Viaggio nei numeri: dai numeri naturali ai numeri complessi
I NUMERI NATURALI
I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Essi si presentano sotto due forme:
• cardinale, se risponde alla domanda: quanti? (ad es. quanti sono gli elementi di un dato
insieme?)
• ordinale, se risponde alla domanda: quale? (ad es. qual è il posto di un fissato elemento
in un dato insieme ordinato?)
Proprietà dei naturali numeri:
0 è il primo numero naturale
Il successivo di un numero naturale è un numero naturale
Numeri naturali distinti hanno successivi distinti
0 non è il successore di alcun numero naturale
(Principio di induzione). Se una proprietà P vale per il numero 0 e se dalla validità
di 𝑃(𝑛) si può dedurre la validità di P(n+1) allora P(n) vale ∀𝑛 ∈ 𝑁.
I numeri naturali sono come una scala. Se si sa come salire sul primo gradino della scala
e come passare da un gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino.
Questa è l’idea base del principio di induzione, che permette di studiare molte proprietà
dei numeri naturali.
L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N
N = {0,1,2,3,...,n,......}
Operazioni tra numeri naturali
Addizione e sottrazione
Possiamo addizionare due numeri naturali e ottenere sempre un altro numero naturale.
Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere un altro numero naturale.
1
Prof. Giuseppe Frassanito
L'addizione e la moltiplicazione vengono definite OPERAZIONI CHIUSE sull'insieme
N. Un'operazione è detta CHIUSA sull'insieme N se scegliendo a piacere due numeri in
esso, il risultato dell'operazione continua ad essere un numero dell’insieme N.
4
N
4+2
N
4
4∙2
6
2
2
Terminologia
Se abbiamo
𝒂+𝒃=𝒄
a e b vengono detti addendi mentre c prende il nome di somma.
Se abbiamo
𝒂∙𝒃=𝒑
a e b vengono detti fattori mentre p prende il nome di prodotto.
Proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione:
Commutativa
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
𝑎∙𝑏 =𝑏∙𝑎
Associativa
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 ( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 ( 𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
N.B. Tale proprietà consente di togliere le parentesi.
2
Prof. Giuseppe Frassanito
8
L’elemento neutro per l'addizione è lo 0 perché sommando 0 a un qualsiasi numero
naturale si ottiene come risultato lo stesso numero
𝑎+0= 0+𝑎 = 𝑎
∀𝑎 ∈ 𝑁
L’elemento neutro per la moltiplicazione è 1 perché moltiplicando 1 per un qualsiasi
numero naturale si ottiene come prodotto lo stesso numero
𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑁
Zero è l’elemento assorbente per la moltiplicazione perché moltiplicando un qualsiasi
numero naturale per 0 si ottiene come prodotto 0.
𝑎 ∙ 0 = 0 ∀𝑎 ∈ 𝑁
Legge di annullamento del prodotto
Il prodotto di due fattori è zero se e solo se almeno uno dei due fattori è zero
𝑎∙𝑏 = 0⟺ 𝑎 =0∨𝑏 =0
Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑐 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎
Sottrazione e divisione
Le operazioni di sottrazione e di divisione tra numeri naturali non è sempre possibile.
Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale; come non
posso dividere 3 per 10 e ottenere un altro numero naturale. La divisione e la sottrazione
sono definite OPERAZIONI APERTE sull'insieme N.
2
N
2-4
2
-2
2:4
4
4
3
Prof. Giuseppe Frassanito
N
0.5
La sottrazione di due numeri naturali, operazione inversa dell’addizione, quando esiste,
si definisce nel seguente modo:
∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 𝑐𝑜𝑛 𝑛 > 𝑚 ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑛 − 𝑚 = 𝑥 ⟺ 𝑛 = 𝑚 + 𝑥
In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione, operazione inversa della
moltiplicazione:
∀𝑛, 𝑚 ≠ 0 ∈ 𝑁, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 𝑚, ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑛: 𝑚 = 𝑥 ⟺ 𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑥
Non si potrà mai dividere per 0.
Infatti
∀𝑎 ∈ 𝑁, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0,
𝑎: 0 = 𝑥 ⟺ 𝑎 = 0 ∙ 𝑥
il che è falso qualunque sia x.
