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1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Equazioni esponenziali
Dato a R , un'equazione esponenziale elementare si scrive come a x = b
1° caso: se b 0 l'equazione non ha soluzione
2° caso: se b > 0 e a 1 l'equazione ha una ed una sola soluzione, che vale x = log a (b)
3° caso: se b > 0 , b 1 e a = 1 l'equazione non ha soluzione
4° caso: se b = 1 e a = 1 l'equazione è soddisfatta per ogni x R
Nel caso particolare in cui l'equazione sia della forma a f ( x ) = a g ( x ) a R 1, dato che le basi sono
uguali basta risolvere l'equazione f ( x) = g ( x) .
Equazioni logaritmiche
Dati a R 1, b R e x 0 , un'equazione logaritmica elementare è della forma log a ( x) = b
ed ha una ed una sola soluzione che, per definizione di logaritmo, vale x = a b . Se un'equazione logaritmica
si presenta nella forma loga f ( x) = loga g ( x) dove i logaritmi hanno la stessa base,
per determinare la soluzione è sufficiente risolvere il sistema
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) = g ( x)
Proprietà dei logaritmi
Notazioni: un logaritmo naturale, cioè in base e (numero di Nepero) lo si indica con ln mentre un
logaritmo in base 10 con Log .
log a a 1
log a1 = 0
Somma, prodotto e quoziente di logaritmi
loga (b1 b2 ) = loga (| b1 |) loga (| b2 |)
log a (b n ) = n log a (| b |)
loga ( b )
=b
b
log a 1 = log a (| b1 |) log a (| b2 |)
b2
1
log a (n b ) = log a (| b |)
n
1
log a log a b
b
b1
b
log a 2
b2
b1
Cambiamento di base
log cb
1
log a b log a c logc b
log a b
log ab =
logb a
log ca
Segno del logaritmo
log a x 0 x 1 se a 1
log a x 0 0 x 1 se 0 a 1
log a
a
log a x 0 0 x 1 se a 1
log a x 0 x 1 se 0 a 1
Equazioni irrazionali
n f ( x) = g ( x)
Dato n N 0, un'equazione irrazionale si scrive come
1° caso: se n è dispari, allora l'insieme di definizione D coincide con l'insieme in cui sono ben definite
f (x) e g (x)
2° caso: se n è pari, allora l'insieme di definizione D coincide con l'insieme delle x R tali per cui f (x) e
g (x) risultano ben definite e inoltre f ( x) 0, g ( x) 0
Determinato D , si elevano ambo i membri alla pontenza n -esima, ottenendo f ( x) = g n ( x)
L’insieme soluzione dell'equazione è l'insieme delle x appartenenti a D tali che f ( x) = g n ( x) .
1
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Disequazioni esponenziali
Dati a R 1 e b R , una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come
o
ax b
ax b
Caso a x b
Se b 0 la disequazione è sempre soddisfatta
Se b 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log a b
Se b 0 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log a b
Caso a x b
Se b 0 la disequazione è sempre soddisfatta
Se b 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log a b
Se b 0 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log a b
Disequazioni logaritmiche
Dati a R 1, b R e x 0 , una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come
o
log a ( x) b
log a ( x) b
Caso log a ( x) b
Se a 1 la disequazione è soddisfatta per x a b
Se 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per 0 x a b
Caso log a ( x) b
Se a 1 la disequazione è soddisfatta per 0 x a b
Se 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x a b
Disequazioni irrazionali
Dato n N 0, una disequazione irrazionale si può scrivere in una di queste quattro forme
n f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
Caso n dispari
Le disequazioni saranno soddistatte da
n f ( x ) g ( x ) f ( x) g n ( x)
n
n
f ( x) g ( x)
n
f ( x ) g ( x ) f ( x) g n ( x)
n
f ( x) g ( x)
n f ( x ) g ( x ) f ( x) g n ( x )
f ( x ) g ( x ) f ( x) g n ( x )
con le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni f x , g x .
Caso n pari
Le disequazioni saranno soddistatte da
f ( x) 0 g ( x) 0
f ( x) 0 g ( x) 0
n f ( x ) g ( x)
n f ( x ) g ( x)
n
n
g ( x) < 0 f ( x) g ( x)
g ( x) < 0 f ( x) g ( x)
n
f ( x) 0
f ( x) 0
n
f ( x ) g ( x) g ( x ) 0
f ( x) g ( x) g ( x ) 0
f ( x) g n ( x)
f ( x) g n ( x)
Anche in questo caso vanno considerate le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni
f x , g x .
n
2
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2. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO
Retta
Equazione in forma implicita
Equazione in forma esplicita
Relazione tra i coefficienti
ax by c = 0
y = mx q
a
c
m= , q = e b0.
b
b
m si dice coefficiente angolare o pendenza, q si dice intercetta o quota.
Retta parallela all'asse x
Retta parallela all'asse y
x=h
y=k
x x1 y y1
Retta passante per due punti A = x1 , y1 e B = x2 , y 2
=
x2 x1 y 2 y1
y y2
Coefficiente angolare di una retta passante per due punti
se x1 x2
m= 1
x1 x2
Condizione di parallelismo:
tra le rette ax by c = 0 e a' x b' y c' = 0
a b'b a' = 0 .
tra le rette y = mx q e y = m' x q'
m = m'
Condizione di perpendicolarità:
forma implicita a a'b b' = 0
forma esplicita m m' = 1 .
Fascio improprio di rette:
Se la retta data è ax by c = 0
il fascio è ax by k = 0
Se la retta data è y = mx q
il fascio è y = mx k
Fascio proprio di rette
Se ax by c = 0 e a' x b' y c' = 0 si intersecano in P( x0 , y0 )
l'equazione del fascio proprio è h(ax by c) k (a' x b' y c' ) = 0
h
posto = si ha
(ax by c) a' x b' y c' = 0
k
al variare di R si hanno tutte le rette del piano passanti per P , ad eccezione di ax by c = 0 .
| ax0 by0 c |
Distanza punto-retta: dato P( x0 , y0 ) e la retta ax by c = 0 , la distanza è d =
a 2 b2
Circonferenza
Equazione della circonferenza di centro ( , ) e raggio R
( x )2 ( y )2 = R2
L'equazione x 2 y 2 ax by c = 0 , se
e raggio R =
a 2 b2
a b
c 0 , rappresenta la circonferenza di centro ,
4 4
2 2
a 2 b2
1 2
c =
a b 2 4c
4 4
2
Circonferenze con centro nell'origine
x2 y 2 = R2
Circonferenze passanti per l'origine
x 2 y 2 ax by = 0
Fasci di circonferenze:
Circonferenze concentriche di centro ( , )
( x )2 ( y )2 = k 2
Date le circonferenze x 2 y 2 ax by c = 0 e x 2 y 2 a1 x b1 y c1 = 0 , l’equazione del fascio è
x 2 y 2 ax by c x 2 y 2 a1 x b1 y c1 = 0, 0
posto 0, t
si ha x 2 y 2 ax by c t x 2 y 2 a1 x b1 y c1 = 0, t 1
che rappresenta una circonferenza tranne per t 1 , caso in cui la circonferenza degenera in una retta.
Se a a1 b b1 ; se a a1 b b1 le due circonferenze sono concentriche e l’equazione del fascio
degenera in un numero (polinomio di grado zero in x e y).
3
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Asse radicale di una circonferenza
è la retta che si ottiene imponendo t 1 nel fascio di circonferenza di equazione
x 2 y 2 ax by c t x 2 y 2 a1 x b1 y c1 = 0 nel caso in cui a a1 b b1 , ed è perpendicolare
alla retta che congiunge i centri delle circonferenze stesse:
a a1 x b b1 y c c1 0
Se le due circonferenze si intersecano in A e B, punti base del fascio, l’asse radicale è la retta AB.
