osserviamo che l'integrale del prodotto non è uguale al
prodotto degli integrali.
Se G ( x) = ∫ g ( x)dx è una primitiva di g(x), allora dalla formula di derivazione del prodotto segue
( fG )′ ( x) =
f ( x) g ( x) + f ′( x)G ( x) , quindi ( fG )′ ( x) − f ′( x)G ( x) = f ( x) g ( x) ed integrando si
ottiene l'uguaglianza
∫ f ( x) g ( x)dx = f ( x)G( x) − ∫ f ′( x)G( x)dx
L’uguaglianza sopra è denominata formula di integrazione per parti. La formula di integrazione
per parti ci dice il prezzo che dobbiamo pagare per far evadere f(x) dall'integrale ∫ f ( x) g ( x)dx e
può essere utilizzata per il calcolo di alcuni integrali.
Esempio 1. Calcoliamo
∫ xe dx . Per la formula di integrazione per parti, ponendo
x
f ( x) = x e
g ( x) = e x , si ha
Notiamo in proposito che, se avessimo scelto g ( x) = x e f ( x) = e x , allora avremmo avuto
l'uguaglianza
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che si sarebbe rivelata del tutto inutile.
Esempio 2. Calcoliamo
∫ x e dx . Per la formula di integrazione per parti, ponendo
2 x
f ( x) = x 2 e
g ( x) = e x , si ha
Abbiamo calcolato precedentemente l'integrale di xe x , e quindi
Esempio 3. Calcoliamo ∫ ln xdx . Per la formula di integrazione per parti, ponendo f ( x) = ln x e
g ( x) = 1 , si ha
Integrazione per sostituzione
Supponiamo di avere una primitiva F(x) della funzione f(x). Se consideriamo il cambiamento di
variabile x = φ (t ) , allora dalla regola di derivazione della funzione composta segue che
e quindi vale
se e solo se
Prima di applicare tale risultato al calcolo degli integrali è conveniente introdurre il concetto di
differenziale di una funzione f.
11
Abbiamo già detto che il simbolo dx che delimita a destra l'integrale viene detto differenziale di x.
Se f(x) è una funzione derivabile, definiamo il differenziale di f come
ossia come il prodotto della derivata di f rispetto a x per il differenziale dx. Notiamo che il
differenziale di una funzione f è nullo se e solo se f è una funzione costante sugli intervalli.
Esempio 4. Si ha
Consideriamo adesso il termine dx nel simbolo dell'integrale come il differenziale della funzione x.
Allora se x = φ (t ) si ha
Esempio 5. Calcoliamo l'integrale
dy = 2 xdx , ossia xdx =
x
2
∫ xe dx . Possiamo introdurre la funzione y = x , allora
2
dy
e si ha
2
Integrazione di funzioni razionali
Occupiamoci ora di determinare gli integrali della forma
P( x)
∫ Q( x)dx
dove P(x) e Q(x) sono due polinomi.
Per funzioni di questa forma è possibile dare un metodo di integrazione, metodo che risulta effettivo
tutte le volte che si è in grado di fattorizzare il denominatore in fattori di primo grado oppure di
secondo grado con discriminante ∆ < 0 . Il metodo consiste nella decomposizione della frazione f(x)
in una somma di altre frazioni, che è possibile integrare pi`u o meno direttamente, e viene perciò
detto “metodo di decomposizione in frazioni parziali”.
Ricordiamo che un polinomio è una funzione della forma
12
dove n `e un intero non negativo, a0 , a1 ,..., an sono delle costanti e an ≠ 0 . Il numero intero n è detto
P ( x)
grado del polinomio P e si indica con la notazione deg(P). Il quoziente f ( x) =
di due
Q( x)
polinomi è una funzione razionale.
Riduzione alle frazioni proprie
P ( x)
Una funzione razionale f ( x) =
si dice propria se il grado del numeratore P è strettamente
Q( x)
minore del grado del denominatore Q. È semplice esprimere una qualunque funzione razionale
come la somma di un polinomio e di una frazione propria. Se infatti deg( P ) ≥ deg(Q ) , basta
effettuare la divisione dei polinomi, ottenendo un polinomio quoziente A(x) e un polinomio resto
B(x), tali che:
Si ha allora
e l’ultima frazione è propria.
Dalle proprietà degli integrali si ha:
e in quest’ultima somma l’integrale di A(x) `e semplice da calcolare, in quanto A(x) è un polinomio.
Il problema è dunque calcolare il secondo integrale.
Esempio 6. Calcolare
Il grado del numeratore `e 3 e il grado del denominatore `e 2, per cui occorre dividere. Si ha:
e quindi
13
Passando agli integrali
Nel caso in cui deg( P ) < deg(Q ) , il procedimento da seguire è illustrato mediante il seguente
esempio.
Esempio 7. Calcolare
L’equazione x 2 − 3 x + 2 = 0 ha soluzioni α = 1 e β = 2 e dunque si può scrivere
x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1)( x − 2) . Si ha allora
e il sistema da risolvere è
Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene −C = 2 e dunque C = −2 , e dalla prima
si ha D = 3. Dunque
Esempio 8. Calcolare
3x − 2
dx
2
−4
∫x
L’equazione x 2 − 4 = 0 ha soluzioni α = −2 e β = 2 e dunque si può scrivere
x 2 − 4 = ( x + 2)( x − 2) . Si ha allora
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e il sistema da risolvere è
Moltiplicando per 2 la prima equazione e sommandola membro a membro alla seconda si ottiene
4D = 4 e dunque D = 1, e dalla prima si ha C = 2. Dunque
15