Non si può neanche fare 0 : 0
Tale operazione risulterebbe indeterminata, poiché
0 ∶ 0 = 𝑥 ⟺ 0 = 0 ∙ 𝑥 𝑣𝑒𝑟𝑎 ∀𝑥 ∈ 𝑁
x non sarebbe unico mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.
Terminologia
Se abbiamo
𝒂−𝒃=𝒓
a e b vengono detti rispettivamente minuendo e sottraendo mentre r prende il nome
di resto.
Se abbiamo
𝒂∶𝒃=𝒒
a e b vengono detti rispettivamente dividendo e divisore mentre q prende il nome
di quoziente.
4
Prof. Giuseppe Frassanito
Proprietà della sottrazione e della divisione
Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla differenza:
(𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑐 ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎
Proprietà distributiva a destra della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione:
(𝑎 + 𝑏): 𝑐 = 𝑎: 𝑐 + 𝑏: 𝑐
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
(𝑎 − 𝑏): 𝑐 = 𝑎: 𝑐 − 𝑏: 𝑐 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
Proprietà invariantiva della sottrazione
La differenza tra due numeri non cambia se a ognuno di essi si aggiunge o si sottrae lo stesso
numero
𝑎 − 𝑏 = (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑐)
𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)
Proprietà invariantiva della divisione
Il quoziente tra due numeri, quando le divisioni sono possibili, non cambia se a ognuno di essi
viene moltiplicato o diviso per uno stesso numero diverso da zero
𝑎: 𝑏 = (𝑎 ⋅ 𝑐): (𝑏 ⋅ 𝑐)
𝑎: 𝑏 = (𝑎: 𝑐): (𝑏: 𝑐)
L'elevamento a potenza.
Definizione
∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 𝑒 𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖 𝑑𝑎 0,
𝑚𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑚 ∙ 𝑚 ∙∙∙ 𝑚 (𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒)
L’operazione di elevamento a potenza non è né commutativa (32 e 23 sono diversi) né
associativa [(𝟐)𝟑 )𝟒 ≠ (𝟐)((𝟑) ) ]
𝟒
5
Prof. Giuseppe Frassanito
Proprietà notevoli dell’elevamento a potenza sono:
1. 𝒂𝒏+𝒎 = 𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎
2. 𝒂𝒏−𝒎 = 𝒂𝒏 : 𝒂𝒎
3. 𝒂𝒏∙𝒎 = (𝒂𝒏 )𝒎
4. (𝒂 ∙ 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏
5. (𝒂: 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 : 𝒃𝒏
La proprietà 2 ha senso anche quando n = m. In questo caso avremo
𝒂𝒏−𝒏 = 𝒂𝟎 = 𝒂𝒏 : 𝒂𝒏 = 𝟏
Il simbolo 00 rappresenta 0 : 0 che, come visto in precedenza, è una operazione
indeterminata
M.C.D. e m.c.m.
Di questo argomento, ampiamente trattato nella scuola media, esamineremo solo
l’algoritmo di Euclide per la determinazione del M.C.D.
tra due numeri mediante
sottrazioni successive.
Il metodo si basa sul seguente
Teorema
Se due numeri naturali a e b, con a > b, sono divisibili per uno stesso numero c, allora
anche la differenza a – b è divisibile per c.
Dim.
Se a è divisibile per c, allora
𝑎: 𝑐 = 𝑞1 → 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑞1
Se b è divisibile per c, allora
6
Prof. Giuseppe Frassanito
𝑏: 𝑐 = 𝑞2 → 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑞2
Considerando la differenza
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑞1 − 𝑐 ∙ 𝑞2 → 𝑐 ∙ (𝑞1 − 𝑞2 ) → 𝑎 − 𝑏 è 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑐
Esempio
MCD(58; 18) = MCD(58-18=40; 18)=MCD(40-18=22; 18)=MCD(18;22-18=4)=MCD(184=14; 4)=MCD(14-4=10; 4)=MCD(10-4=6; 4)=MCD(6-4=2; 2)
Il procedimento termina quando i due numeri diventano uguali. In questo caso il M.C.D.
è 2.