Se le due circonferenze sono tangenti l’asse radicale è la retta passante per T e ivi tangente ad ogni
circonferenza del fascio.
Circonferenza passante per tre punti x1 , y1 , x2 , y 2 , x3 , y3
x
x
det 1
x2
x3
y
y1
y2
y3
x2
x12
x 22
x32
y2
y12
y 22
y 32
1
1
0
1
1
Parabola
La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta
direttrice.
Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y
Equazione
con a, b, c R e a 0 .
y = ax 2 bx c
b 1 b 2 4ac
Fuoco F = ,
4a
2a
Asse di simmetria
b
x=
2a
direttrice
y=
1 b 2 4ac
4a
b b 2 4ac
vertice V = ,
4a
2a
Concavità:
se a 0 la parabola ha concavità verso l'alto, si dice convessa, ha minimo nel vertice;
se a 0 la parabola ha concavità verso il basso, si dice concava, ha massimo nel vertice.
Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x
Equazione
con a, b, c R e a 0 .
x = ay 2 by c
1 b 2 4ac b
,
Fuoco F =
4a
2a
direttrice
x=
1 b 2 4ac
4a
b 2 4ac b
b
,
Asse di simmetria
vertice V =
y=
4
a
2a
2a
Concavità: se a 0 concavità verso destra, se a 0 concavità verso sinistra.
Ellisse
Un'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti
fuochi.
x2 y2
=1
Equazione canonica:
dove a,b > 0
a 2 b2
Se a b l'asse focale è parallelo all'asse x , se a b l'asse focale è parallelo all'asse y .
Se a = b si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio a .
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
= 1.
Equazione dell'ellisse traslata rispetto al punto ( x0 , y0 )
a2
b2
x = a cos(t ) x0
, t [0,2 )
Equazione parametrica
= b sin (t ) x0
x2 y2
Data un'ellisse di equazione 2 2 = 1 , le coordinate dei vertici sono
a
b
Vertici:
A1 = (a,0)
A2 = (a,0)
B1 = (0, b)
B2 = (0,b)
4
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Asintoti:
y=
Asse focale:
se a b
se a b
se a > b
se a b
Fuochi
b
x
a
l’asse focale è A1 A2 , l’asse minore è B1 B2
l’asse focale è B1 B2 l'asse minore è A1 A2
la lunghezza dell'asse focale è 2a
la lunghezza dell'asse focale è 2b
Posto c = | a 2 b 2 | , le coordinate dei fuochi sono
se a b
F1 = (c,0)
F2 = (c,0)
se a b
F1 = (0, c)
F2 = (0,c)
Eccentricità
x2 y2
Data un'ellisse di equazione 2 2 , e posto c = | a 2 b 2 |
a
b
c
se a b l'eccentricità vale e = ,
a
c
se a b l'eccentricità vale e =
b
Se a, b 0 , con a b , risulta 0 e 1 . Se a = b , ossia per la circonferenza, risulta e = 0 .
Iperbole
L'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti
fuochi.
x2 y2
Iperbole con i fuochi sull'asse x e simmetrici rispetto all'origine 2 2 = 1 con a, b R .
a
b
x2 y2
= 1
a 2 b2
sin (t )
x=a
cos (t )
x = a cosh (t )
3
Equazione parametrica
, t [0,2 ) o
, t [0,2 ) \ ,
2 2
y = b sinh (t )
y = b
cos (t )
Vertici:
2
x
y2
se 2 2 = 1 i vertici sono
A1 = (a,0)
A2 = (a,0)
a
b
x2 y2
se 2 2 = 1 i vertici sono
B1 = (0, b)
B2 = (0,b)
a
b
b
Asintoti:
y= x
a
2
2
Fuochi: posto c = a b 2
se appartenenti all’asse x hanno coordinate F1 = (c,0)
F2 = (c,0)
se appartenenti all’asse y hanno coordinate F1 = (0, c)
F2 = (0,c)
Eccentricità
c
e=
Se i fuochi appartengono all'asse x l'eccentricità vale
a
c
e= .
Se i fuochi appartengono all'asse y l'eccentricità vale
b
Iperbole equilatera
Iperbole con i fuochi sull'asse y e simmetrici rispetto all'origine
5
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Se a = b e i fuochi appartengono all'asse x l'iperbole equilatera è
Se a = b e i fuochi appartengono all'asse y l'iperbole equilatera è
x2 y 2 = a2
x 2 y 2 = a 2
Gli asintoti di un'iperbole equilatera sono y = x e y = x , l’'eccentricità è e = 2 .
Iperbole equilatera riferita agli assi
Un'iperbole equilatera ruotata di 45 ha per asintoti gli assi cartesiani, l’equazione è xy = k
Funzione omografica
Una funzione omografica è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma non
necessariamente coincidenti con gli assi stessi.
ax b
Dati a, b, c, d R , con c 0 , l'equazione di una funzione omografica è y =
cx d
d
Se ad bc = 0 l'equazione è una retta parallela all'asse x privata del punto di ascissa
c
d a
Se ad bc 0 l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera con centro di simmetria , e asintoti
c c
d
a
x= e y= .
c
c
Altri luoghi e proprietà
x x y y2
Punto medio di un segmento AB: se A( x1, y1 ) e B( x2 , y2 ) il punto medio è M 1 2 , 1
.
2
2
Distanza fra due punti (lunghezza di un segmento)
Se A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ) la lunghezza di AB è
d = ( x x1 ) 2 ( y y2 ) 2
Asse di un segmento AB
Se A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ) l’asse è
2( x1 x2 ) x 2( y1 y2 ) y ( x12 x22 ) ( y12 y22 ) = 0
Bisettrice
Due rette distinte a1 x b1 y c1 = 0 e a2 x b2 y c2 = 0 individuano nel piano quattro angoli, le cui bisettrici
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
a1 x b1 y c1
a x b2 y c2
sono
=
= 2
2
2
2
2
2
2
a1 b1
a2 b2
a1 b1
a22 b22
Luogo dei punti a distanza assegnata da una retta
Il luogo dei punti a distanza d dalla retta ax by c = 0 è dato dalle due rette di equazione
ax by c d a 2 b 2 = 0
ax by c d a 2 b 2 = 0
Baricentro di un triangolo
Dato un triangolo di vertici in A = ( x1 , y1 ) , B = ( x2 , y2 ) , C = ( x3 , y3 ) ,
le coordinate del baricentro sono
x x2 x3 y1 y 2 y3
G= 1
,
3
3
Area di un triangolo
Se i vertici del triangolo sono A = ( x1 , y1 ) , B = ( x2 , y2 ) , C = ( x3 , y3 )
la sua area vale
x1
1
Area = det x2
2
x
3
y1 1
1
y 2 1 = x1 y 2 x3 y1 x 2 y3 x3 y 2 x1 y 3 x 2 y1
2
y3 1
6
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Trasformazioni geometriche
X x a
Traslazioni nel piano
Y = y b
Rotazioni nel piano di centro O in senso antiorario di un angolo
cos sin
X = x cos y sin
con
cos 2 sin 2 1 0
sin cos
Y = x sin y cos
Rototraslazioni nel piano di centro C a, b in senso antiorario di un angolo
cos sin
X = x cos y sin a a cos b sin
con
cos 2 sin 2 1 0
sin cos
Y = x sin y cos b a sin b cos
Affinità
a b
X ax by m
con
ad cb 0
c d
Y = cx dy n
a b
X ax by m
Similitudine diretta
con
a2 b2 0
b a
Y = bx ay n
a b
X ax by m
Similitudine indiretta
con
a2 b2 0
b a
Y = bx ay n
Il numero k a 2 b 2 è detto rapporto di similitudine.
a b
X ax by m
con
a2 b2 1
Isometria diretta
b a
Y = bx ay n
a b
X ax by m
con
a 2 b 2 1
Isometria indiretta
b a
Y = bx ay n
k 0
X kx
con
k2 0
Omotetia di centro O e rapporto k
0 k
Y = ky
Dilatazione di centro O
X kx
con h,k 0
Y = hy
Simmetria rispetto all’asse delle ascisse
X x
Y y
X x
Y y
X x
Simmetria rispetto alla retta y k è
Y y 2k
X x 2h
Simmetria rispetto alla retta x h è
Y y
Simmetria rispetto all’asse delle ordinate
X y
Simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante
Y x
X y
Simmetria rispetto alla bisettrice del 2° e 4° quadrante
Y x
X x
Y y
X x 2a
Simmetria rispetto al punto C a, b è
Y y 2b
Simmetria rispetto all’origine
7
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3. GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Con
Prima relazione fondamentale
sin 2 cos 2 1
sin 1 cos 2 , cos 1 sin 2
sin
Seconda
tan
, k , k Z
cos
2
cos
Terza
cot
, k , k Z oppure
sin
1
Quarta
sec
, k , k Z
cos
2
1
Quinta
cosec
, k , k Z
sin
Archi associati
cos = cos
sin = sin
cos = cos
sin = sin
cot
1
, k , k Z
tan
2
tan = tan
tan = tan
cos = sin
sin = cos
tan = cot
2
2
2
cos = sin
sin = cos
tan = cot
2
2
2
Formule di addizione e sottrazione
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan
tan
, , , , k , k Z
1 tan tan
2
cot cot 1
cot
, , , , k , k Z
cot cot
Formule per la duplicazione
cos2 cos 2 sin 2 1 2 sin 2 2 cos 2 1
sin2 2 sin cos
2 tan
tan2
, k , k , k Z
2
2
4
2
1 tan
2
cot 1
cot 2
, k , k Z
2 cot
2
Formule di triplicazione
sin3 = 3 sin 4 sin3
cos3 = 4 cos3 3 cos
3 tan tan3
tan3 =
, k , k Z
2
1 3 tan
6
3
Formule per la bisezione
1 cos
1 cos
sin
cos
2
2
2
2
1 cos
, 2k 1 , k Z
2
1 cos
Formule parametriche
tan
sin
2 tan
1 tan
cot
2 , 2k 1 , k Z
2
cos
2
1 tan 2
1 tan
2
8
1 cos
, 2k , k Z
1 cos
2 , 2k 1 , k Z
2
2
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2 tan
1 tan 2
2 , k , k Z
2 , k , k Z
tan
2
1 tan 2
2 tan
2
2
Formule di prostaferesi
sin sin 2 sin
sin sin 2 cos
cos
sin
2 2
2 2
cos cos 2 cos
cos cos 2 sin
cos
sin
2 2
2 2
sin
sin
tan tan
, , k , k Z cot cot
, , k , k Z
cos cos
2
sin sin
Formule di Werner
1
1
sin cos sin sin
cos cos s cos in cos
2
2
1
sin sin cos cos
2
Formule di Briggs
abc
Siano a, b, c, p
la lunghezza dei tre lati ed il semiperimetro di un triangolo. Si ha:
2
tan
sin
2
sin
2
sin
2
tan
2
tan
2
tan
2
p b p c
bc
p a p c
ac
p a p b
ab
p b p c
p p a
p a p c
p p b
p a p b
p p c
p p a
cos
2
bc
p p b
cos
2
ac
p p c
cos
2
ab
cot
2
cot
2
cot
2
p p a
p b p c
p p b
p a p c
p p c
p a p b
Conversione fra radianti e gradi
misura in radianti, misura in gradi:
=
9
180
=
180
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Archi notevoli
(radianti) (gradi)
sin
0
6 2
4
0
0
12
15
10
18
5 1
4
2230
2 2
2
8
6
5
4
3
10
3
30
1
2
36
1
10 2 5
4
5 1
4
2
2
45
5 1
4
3
2
54
60
6730
2
5
72
90
2
2
1
10 2 5
4
6 2
4
1
cot
non esiste
2 3
2 3
52 5
5
5 2 5
2 1
2 1
3
3
3
52 5
5 2 5
5
1
1
5 2 5
5
52 5
3
3
3
2 2
2
2 1
2 1
5 1
4
5 2 5
52 5
5
1
10 2 5
4
1
2
2 2
2
75
tan
0
1
10 2 5
4
2 2
2
3
2
3
8
5
12
2
cos
1
6 2
4
6 2
4
0
10
2 3
2 3
non esiste
0
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Triangolo rettangolo
b = a sin = a cos , c = a sin( ) = a cos
b = c tan = c cot , c = b tan = b cot
Teorema della corda
Sia R il raggio della circonferenza, e sia
circonferenza sotteso dalla corda
l'ampiezza dell'angolo alla
AB , allora la lunghezza di
AB
è
AB = 2R sin ( )
Triangolo qualsiasi
Area del triangolo
1
1
1
A = ab sin = bc sin = ac sin
2
2
2
1 2 sin sin 1 2 sin sin 1 2 sin sin
oppure A a
b
c
2
sin
2
sin
2
sin
a
b
c
=
=
sin sin sin
Teorema del coseno (o di Carnot)
a 2 = b 2 c 2 2bc cos
b 2 = a 2 c 2 2ac cos c 2 = a 2 b 2 2ab cos
Teorema delle proiezioni a = b cos c cos b = a cos c cos
c = a cos b cos
Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo di area A e semiperimetro p
A
r = = p a tan = p b tan = p c tan
p
2
2
2
a
b
c
abc
Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo
R=
=
=
=
2 sin 2 sin 2 sin 4 A
Raggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :
A
A
A
ra =
rb =
rc =
pa
p b
pc
Teorema dei seni
Lunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :
1
1
1
ma =
2b 2 2c 2 a 2
mb =
2a 2 2c 2 b 2
mc =
2a 2 2b 2 c 2
2
2
2
Lunghezza della bisettrice relativa, rispettivamente, agli angoli di ampiezza , , :
2bc cos
2
b =
bc
2ac cos
2
b =
ac
2ab cos
2
b =
ab
cot
2
tan
2
tan
ab
2
Teorema delle tangenti o di Nepero
ab
tan
2
Significato trigonometrico della pendenza di una retta
m coefficiente angolare della retta e misura dell’angolo tra retta e asse delle ascisse: m tan
Angolo tra due rette
m m'
m, m' coefficienti angolari delle rette, misura dell’angolo tra le rette. Si ha tan
1 mm'
11
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Coordinate polari
x cos
y sin
, x, y :
x2 y 2
y
arctan x
y
arctan 2
x
x, y , :
y
arctan
x
2
3
2
12
se x 0 e y 0
se x 0 e y 0
se x 0
se x 0 e y 0
se x 0 e y 0
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4. ANALISI
Limiti
Proprietà dei limiti
Se lim f ( x) = l1 R e lim g ( x) = l 2 R , allora
x x0
x x0
lim f ( x) = l1 , R
x x0
lim f ( x) g ( x) = l1 l 2
x x0
lim f ( x) g ( x) = l1 l2
x x0
1
1
f ( x) l1
= , l1 0
= , l2 0
lim
x x0 f ( x)
x x0 g ( x)
l1
l2
Se lim f ( x) = l R e lim g ( x) = , allora
lim
x x0
x x0
lim f ( x) g ( x) =
x x0
lim f ( x) g ( x) =
x x0
Se lim f ( x) = lim g ( x) = , allora