REGOLE DI PRECEDENZA NELLE OPERAZIONI
La risoluzione di espressioni con i numeri N segue alcune regole di precedenza che
indicano quali operazioni devono essere obbligatoriamente eseguite per prime, e quali,
invece, possono essere eseguite in un secondo momento.
Le parentesi vanno risolte dall'interno verso l'esterno indipendentemente dalla
loro forma.
Le operazioni del gruppo (∗ e :) hanno precedenza sulle operazioni del secondo
gruppo (+ e -).
Le operazioni dello stesso gruppo vanno eseguite da sinistra verso destra.
7
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I NUMERI RELATIVI
Due precise situazioni ci spingono ad ampliare l'insieme de numeri naturali N: una di
carattere pratico, un'altra di carattere più teorico.
1. Abbiamo definito i numeri naturali come quelli che servono per contare gli elementi
di un insieme. Tali numeri non sono però adatti a risolvere gran parte dei problemi:
quando, ad esempio, misuriamo la temperatura, il livello di un terreno sul mare abbiamo
bisogno anche di numeri negativi.
2. Nell'insieme N non era possibile effettuare la sottrazione tutte le volte che il
minuendo era minore del sottraendo.
Per superare questa situazione introduciamo allora un nuovo insieme numerico
attribuendo un segno (+ o -) a tutti i numeri dell'insieme N, escluso lo 0: i numeri relativi
Z.
Z = {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}
L’insieme dei naturali è un sottoinsieme proprio dei numeri relativi
2=+2
N
-2
-5
4=+4
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Z
Le definizioni principali
Numeri concordi: numeri che hanno lo stesso segno. Ad esempio i numeri +3, +5
Numeri discordi: numeri che hanno segno diverso. Ad esempio i numeri -3, +5
Valore assoluto: il numero senza segno. Ad esempio il valore assoluto di +5 è 5 e si
scrive |+5|=5 il valore assoluto di -5 è 5 e si scrive |- 5|=5
Numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto, ma con segno diverso (cioè
discordi). In termini operativi si possono definire opposti due numeri
la cui somma è 0.
L’ordinamento dei numeri Relativi
Si comprende l'ordinamento dei numeri relativi osservando come questi numeri si
dispongono sulla retta orientata:
Un numero relativo è minore di un altro se, sulla retta orientata, lo precede; viceversa,
un numero relativo è maggiore di un altro se, sulla retta orientata, lo segue.
Seguendo queste regole ci si accorge che:
Se due numeri sono negativi il maggiore è quello con valore assoluto minore;
Se due numeri sono positivi il maggiore è quello con valore assoluto maggiore;
Se due numeri sono discordi il maggiore è quello con segno positivo.
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LE OPERAZIONI IN Z
Nell'insieme Z sono sempre possibili le operazioni di addizione, moltiplicazione e
sottrazione mentre la divisione conserva le stesse restrizioni che la caratterizzavano
in N. Le operazioni in Z godono delle stesse proprietà di cui godevano in N.
L'addizione
Se immaginiamo l’addizione di due numeri come la composizione di due spostamenti sulla
retta dei numeri relativi di cui il segno indichi la direzione (verso destra per il segno +
e verso sinistra per il segno -) e il valore assoluto il numero di passi, ci si convince
facilmente che:
La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo, concorde con i numeri
dati, che ha come valore assoluto la somma dei valori assoluti degli addendi.
(+3)+(+2)= +5
(-3)+(-2)= -5
La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha come valore
assoluto la differenza dei valori assoluti degli addendi e segno concorde al maggiore in
valore assoluto.
+5
La somma di due numeri opposti è(+2)+(-6)+(+9)=
0.
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(+5)+(-5)= 0
Esempi
-5 + (-8) = - (5 + 8) = -13
i due numeri sono concordi, si sommano i loro valori
assoluti 5+8,si mette il segno comune (-13).
+5 + (-8) = - (8 - 5) = -3
i due numeri sono discordi, si sottrae il minore dal
maggiore in valore assoluto (8-5), si mette il segno
del maggiore in valore assoluto (-3).
La sottrazione
La differenza tra due numeri esiste sempre e si ottiene addizionando al primo l'opposto
del secondo.
Questa osservazione non banale merita una dimostrazione.
Dim.
Chiamiamo c il risultato della differenza tra +a e +b,
(+a) – (+b) = c
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Prof. Giuseppe Frassanito
(1)
Per la definizione di differenza,
c + (+b) = +a
aggiungendo (-b) ad entrambi i membri abbiamo:
c + (+b) + (-b) = +a + (-b)
da cui:
c + 0 = +a + (-b)
che diventa:
c = +a + (-b) (2)
Uguagliando la (1) con la (2) otteniamo
(+a) – (+b) = +a + (-b)
che è quanto volevamo dimostrare.
Con il medesimo schema dimostrativo è possibile dimostrare facilmente anche
l’uguaglianza
(+a) – (-b) = (+a) + (+b)
che completa la dimostrazione della regola di calcolo della differenza tra due numeri
relativi.
Esempi
+13 – (+9) = +13 + (-9) = +(13 – 9) = +4
Per motivi di ordine pratico, di solito, si procede eliminando le parentesi
-7 – (-15) = -7 + 15 = 8
12
Prof. Giuseppe Frassanito
Poiché la sottrazione viene ricondotta all'addizione mediante il passaggio all'opposto
essa perde in realtà la sua identità di operazione. Le due operazioni vengono a costituire
un'unica operazione e pertanto in seguito si parlerà di addizione algebrica o di somma
algebrica.
Il prodotto e il quoziente
Il prodotto (o il quoziente) di due numeri relativi è un numero che ha per valore assoluto
il prodotto (o il quoziente) dei valori assoluti e per segno il segno più se i due numeri
sono concordi, il segno meno se sono discordi
Regola dei segni
Segno dei fattori
Segno del prodotto
(+) ∙ (+)
+
(+) ∙ (−)
(−) ∙ (+)
(−) ∙ (−)
+
Dimostrazione della regola dei segni
Identificando i numeri relativi positivi con i numeri naturali, osserviamo che la
definizione di prodotto incontrata in N ci porta a concludere che
(+) · (+) = (+)
Proviamo a derivare le altre regole di moltiplicazione per i segni.
1. Abbiamo dimostrato in precedenza che
𝑎∙0=0
𝑎 ∙ [𝑏 + (−𝑏)] = 0
13
Prof. Giuseppe Frassanito
𝑎𝑏 + 𝑎(−𝑏) = 0
Questo vuol dire che i due termini sono opposti, cioè
𝑎(−𝑏) = −𝑎𝑏
e quindi
(+)·(-) = (-)
2. In modo analogo risulta:
(–a)·b = –ab
cioè
(-)·(+) = (-)
3. Consideriamo ora la seguente espressione:
[(-a) + (+a)] · (-b)
essendo
[(-a) + (+a)] = 0
tutta l’espressione deve essere tutta uguale a 0 perché qualunque numero moltiplicato
per zero diventa zero, cioè
[(-a) + (+a)]·(-b) = 0
che per la proprietà distributiva diventa
[(-a)·(-b)] + [(+a)·(-b)] = 0
Sappiamo già che l’espressione
[(+a)·(-b)] = -ab
14
Prof. Giuseppe Frassanito
perché dimostrato in precedenza, quindi
[(-a)·(-b)]+(-ab) = 0
ma affinché il primo membro risulti uguale a zero bisogna che
[(-a)·(-b)] = +ab
e quindi
(-)·(-) = (+)
Elevamento a potenza
Oltre a quanto già detto per i numeri naturali bisogna aggiungere che:
Se l'esponente è pari, allora la potenza è sempre un numero positivo:
(±𝒂)𝒑 = 𝒂𝒑
Se l'esponente è dispari allora la potenza conserva il segno della base.
(+𝒂)𝒅 = +𝒂𝒑
(−𝒂)𝒅 = −𝒂𝒑
Esempi
(−𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔
(+𝟐)𝟐 = 𝟒
(−𝟐)𝟑 = −𝟖
(+𝟐)𝟑 = 𝟖
La regola sopra esposta è una immediata conseguenza della regola dei segni enunciata
per la moltiplicazione. Infatti
15
Prof. Giuseppe Frassanito
Se la base è negativa e l'esponente è dispari anche il numero dei fattori è dispari e il
risultato è negativo.