x x0
x x0
lim f ( x) g ( x) =
x x0
lim f ( x) g ( x) =
x x0
Se lim f ( x) = l R /0 e lim g ( x) = , allora
x x0
x x0
se l > 0
f ( x)
=0
lim f ( x) g ( x) =
lim
x x0
x x0 g ( x)
se l < 0
Se lim f ( x) non esiste, ma f (x) è una funzione limitata, e se lim g ( x) = 0 , allora
x x0
x x0
lim f ( x) g ( x) = 0
x x0
Se lim f ( x) non esiste, ma f (x) è una funzione limitata, e se lim g ( x) , allora
x x0
x x0
lim f ( x) g ( x) =
x x0
lim
x x0
13
f ( x)
=0
g ( x)
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Tavola dei limiti notevoli
Razionali
an x n an 1 x n 1
lim
m
m 1
x b x b
m
m 1 x
a0
=
b0
an
a
0;
se n m e n 0;
bm
bm
Esponenziali e logaritmici
an
se n m;
bm
se n m e
x
1
lim 1 e
x
x
x
a
lim 1 e a
x
x
a
lim 1
x
x
x
1
1
x
lim 1 ax x e a
lim
x 0
x x 1
e
log a 1 x
1
lim
log a e
a R /1
x 0
x
ln a
x
a 1
lim
ln a, a R /1
x 0
x
lim log a x a (1,)
x 0
lim log a x a (1,)
x
lim a x 1
lim
x 0
0 se n m
bx
e ab
ln 1 x
1
x
a
1 x 1
lim
a
x 0
x
e 1
lim
1
x 0
x
lim log a x a 0,1
x
x 0
lim log a x a 0,1
x
lim a x 0 a (1,)
x 0
x
lim a x a 0,1
lim a x a (1,)
x
x
lim a 0 a 0,1
lim x b 0 b ,0
x
x
x
x
x 0
log a x
a 0,1, r R
r
x 0
x
b x
x
lim x a = lim a , b R , a R /1
log a x
a (1,), r R
r
x 0
x
b
x
x
lim | x | a = lim a , b R
lim x b b 0,
lim x r log a x 0 a R /1, r R
lim
x
x
x
a
= lim a x , b R , a R /1
b
x x
x
x b
lim e x = 0, b R
lim
lim
x
x
b
x
= lim a x , b R , a R /1
x
x a
x
lim
x
Goniometrici e iperbolici
sin x
sin mx m
lim
1
lim
x 0
x
0
x
nx
n
tan x
tan mx m
lim
1
lim
x 0
x 0
x
nx
n
arctan x
arctan mx m
lim
1
lim
x 0
x 0
x
nx
n
x sin x 1
tanh x
lim
lim
1
3
x 0
x
0
6
x
x
lim tan x
x
2
lim cot x
x 0
lim tan x
x
1 cos x
0
x
arcsin x
lim
1
x 0
x
sinh x
lim
1
x 0
x
settsinh( x)
=1
lim
x0
x
lim
x 0
lim arctan x
x
2
1 cos x 1
2
x2
arcsin mx m
lim
x 0
nx
n
tanh x
lim
1
x 0
x
setttanh( x)
=1
lim
x0
x
lim
x 0
lim arctan x
x
2
2
lim cot x
x
lim arccot x
x
lim arccot x 0
x
Punti di discontinuità
Discontinuità di prima specie
Sia f : X R con X R e x0 X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) e siano l R, l1 R .
14
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Si dice che f presenta un punto di discontinuità di prima specie in x0 se
lim f x l l1 lim f x
x x0
x x0
Discontinuità di seconda specie
Sia f : X R con X R e x0 X di accumulazione per X , se almeno uno dei limiti destro o sinistro è
infinito o non esiste allora si dice che presenta un punto di discontinuità di seconda specie in x0
Discontinuità di terza specie
Sia f : X R con X R e x0 X di accumulazione per X e siano l R, lim f x l , se f x l o
x x0
f x0 non esiste, allora si dice che f presenta un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile in x0 .
Derivate
f ( x0 h) f ( x0 )
esiste finito.
h 0
h
Il limite si dice derivata prima di f in x0 e si indica con uno dei seguenti simboli
df
f '( x0 ) o
( x0 ) o D[ f ]( x0 ) o f ( x0 )
dx
Proprietà della derivata e regole di derivazione
Linearità
Additività
( f g )' = f ' g '
Omogeneità ( f )' = f ' con R
Derivata di un prodotto
( f g )' = f 'g f g '
f : (a, b) R si dice derivabile in x0 (a, b) se e solo se lim
'
f
f 'g f g '
=
g2
g
Derivata di un quoziente
'
1
g'
= 2
Derivata del reciproco
g
g
Derivata di una funzione composta
( g f )' = g ' f ( x) f ' ( x)
Derivata di una funzione potenza
f n x ' n f n1 x f ' x
Derivate di funzioni del tipo f ( x) g ( x )
f ( x) ' = e
g ( x)
g ( x ) ln f ( x )
' = f ( x)
Derivata di un valore assoluto
Derivata della funzione inversa
g ( x)
f ' ( x)
g ' ( x) ln f ( x) g ( x)
f ( x)
| f ( x) |' = sgn f ( x) f ' ( x)
f : A B invertibile, g : B A l’inversa, se f è derivabile in x e f ' ( x) 0 si ha g ' ( y ) =
15
1
f ' ( x)
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Derivate delle funzioni elementari
Dcostante 0
Dsin x cos x
1
Dtan x
1 tan 2 x
2
cos x
Da x a x ln a
1
1
Dlog a x log a e
x
x ln a
Dsinh x cosh x
1
Dtanh x
cosh 2 x
1
Dsettsinh( x)
1 x2
1
Dsetttanh( x)
1 x2
1
Darcsin x
1 x2
1
Darctan x
1 x2
Dx x 1
Dcos x sin x
1
Dcot x 2 1 cot 2 x
sin x
D ex ex
1
Dln x
x
Dcosh x sinh x
1
Dcoth x
sinh 2 x
1
Dsettcosh( x)
x2 1
1
Dsettcoth( x)
1 x2
1
Darccos x
1 x2
1
Darc cot x
1 x2
Teoremi sulle derivate
Teorema di Fermat
Condizione necessaria ma non sufficiente affinché un punto sia di massimo o minimo relativo.
Sia f : X R con X R e x0 X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) con f derivabile in x 0 ,
allora x 0 è un punto di massimo o minimo relativo per f f ' x0 0
Teorema di Rolle
Sia f : a, b R con f continua in a, b e derivabile in a, b tale che f a f b , allora
c a, b | f ' c 0
Significato geometrico del teorema di Rolle
Se il grafico di una funzione è dotato di tangente (cioè è derivabile) in tutti i punti interni all’intervallo a, b
ed assume lo stesso valore agli etsremi dell’intervallo, allora esiste un punto in cui la tangente è orizzontale
(la funzione ha un massimo o un minimo).
Teorema di Lagrange o del valor medio
f b f a
Sia con f continua in a, b e derivabile in a, b , allora c a, b | f ' c
ba
Significato geometrico del teorema di Lagrange
Se un arco di curva continua in a, b è dotato di tangente in tutti i punti dell’intervallo a, b esclusi al più
gli estremi, allora esiste un punto interno all’arco in cui la tangente è parallela alla corda congiungente gli
estremi dell’arco di curva.