Se la base è positiva e l’esponente è pari anche i fattori sono pari e il risultato è positivo.
Attenzione alle scritture
(−𝟐)𝟒 𝒆 − 𝟐𝟒
Esse rappresentano due numeri opposti.
Infatti la prima rappresenta un numero positivo
(−𝟐)𝟒 = (−𝟐) ∙ (−𝟐) ∙ (−𝟐) ∙ (−𝟐) = +𝟏𝟔
La seconda un numero negativo
−𝟐𝟒 = −(𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐) = −𝟏𝟔
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Prof. Giuseppe Frassanito
I NUMERI RAZIONALI
Per rendere sempre possibile (o quasi) l’operazione di divisione introduciamo un altro
ampliamento
dell'insieme
dei
numeri,
e
cioè
l’insieme
dei
numeri
razionali (dal latino ratio = rapporto). Esso viene indicato con il simbolo Q (iniziale
di quoziente); intuitivamente gli elementi di Q sono le frazioni:
Q = { ..., -3/4,..., -2,..., -1,..., -1/3,.., 0,...,1/2,...2/3,...1,...,3/2,...,2,...,15/7,...}
Vediamo, ora, come si può costruire l'insieme dei razionali.
Indichiamo con 𝑍 ∗ = 𝑍 − {0} e consideriamo il prodotto cartesiano 𝑍 × 𝑍 ∗ cioè l’insieme
delle coppie ordinate il cui primo elemento è un intero qualsiasi e il secondo è un intero
diverso da zero. Ad esempio coppie del tipo (1, -3), (5,4).
Definiamo in questo insieme la relazione
(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
Ad esempio
(5,-2) R (-15,6) perché 5 ∙ 6 = (-2) ∙ (-15)
Tale relazione è
riflessiva
(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑎, 𝑏) ⟺ 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
simmetrica
(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
(𝑐, 𝑑)𝑅(𝑎, 𝑏) ⟺ 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑
transitiva
(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
(𝑐, 𝑑)𝑅(𝑒, 𝑓) ⟺ 𝑐𝑓 = 𝑑𝑒
allora
17
Prof. Giuseppe Frassanito
(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑒, 𝑓) ⟺ 𝑎𝑓 = 𝑏𝑒
Per dimostrare la transitività basta moltiplicare membro a membro le prime due
uguaglianze e semplificare
𝑎𝑑𝑐𝑓 = 𝑏𝑐𝑑𝑒 → 𝑎𝑓 = 𝑏𝑒
Poiché R è riflessiva, simmetrica e transitiva è una relazione di equivalenza le cui
classi sono così fatte:
A= {(1,1), (2,2), (3,3), (-2,-2)…. (x,x)}
B= {(1,2), (2,4), (3,6), … (x, 2x) }
C= {(3,4), (6,8), (12,16),…, (3x, 4x)}
Le classi di equivalenza si chiamano numeri razionali e l’insieme quoziente, costituito
dalle classi di equivalenza, si chiama ℚ.
Le coppie di tipo (x,1) dove x è un numero intero possiamo identificarle con i numeri
interi. Come N è un sottoinsieme di Z, così Z è un sottoinsieme di Q
𝑎
Se invece di scrivere (𝑎, 𝑏) scriviamo 𝑏 il tutto diventa molto più familiare. Di una stessa
classe fanno parte tutte le frazioni equivalenti tra di loro.
18
Prof. Giuseppe Frassanito
Bisogna fare attenzione a distinguere la frazione dal numero razionale. La frazione è
𝑎
una coppia (a; b) o 𝑏. Mentre il numero razionale è la classe di equivalenza cui (a, b) o
appartiene.
La frazione
Il numero razionale
𝟏
𝟐
𝑎
𝑏
𝟏
𝟐
𝟏 𝟐 𝟑
= {𝟐 , 𝟒 , 𝟔 , … … . , }
Frazione irriducibile
Una frazione è irriducibile o ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore
sono primi tra loro.
Esempio
3 4 7
;
;
5 11 8
Proprietà invariantiva
Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso
da zero, si ottiene una frazione equivalente.