1° Corollario del teorema di Lagrange
Sia f : a, b R
1) f x continua in a, b
f è crescente x a,b
2) f x derivabile in a,b
f
è
decrescent
e
x
a,b
3) f ' x 0 f ' x 0 x a,b
2° Corollario del teorema di Lagrange
16
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Sia f : a, b R
1) f x continua in a, b
2) f x derivabile in a,b f è costante x a,b
3) f ' x 0 x a,b
3° Corollario del teorema di Lagrange
Sia f : a, b R
1) f x continua in a, b
c è ascissa di minimo assoluto per f in a, b
2) f x derivabile in a,b
3) f ' x 0 x a,c e f ' x 0 x c, b
c è ascissa di massimo assoluto per f in a, b
f ' x 0 x a,c e f ' x 0 x c, b
Teorema di Cauchy o degli incrementi finiti
Siano con f : a, b R, g : a, b R continue in a, b e derivabili in a, b tali che g' x 0 x a, b ,
f ' c f b f a
allora c a, b |
g ' c g b g a
Teorema di De L’Hospital
Se f x , g x sono definite in un intorno I x0 del punto x0 (finito o infinito), escluso al più il punto x0 , se
f x
0
f ' x
si presenta nella forma indeterminata , , se g ' x 0 x I x0 x0 e se esiste lim
x x0 g x
x x0 g ' x
0
f x
f ' x
allora lim
.
lim
x x0 g x
x x0 g ' x
Integrali
Definizione di primitiva. Si dice che una funzione F (x) è una primitiva di f : I R ( I è un intervallo e
f è continua) se e solo se F ( x) = f ( x) per ogni x I .
Proprietà dell'integrale
lim
f ( x) g ( x)dx = f ( x)dx g ( x)dx
Omogeneità f ( x)dx = f ( x)dx con R
Linearità
b
additività
a
b
b
a
a
b
b
a
a
Additività rispetto all’intervallo di integrazione
b
a
c
b
a
c
dove c a, b : a b c
f ( x)dx = f ( x)dx g ( x)dx
b
a
f ( x)dx = f ( x)dx se a b
Convenzione
Monotonia o teorema del confronto
Se f x g x in a, b allora
a
b
b
a
b
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
b
f ( x)dx f ( x) dx
Valore assoluto
Teorema fondamentale del calcolo integrale
a
a
Se f x è continua in a, b ed F x una prmitiva di f x in a, b , allora
b
a
f ( x)dx F b F a
Teorema della media
Se f : a, b R è continua, allora c a, b tale che
17
f c
1 b
f ( x)dx
b a a
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Integrali indefiniti immediati
f ( x) 1 c, 1
f
(
x
)
f
'
(
x
)
dx
=
1
f ' ( x)
dx = ln f ( x) c
f ( x)
f ' ( x) sin f ( x)dx = cos f ( x) c
f ' ( x) cos f ( x)dx = sin f ( x) c
cos f ( x) = tan f ( x) c
sin f ( x) dx = cot f ( x) c
f ' ( x)e
f ' ( x) a
f ' ( x)
f ' ( x)
2
f ( x)
dx = e f ( x ) c
f ' ( x)
2
1 f ( x )
2
dx = arcsin f ( x) c
f ( x)
dx = a f ( x ) log a (e) c
f ' ( x)
1 f ( x)
2
dx = arctan f ( x) c
x n1
x dx n 1 c n 1
kdx kx c
n
1
xdx ln x c
sin xdx cos x c
cos xdx sin x c
cos
1
1
sin xdx cot x c
cot xdx ln sin x c
csc( x)dx = ln| csc( x) cot ( x) | c
1
arctan( x)dx = x arctan( x) 2 ln (1 x
csc ( x)dx = cot ( x) c
2
x
dx tan x c
tanxdx ln cos x c
sec( x)dx = ln| sec( x) tan( x) | c
arcsin ( x)dx = x arcsin ( x) 1 x c
2
2
2
)c
sec ( x)dx = tan( x) c
2
2
sin(a b) x sin(a b) x
c, a 2 b 2
2(a b)
2(a b)
sin(a b) x sin(a b) x
2
2
cos(ax) cos(bx)dx = 2(a b) 2(a b) c, a b
cos(a b) x cos(a b) x
2
2
sin(ax) cos(bx)dx = 2(a b) 2(a b) c, a b
1
n 1
n
n 1
n2
cos ( x)dx = n cos ( x) sin( x) n cos ( x)dx, n 2
1
n
n 1
n2
tan ( x)dx = n 1 tan ( x) tan ( x)dx, n 2
1
n
n 1
n2
cot ( x)dx = n 1 cot ( x) cot ( x)dx, n 2
1
1
1
n2
1
cosn ( x) dx = n 1 cosn2 ( x) tan( x) n 1 cosn2 ( x) dx, n 2
sin(ax) sin(bx)dx =
sin
1
1
1
n2
1
dx =
cot ( x)
dx, n 2
n
n2
n2
( x)
n 1 sin ( x)
n 1 sin ( x)
n
m
sin ( x) cos ( x)dx =
sin
n
m
( x) cos ( x)dx =
sin
sin
n 1
n 1
( z ) cos m1 ( x) n 1
n2
m
sin ( x) cos ( x)dx, n m
nm
nm
( x) cos m1 ( x) m 1
n
m2
sin ( x) cos ( x)dx, n m
nm
nm
18
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x sin( x)dx = x cos( x) nx cos( x)dx
log ( x)dx = x log ( x) x log (e) c
n
b
b
x
a dx
ln( x)dx = x ln( x) x c
e dx e c
n 1
n
x
b
ax
c
ln a
x
1
1
c
dx
arctan
a2 x2
a
a
x
1
1
c
dx
arctan
a2 x2
a
a
1
x 2 1 dx = settcoshx c
1
1 xa
a 2 x 2 dx = 2a ln x a c
x
x
dx arcsin c
a2 x2
a
1
x2 1
x
1 2
x a2 x2 c
a
arcsin
a
2
1
x
sin xdx ln tan 2 c
x sin 2 x
2
sin xdx 2 4 c
a 2 x 2 dx
sinh xdx cosh x c
1
dx = settsinhx c
1
x2 1
x 2 a 2 dx =
dx = settsinhx c
1
x 2
a2
x a2
ln (| x x 2 a 2 |) c
2
2
1
1 x2
dx = arccos ( x) c
1
x a
2
2
dx ln x x 2 a 2 c
x
1
cos xdx ln tan 2 4 c
x sin 2 x
xdx
c
4
2
cosh xdx sinh x c
cos
2
1
cosh xdx tanh x c
tanhxdx = lncoshx c
sinh xdx coth x c
cothxdx = ln| sinhx | c
sechxdx = setttanhsinhx c
cosech x dx = ln tanh 2 c
2
settsinhxdx = x settsinhx
2
x
settcoshxdxdx = x settcoshx
x2 1 c
x2 1 c
ln 1 x 2
c
2
Integrazione per parti. Se in un intervallo f , g sono due funzioni continue con derivata continua, allora
setttanhxdx = x setttanhx
f ( x) g ' ( x)dx = f ( x) g ( x) f ' ( x) g ( x)dx
Integrazione per sostituzione. Se f è una funzione continua su a, b e g una funzione invertibile e
derivabile con derivata continua su c, d , allora
f ( x)dx
x g t
con c g a , d g b .
= f g t g ' (t )dt
d
b
f g t g ' (t )dt
f ( x)dx
a
x g t c
19
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Lunghezza di una curva
Data la curva di equazione y f x con x a, b ed f x continua e derivabile in a, b , la lunghezza
dell’arco di curva grafico della funzione y f x relativamente ad a, b è
b
L 1 f ' x dx
2
a
Calcolo di aree
L’area della regione di piano delinitata dal grafico di y f x e y g x e dalle rette x a, x b con
b
f x , g x continue in a, b e tali che f x g x x a, b è data da A f x g x dx
a
Calcolo di volumi
Se y f x una funzione continua in a, b , il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno
all’asse delle ascisse del trapeziode delimitato dal grafico della funzione, dall’asse x e dalle rette x a, x b
b
è dato da V f
2
x dx
a
Integrali impropri
Funzioni non limitate
Se f : a, b R è continua e lim f ( x) = o , allora
x b
b t
b
a f ( x)dx = lim a f ( x)dx
t 0
Intervalli illimitati
b
f ( x)dx = lim
f ( x)dx = lim
a
b
b a
b
a a
f ( x)dx = lim
t
t t
f ( x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx
Integrali notevoli
0
e
0
x2
2
dx =
(integrale di Gauss)
2
2
lncosx dx lnsinx dx 2 ln 2
0
0
cos x 2 dx = sin x 2 dx =
e
dx = 2 (integrale di Eulero)
sin x
dx =
x
2
x2
2
x3
4
dx
=
0 e x 1
15
3
sin x
3
x dx = 4
x
2
dx
=
ex 1
6
2
ln1 2 cosx dx 2 ln
2
0
(integrale di Fresnel)
20
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Formule per l’integrazione numerica
Formula di quadratura dei rettangoli
Si suddivide l’intervallo a, b in n intervalli di ampiezza h
b a
mediante gli n 1 punti
n
x0 a, x1 x0 h, x2 x0 2h,, xn a nh b cui corrispondono i valori della funzione
y0 f a , y1 f a h, y2 f a 2h,, yn1 f a n 1h, yn f a nh f b .
b
L’area approssimata è per difetto
f x dx
a
b
per eccesso
f x dx
a
ba
y0 y1 y 2 y n1
n
ba
y1 y 2 y n1 y n . L’errore è ε n b a max
f ' x
a,b
n
2n
2
Formula dei trapezi
Si suddivide l’intervallo a, b in n intervalli di ampiezza h
b a
mediante gli n 1 punti
n
x0 a, x1 x0 h, x2 x0 2h,, xn a nh b cui corrispondono i valori della funzione
y0 f a , y1 f a h, y2 f a 2h,, y n1 f a n 1h, yn f a nh f b .
b
L’area approssimata è
f xdx
a
b a y0 y n
y1 y 2 y n1
n 2
3
b a
max
f ' ' x
a,b
12n 2
Formula di quadratura delle parabole o di Cavalieri-Simpson
b a mediante i 2n 1 punti
Si suddivide l’intervallo a, b in 2n intervalli di ampiezza h
2n
x0 a, x1 x0 h, x2 x0 2h,, x2n a 2nh b cui corrispondono i valori della funzione
L’errore commesso è
εn
y0 f a , y1 f a h, y 2 f a 2h,, y2n1 f a 2n 1h, y 2n f a 2nh f b
L’area approssimata è
b
f x dx
a
ba
y0 y 2n 2 y 2 y 4 y6 y 2n2 4 y1 y3 y5 y 2n1
6n
L’errore commesso è
εn
5
b a
max
2880n 4
a,b
f
IV
x
Zeri di una funzione
Teorema di esistenza degli zeri
Se una funzione f x è continua nell’intervallo chiuso a, b e assume valori discordi agli estremi
dell’intervallo, cioè f a f b 0 , allora l’equazione f x 0 ha almeno una soluzione nell’intervallo
a, b : a, b | f 0 .
1° Teorema di unicità della soluzione
Se una funzione f x è continua nell’intervallo chiuso a, b , assume valori discordi agli estremi
dell’intervallo, cioè f a f b 0 , è derivabile in a, b e f ' x 0 x a, b , allora l’equazione
f x 0 ha un’unica soluzione in a, b : ! a, b | f 0 .
2° Teorema di unicità della soluzione
Se una funzione f x è continua nell’intervallo chiuso a, b , assume valori discordi agli estremi
dell’intervallo, cioè f a f b 0 , è derivabile due volte in a, b e f ' ' x ha segno costante in a, b ,
allora l’equazione f x 0 ha un’unica soluzione in a, b : ! a, b | f 0 .
Metodo di bisezione
Si suddivide ad ogni passo l’intervallo a, b in due parti uguali e si determina in quale dei due sottointervalli
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è presente la soluzione, cioè valga sempre f a f b 0 . In questo modo si dimezza progressivamente
l’intervallo contenente la soluzione .
a b0
Si pone a0 a, b0 b e si calcolano x0 0
, f x0 .
2
Se f x0 0 x0 è lo zero cercato
Se f x0 f a 0 a1 x0 , b1 b0 e si cerca la soluzione a1 , b1 x0 , b0
Se f x0 f a 0 a1 a0 , b1 x0 e si cerca la soluzione a1 , b1 a0 , x0
Si prosegue con questo procedimento applicandolo a a1 , b1 ,, an , bn con
b0 a0 b a
b an1 b a
,, bn a n n1
n .
2
2
2
2
Il procedimento viene arrestato se:
- bn an con R scelto a piacere o indicato espressamente nella richiesta
b1 a1
- f xn con R in modo che il valore f xn sia prossimo allo zero
- entrambe le condizioni
a bn
ba
La soluzione approssimata è xn n
con un errore assoluto non superiore a
.
2n
2
Metodo delle tangenti o di Newton-Raphson
Sia a, b l’intervallo all’interno del quale si trova l’unica radice per cui certamente vale f a f b 0
e supponiamo che f ' ' x abbia segno costante x a, b .
Posto x0 a se f ' ' x0 f a 0 o x0 b se f ' ' x0 f b 0 , la radice richiesta è xn con
f xn 1
f ' x n 1
Il procedimento viene arrestato se:
- xn xn1 con R scelto a piacere o indicato espressamente nella richiesta
x n xn 1
- f xn con R in modo che il valore f xn sia prossimo allo zero
- entrambe le condizioni
Metodo delle secanti o delle corde o di Lagrange
Sia a, b l’intervallo all’interno del quale si trova l’unica radice per cui certamente vale f a f b 0
e supponiamo che f ' ' x abbia segno costante x a, b .
Posto x0 b k a se f ' ' x0 f a 0 o x0 a k b se f ' ' x0 f b 0 , la radice richiesta è
k xn1
f xn1
xn con xn xn1
f k f xn1
Il procedimento viene arrestato se:
- xn xn1 con R scelto a piacere o indicato espressamente nella richiesta
- f xn con R in modo che il valore f xn sia prossimo allo zero
- entrambe le condizioni
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5. CALCOLO COMBINATORIO
Coefficiente binomiale
n
n!
Dati n, k N , con 0 k n , si definisce coefficiente binomiale di n su k =
k k!(n k )!