6 3 15
= =
8 4 20
Infatti tutte le frazioni che appartengono ad una stessa classe di equivalenza si
ottengono moltiplicando la frazione irriducibile per uno stesso numero e quindi sono
tutte equivalenti tra loro. Nei calcoli si preferisce considerare solo frazioni
irriducibili semplificando quelle che non lo sono.
𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
= { , , ,…….,}
𝟐
𝟐 𝟒 𝟔
Alcune convenzioni
La classe rappresentata, ad esempio, da (-3, 5) coincide con la classe rappresentata da
(3, -5). In altre parole
−𝒂
𝒂
𝒂
=
=−
𝒃
−𝒃
𝒃
19
Prof. Giuseppe Frassanito
La classe rappresentata, ad esempio, da (-7, -3) coincide con la classe rappresentata
da (7,3). Vale a dire
−𝒂 𝒂
=
−𝒃 𝒃
Il confronto tra frazioni
A parità di numeratore, a mano a mano che aumenta il denominatore le parti
rimpiccioliscono.
Tra frazioni aventi lo stesso numeratore, sarà sempre maggiore quella avente
denominatore minore
1 1
5 5
> 𝑒 >
7 9
7 9
Tra frazioni aventi lo stesso denominatore sarà sempre maggiore quella avente il
numeratore maggiore.
8 5
>
7 7
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore si riducono, in genere, allo stesso
denominatore e poi si confrontano
Esempio
Confrontiamo
2
3
𝑒
3
4
Riducendo allo stesso denominatore si ha
20
Prof. Giuseppe Frassanito
8
9
<
12
12
Un criterio alternativo….
Di una buona torta preferisci avere i 4/5 o i 5/6?
«Questa domanda è difficile. Infatti, i quinti sono più grandi dei sesti, ma di quinti ne prendi
solo 4, e invece di sesti ne prendi 5, uno in più. Allora come fai a regolarti? […] mi sono ricordato
quello che dice mia nonna quando mi servo dal piatto di portata. Dice: «Pensa anche agli altri,
pensa a quello che resta». E infatti se tu prendi 4/5 resta 1/5, se prendi 5/6 resta 1/6, che è
più piccolo di 1/5» (A.Cerasoli Io conto, FeltrinelliKids)
OPERAZIONI IN ℚ
L’addizione
L’addizione in Q si definisce nel seguente modo
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
+ =
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
Esempio
3 2 15 + 8 23
+ =
=
4 5
20
20
Proprietà dell’addizione in Q
1.Commutativa
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
+ =
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
2.Associativa
𝑐 𝑎 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
+ =
𝑑 𝑏
𝑏𝑑
𝑎 𝑐
𝑒 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑒 𝑎𝑑𝑓 + 𝑏𝑐𝑓 + 𝑏𝑑𝑒
( + )+ =
+ =
𝑏 𝑑
𝑓
𝑏𝑑
𝑓
𝑏𝑑𝑓
𝑎
𝑐 𝑒
𝑎 𝑐𝑓 + 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑓 + 𝑏𝑐𝑓 + 𝑏𝑑𝑒
+( + )= +
=
𝑏
𝑑 𝑓
𝑏
𝑑𝑓
𝑏𝑑𝑓
21
Prof. Giuseppe Frassanito
Per cui abbiamo
𝑎 𝑐
𝑒 𝑎
𝑐 𝑒
𝑎 𝑐 𝑒
( + )+ = +( + )= + +
𝑏 𝑑
𝑓 𝑏
𝑑 𝑓
𝑏 𝑑 𝑓
N. B. tale proprietà consente di eliminare le paretesi
1.Esiste zero come elemento neutro
𝑎
𝑎 𝑎
+0= 0+ =
𝑏
𝑏 𝑏
2.Esiste L’opposto
L’opposto di un numero è quel numero che sommato al primo dà l’elemento neutro.
𝑎
𝑎
L’opposto di
è− .
𝑏
𝑏
Infatti
𝑎
𝑎
𝑎−𝑎 0
+ (− ) =
= =0
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
La moltiplicazione in Q
La moltiplicazione tra frazioni non ha il significato che si attribuisce alla moltiplicazione
tra naturali (somma ripetuta). E’ importante sottolineare questo aspetto!!