Proprietà del coefficiente binomiale
I coefficienti binomiali rispettano le seguenti proprietà
n n
n n
= = 1 n N
=
= n n N
0 n
1 n 1
n 1 n n
=
n, k N , n k
k 1 k 1 k
n
n k nk
a b = (a b) n
k =0 k
n n
=
n, k N , n k
k n k
n n 1 n 1
n, k N , n k
k k k 1
n
n
k = 2
n N
n n n
n n
1 0
mentre se a 1, b 1
0 1 2
n
Un’altra proprietà scaturisce dalla Formula di convoluzione di Vandermonde valida in presenza di due
insiemi A e B, disgiunti e di cardinalità, rispettivamente, n ed m. Se S è la loro unione C n m,k rappresenta il
numero dei suoi sottoinsiemi di k elementi:
n m n m n m
n m k n m
=
n, m, k N , k min n, m
k 0 k 1 k 1
k 0 r 0 r k r
In particolare, dall'ultima proprietà, se a 1, b 1 , discende che
n
k =0
2
2
2
2n n n
n
da cui, se n m k , discende la proprietà =
n 0 1
n
Si può estendere la definizione di coefficiente binomiale anche ai numeri reali e precisamente si pone
r r r 1 r k 1
n
1
k
=
, r R, k N . Se n k si ha 0 e se n 0 1 .
k!
k
k
k
Coefficiente multinomiale
Dati m 1 numeri naturali, n, k1 , k 2 ,, k m N , tali che k1 k 2 k m = n , si definisce coefficiente
n
n!
=
=
multinomiale
k1 , k 2 ,, k m k1!k 2 ! k m !
n!
m
k !
i
i =1
e comunque si scelgano i numeri naturali n, k1 , k 2 ,, k m (purché k1 k 2 k m = n ), risulta
n
N
k1 , k 2 ,, k m
Proprietà del coefficiente multinomiale
Fissato n N , e detto An N m l'insieme di tutte le m -ple di naturali (k1 , k 2 ,, k m ) tali che
k1 k 2 k m = n , risulta
m
n
xiki
k1 k2
km
x
x
x
n
!
2
m
1
( k1 , k 2 ,, k m )An k1 , k 2 , , k m
( k1 , k 2 ,, k m )An
i 1 k i !
Permutazioni semplici
Dato un insieme X con n elementi, si chiama permutazione ogni ordinamento dell'insieme X . Dati n
( x1 x2 xm ) n =
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oggetti distinti, il numero di permutazioni Pn è
Pn = n!
Permutazioni con ripetizione
Dati n oggetti non tutti distinti fra di loro, un ordinamento di tali oggetti si chiama permutazione con
ripetizione. Supponiamo di poter suddividere gli n oggetti in h tipi diversi (ovviamente h n ). Siano ni il
numero di elementi di tipo i , per ogni i = 1,2,, h , allora n = n1 n2 nh . Indicando con Pn ,n
1 2 ,, nh
il
numero delle permutazioni con ripetizione, ovvero il numero di tutti i possibili ordinamenti degli n oggetti,
n!
risulta Pn ,n ,,n =
1 2
h
n1!n2 ! nh !
Combinazioni semplici
Dato un insieme X con cardinalità n (quindi contenente n elementi distinti), ogni sottoinsieme di X con
k elementi ( 0 k n ) viene detto combinazione di n oggetti di classe k , si indica con Cn ,k , rappresenta il
numero di tutti possibili modi con cui si possono scegliere k elementi fra n oggetti dati, e risulta
n
n!
C n,k = =
k k!(n k )!
n!
ed inoltre
Cn , k =
= Pk,nk
k!(n k )!
Combinazioni con ripetizione
Dato un insieme X di cardinalità n , ossia dati n oggetti distinti, ogni raggruppamento di k Elementi di
X , ammettendo anche ripetizioni di oggetti, viene detto combinazione con ripetizione di n oggetti di classe
k . Indicando con Cn,k il numero di tutte le possibili combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k ,
n k 1
risulta C n,k =
k
Disposizioni semplici
Dati n oggetti, ogni ordinamento di k oggetti ( 0 k n) comunque scelti fra gli n si chiama disposizione
di n oggetti di classe k . Il numero di tutte le possibili disposizioni di n oggetti di classe k si indica con
n!
Dn ,k e risulta Dn,k =
= n (n 1) (n k 1)
(n k )!
Disposizioni con ripetizione
Dati n oggetti, ogni ordinamento di k oggetti in cui sono ammesse anche ripetizioni si chiama disposizione
con ripetizione di n oggetti di classe k . Indicando con Dn,k il numero di tutte le possibili disposizioni con
ripetizioni di n oggetti di classe k , risulta Dn,k = n k
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6.GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Dominio
E’ l’insieme di definizione della funzione in esame, cioè il più grande sottoinsieme di R in cui la funzione
non perde di significato. Di seguito alcuni esempi di funzioni elementari:
1
f ( x) =
dom( f ) = x R : g ( x) 0
g ( x)
f ( x) = n g ( x) ( n pari)
f ( x) = logg ( x)
f ( x) = tang ( x)
dom( f ) = x R : g ( x) 0
dom( f ) = x R : g ( x) > 0
dom( f ) = x R : g ( x) k , k Z
2
dom( f ) = x R : g ( x) k , k Z
dom( f ) = x R : 1 g ( x) 1
dom( f ) = x R : 1 g ( x) 1
f ( x) = cot g ( x)
f ( x) = arcsin g ( x)
f ( x) = arccos g ( x)
Simmetrie
Funzione pari
f x f x
Funzione dispari
f x f x
La somma di due funzioni pari è una funzione pari
La somma di due funzioni dispari è una funzione dispari
Il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari
Il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari
Il prodotto di una funzione pari con una dispari è una funzione dispari
Il rapporto di due funzioni pari è una funzione pari
Il rapporto di due funzioni dispari è una funzione dispari
Il rapporto di una funzione pari con una dispari è una funzione dispari
Periodicità
Una funzione è periodica di periodo T se f x f x T
Intersezioni con l’asse delle ascisse
Le intersezioni con l’asse delle ascisse si ricavano risolvendo il sistema
y f x
y 0
Intersezioni con l’asse delle ordinate
y f x
Le intersezioni con l’asse delle ordinate si ricavano risolvendo il sistema
x 0
Studio del segno
Lo studio del segno si ricava risolvendo la disequazione f x 0 e ricavando gli intervalli (contenuti nel
dominio) di positività o negatività.
Asintoti
Asintoti verticali
Quando una funzione ammette limite o in un punto x0 , si dice che essa ha come asintoto verticale
la retta x = x0 .
Più precisamente, data una funzione f , se lim f ( x) = (o ) , allora la retta x = x0 è un asintoto
x x0
verticale sinistro; se lim f ( x) = (o ) , allora la retta x = x0 è un asintoto verticale destro; se
x x0
lim f ( x) = (o ) , allora la retta x = x0 è un asintoto verticale (sia destro che sinistro).
x x0
Asintoti orizzontali
Quando una funzione ammette limite finito l per x si dice che essa ha come asintoto
orizzontale la retta y = l .
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Più precisamente, data una funzione f , se lim f ( x) = l1 R , allora la retta y = l1 è un asintoto orizzontale
x
sinistro; se lim f ( x) = l 2 R , allora la retta y = l 2 è un asintoto orizzontale destro.
x
Asintoti obliqui
f ( x)
Se lim
= m esiste finito e non nullo, e se lim f ( x) mx = q esiste finito, allora la funzione f
x
x
x
ammette per x un asintoto obliquo destro di equazione y = mx q .
f ( x)
Se lim
= m esiste finito e non nullo, e se lim f ( x) mx = q esiste finito, allora la funzione f
x
x
x
ammette per x un asintoto obliquo sinistro di equazione y = mx q .
Derivata prima
Punto angoloso
f ( x 0 h) f ( x 0 )
f ( x 0 h) f ( x 0 )
se lim
, allora x0 , f x0 è un punto angoloso.
l1 R l 2 R lim
h 0
h0
h
h
Flesso a tangente verticale
f ( x0 h) f ( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 )
Se lim
e lim
esistono, sono infiniti, e sono uguali, allora x0 , f ( x0 ) è
h 0
h 0
h
h
un punto di flesso a tangente verticale e x = x0 è una retta tangente al grafico di f che attraversa il grafico
stesso.
f ( x 0 h) f ( x 0 )
f ( x 0 h) f ( x 0 )
se lim
e lim
il flesso verticale è ascendente
h 0
h 0
h
h
f ( x 0 h) f ( x 0 )
f ( x 0 h) f ( x 0 )
se lim
e lim
il flesso verticale è discendente
h 0
h 0
h
h
Cuspide
f ( x0 h) f ( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 )
Se lim
e lim
esistono, entrambi infiniti, ma diversi, allora x0 , f x0
h 0
h 0
h
h
è un punto di cuspide.
In particolare:
f ( x 0 h) f ( x 0 )
f ( x 0 h) f ( x 0 )
se lim
e lim
la cuspide è rivolta verso il basso
h 0
h 0
h
h
f ( x 0 h) f ( x 0 )
f ( x 0 h) f ( x 0 )
se lim
e lim
la cuspide è rivolta verso l’alto
h 0
h 0
h
h
Punti critici
Risolvendo l'equazione f ' x = 0 , si trovano i punti critici.
Un punto critico x0 , f x0 , in base al segno di f ' , può essere
- un minimo relativo se la derivata prima è negativa in un intorno sinistro di x0 e positiva in un intorno
destro di x0
- un massimo relativo se la derivata prima è positiva in un intorno sinistro di x0 e negativa in un intorno
destro di x0
- un un punto di flesso a tangente orizzontale se la derivata prima assume lo stesso segno in un intorno
completo di x0
Derivata seconda
Risolvendo l'equazione f ' ' x = 0 si trovano gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua. Se l’ascissa x0
che annulla la derivata seconda annulla anche la derivata prima, bisogna valutare se il punto x0 , f x0 è di
minimo relativo, massimo relativo o flesso a tangente orizzontale.
Fatto questo può essere utile studiare il segno della derivata seconda; negli intervalli in cui risulta f ' ' x 0
la funzione è convessa, invece negli intervalli in cui risulta f ' ' x 0 la funzione è concava.
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Relazioni tra derivate
Sia x0 , f x0 un punto critico, cioè tale per cui f ' x0 = 0 .
Possono verificarsi i seguenti casi:
f ' ' x0 0 x0 , f x0 è punto di minimo relativo
f ' ( x0 ) = 0 f ' ' x0 0 x0 , f x0 è punto di massimo relativo
f ' ' x 0 x , f x può essere un flesso, dipende da f ' ' ' x
0
0
0
0
f ' ' ' x0 0 x0 , f x0 è punto di flesso ascendente
f ' ' ( x0 ) = 0
f ' ' ' x0 0 x0 , f x0 è punto di flesso dicendente
f pari x0 0 x0 , f x0 è punto di minimo relativo
pari
x0 0 x0 , f x0 è punto di massimo relativo
f
f ' ' ( x0 ) = 0 f ' ' ' x0 0 dispari
x0 0 x0 , f x0 è punto di flesso ascendente
f
f disparix 0 x , f x è punto di flesso dicendente
0
0
0
27
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7. GEOMETRIA SOLIDA
Nel seguito: V volume, Al area laterale, Ab area di base, At area totale, 2 pb perimetro di base, C
circonferenza, d diagonale, h altezza, l lato, r raggio, ri raggio della sfera inscritta, rc raggio della sfera
circoscritta, a apotema (in alcuni casi può essere un semplice spigolo).
Parallelepipedo rettangolo
V = Ab c = a b c
Al = 2 pb c
Ab = a b
At = 2 Ab Al 2 ab bc ac
Al = At 2 Ab
Cubo
V = l3
ri
Ab =
At Al V
2
c
Al = 4l 2
l
2
l
3
2
rc
d = a 2 b2 c 2
Al
c
2 pb =
At = 6l 2
l = 3V
d =l 3
At
6
Al
4
Prisma retto
Il prisma retto ha la superficie inferiore congruente e parallela alla superficie
superiore, le facce laterali sono rettangoli.
A
V = Ab h
Al = 2 pb h
At = Al 2 Ab
2 pb = l
h
h=
Al
V
2 pb Ab
Al = At 2 Ab
Ab =
At Al
2
Ab =
V
h
Prisma obliquo
V = Ab h
At = Al 2 Ab
Piramide retta
1
V = Ab h
3
2 pb =
2 Al
a
Al =
a=
2 pb a
2
2 Al
2 pb
Tronco di piramide
1
V = h ( Ab Ab Ab Ab )
3
a=
2 Al
2 p 2 p
h
At = Ab Al
h=
Ab =
3V
Ab
Al =
(2 p 2 p) a
2
At = Al Ab Ab
28
3V
h
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Poliedri regolari
Tetraedro: formato da 4 triangoli equilateri
l3 2
l 6
l 6
At l 2 3
V
ri
rc
12
12
4
l
l
h
l
Esaedro: formato da 6 quadrati è il cubo
l
tetraedro
Ottaedro: formato da 8 triangoli equilateri
l3 2
l 6
l 2
At 2l 2 3
V
ri
rc
3
6
2
V
Dodecaedro: formato da 12 pentagoni regolari
l 3 15 7 5
At 3l 2 5 5 2 5
4
ri
Icosaedro: formato da 20 triangoli equilateri
5l 3 5
3
V
At 5l 2 3
12
Cilindro
V = Ab h = r 2 h
ri
Al
h
h=
Cono
A h r2 h
V= b =
3
3
At = Ab Al = r 2 ra
Ab =
Al
V
2
2 r r
Al =
a=
20
l 3 3 5
rc
rc
12
l 3 1 5
r=
l
2 5 5
4
Al
r
V
h
Al
V
2 h
h
C a
= ra
2
Ab = r 2
r=
Al
3V
a
h
h=
3 V
r2
Tronco di cono
1
V = h r12 r1r2 r22
3
a h2 r1 r2
Sfera
4
V = r 3
3
Al = a (r1 r2 )
Ab = r12 r22
2
A = 4r 2
r=
A 3 3V
4
4
Calotta sferica e segmento sferico ad una base o sezione sferica
1
V = h 2 (3r h)
A = 2rh
3
29
h
4
Al = C h = 2rh
Ab = r 2
At = Al 2 Ab = 2 r (h r )
C = 2 r
l 10 25 11 5
r1
r
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r1 h 2r h
Settore sferico
Al r r1 2h
h
2
V r 2h
3
Zona sferica e segmento sferico a due basi
h h2
V=
r12 r22
2 3
r1
r
,
A = 2rh
Fuso sferico e spicchio sferico
r3
V=
270
Al =
r2
90
α è misurato in gradi
Al è la parte di
superficie sferica
Cilindro circolare retto a sezione obliqua
a b
Al r a b
V r2
2
α
r
a
2
a b
At r a b r r 2
2
r
b
Corona cilindrica
V h r12 r22
r2
Al 2 h r1 r2
At 2 r1 r2 h r1 r2
r1
30
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Obelisco
Le superfici laterali sono trapezi, le superfici superiore e inferiore sono rettangoli non simili.
V
h
2a c b 2c a d
6
d
c
h
b
a
Cuneo
Superficie di base rettangolare, le superfici laterali sono triangoli e
c
trapezi isosceli.
h
bh
V 2a c
6
b
a
Toro
V 2 2 r22 r1
r1
r2
At 4 2 r1r2
Prisma obliquo triangolare
abc
V Ab
3
a
b
Ab
31
c