Ci sono almeno due modi per definire la moltiplicazione tra frazioni
Formale: Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il
prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐
∙ =
𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑
Costruttivo
Ad esempio
3 1
∙
4 2
22
Prof. Giuseppe Frassanito
Si rappresenta la frazione ¾ sul segmento di riferimento, si prende la metà di quella
parte e si verifica che corrisponde ai 3/8 del segmento
Modellizzazione geometrica
Si basa sul fatto che un prodotto tra due fattori può essere interpretato come la
superficie di un rettangolo i cui lati misurano esattamente quanto indicato dai fattori.
Calcoliamo, ad esempio, il prodotto
3 5
∙
4 6
Se si considera il quadrato unitario
si osserva che viene diviso in 24 parti e che l’area del rettangolo corrisponde a 15 parti
23
Prof. Giuseppe Frassanito
e dunque
3 5 15
∙ =
4 6 24
Proprietà della moltiplicazione
1.Commutativa
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐
∙ =
𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑
𝑐 𝑎 𝑎∙𝑐
∙ =
𝑑 𝑏 𝑏∙𝑑
2.Associativa
𝑎 𝑐 𝑒 𝑎∙𝑐 𝑒 𝑎∙𝑏∙𝑐
( ∙ )∙ =
∙ =
𝑏 𝑑 𝑓 𝑏∙𝑑 𝑓 𝑏∙𝑑∙𝑓
𝑎 𝑐 𝑒
𝑎 𝑐∙𝑒 𝑎∙𝑏∙𝑐
∙( ∙ )= ∙
=
𝑏 𝑑 𝑓
𝑏 𝑑∙𝑓 𝑏∙𝑑∙𝑓
𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑒
𝑎∙𝑏∙𝑐
( ∙ )∙ = ∙( ∙ )=
𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑓
𝑏∙𝑑∙𝑓
N. B. tale proprietà consente di eliminare le paretesi
3. Esiste 1 come elemento neutro
𝑎
𝑎 𝑎
∙1= 1∙ =
𝑏
𝑏 𝑏
4. Esiste l’inverso di un numero
L’inverso di un numero è quel numero che sommato al primo dà l’elemento neutro.
L’inverso di
𝑎
𝑏
𝑏
è il numero 𝑎 . Infatti
𝑎 𝑏
∙ =1
𝑏 𝑎
24
Prof. Giuseppe Frassanito
5. Vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
La divisione in Q
La divisione in Q si definisce nel seguente modo
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑
: = ∙
𝑏 𝑑 𝑏 𝑐
Giustifichiamo tale procedimento
Per i numeri naturali, sappiamo che nella divisione il quoziente è quel numero che
moltiplicato per il divisore dà il dividendo.
Ad esempio
60: 4 = 15 ⟺ 15𝑥4 = 60
Vogliamo che ciò accada anche per la divisione tra frazioni per cui
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑
𝑎 𝑑 𝑐 𝑎
: = ∙ ⟺ ∙ ∙ =
𝑏 𝑑 𝑏 𝑐
𝑏 𝑐 𝑑 𝑏
Quindi per dividere una frazione per un’altra basta moltiplicare la prima per l’inversa
della seconda.
La densità di Q
C’è una proprietà che vale in Q ma non in N né in Z. La proprietà di densità afferma che
dati due razionali diversi ne esiste sempre almeno uno intermedio.
Per determinare il numero intermedio tra due numeri razionali è sufficiente fare la loro
media aritmetica.
Esempio
Dati
1
4
𝑒
1
2
il numero razionale intermedio sarà
1 1 3
4+2= 4 =3
2
2 8
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Dove
1 3 1
< <
4 8 2
Quante sono le frazioni? Possiamo contarle?
La proprietà di densità potrebbe far pensare che non sia possibile «contare» i numeri
razionali, cioè che non sia possibile costruire corrispondenza biunivoca tra N e Q.
Invece non è così. Per semplicità, proviamo a contare i numeri razionali positivi.
Costruiamo questa tabella:
Sulla prima riga ci sono i numeri naturali (frazioni di denominatore 1), sulla seconda riga
frazioni con denominatore 2, etc. Dove starà la frazione 15/43? Starà all’incrocio della
43-sima riga e della 15-sima colonna. La spezzata continua disegnata sopra passa per
tutte le frazioni della tabella, cioè le conta!
Per contare i numeri razionali positivi non si può disporli in ordine di grandezza -- come
abbiamo fatto per i numeri interi -- perché tra due razionali ne posso sempre inserire
almeno un altro (e quindi infiniti…). L’idea di Georg Cantor (1845-1918) fu quella di
trascurare la relazione d’ordine ≤ e di costruire una successione di numeri razionali
analoga alla successione dei numeri naturali. In questa successione, se si eliminano le
frazioni equivalenti, ogni numero razionale compare esattamente una volta. Posso allora
costruire una corrispondenza biunivoca tra questa successione {1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2,
2/3, ¼, 1/5, 5, … } e N, il che significa che l’insieme dei numeri razionali ℚ è numerabile,
cioè ha la stessa numerosità dei numeri naturali.
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Prof. Giuseppe Frassanito
Retta bucata…
Abbiamo visto che l’insieme dei numeri razionali è denso, cioè dati due razionali esiste
sempre un numero razionale compreso tra di essi (e quindi ne esistono infiniti).
Questo potrebbe far pensare che, nella nostra retta dei numeri, ad ogni punto
corrisponda un numero razionale. Non è così! (In gergo si dice ℚ non è completo)
Nella retta rimangono ancora moltissimi punti non «assegnati», cioè moltissimi buchi,
che saranno riempiti solo dai numeri irrazionali e solo allora ci sarà una corrispondenza
biunivoca tra i punti della retta e l’insieme dei numeri reali.
Rappresentazione dei numeri razionali: i numeri decimali finiti
Un numero decimale finito è un numero razionale che può essere rappresentato nella
forma
Dove n e m sono numeri naturali non nulli, e i termini ak rappresentano una delle cifre
da 0 a 9.
In genere si usa scrivere
𝒏, 𝒂𝟏 𝒂𝟐 … 𝒂𝒎
Esempio
𝟐, 𝟏𝟕𝟓 = 𝟐 +
𝟏
𝟕
𝟓
𝟐𝟏𝟕𝟓
+
+
=
𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎
Attenzione!
Ogni numero decimale finito rappresenta un numero razionale, ma non vale il viceversa,
ovvero non tutti i numeri razionali possono essere rappresentati come decimali finiti.
Consideriamo il numero razionale 1/3. Per trovare la sua espansione decimale, eseguiamo
la divisione 1:3=0,333….
27
Prof. Giuseppe Frassanito
Allora
1
= 0,3333 … ..
3
Oppure
1
3
3
3
=0+
+
+
+ ⋯ ..
3
10 100 1000
In ogni caso il processo non si arresta mai e quindi non possiamo rappresentare 1/3 come
un numero decimale finito. Si tratta, in questo caso, di un numero decimale periodico.
I numeri decimali periodici
I numeri decimali periodici sono numeri razionali che si rappresentano nella forma
Oppure nella forma
come, ad esempio 8, 47213213213213.. o
̅̅̅̅̅̅.
𝟖, 𝟒𝟕𝟐𝟏𝟑
Il numero naturale n è la parte intera del numero, bcd sono le cifre dell’antiperiodo,
mentre 𝒂𝟏𝒂𝟐…𝒂𝒏 sono le cifre del periodo.
Nell’esempio 8 è la parte intera, 47 è l’antiperiodo e 213 è il periodo.
Attenzione!
Ogni numero razionale può essere rappresentato come un numero decimale finito oppure
come un numero decimale periodico
Questa volta il viceversa è vero: ogni numero decimale finito o periodico rappresenta
un numero razionale
28
Prof. Giuseppe Frassanito
Possiamo sapere a priori se una frazione ridotta ai minimi termini rappresenta un
decimale finito oppure periodico?
a) Se il denominatore contiene solo potenze di 2 o potenze di 5, si ha un decimale
finito:
1
= 0,5;
2
6
= 0,12;
50
3
= 0,6;
5
17
= 1,0625
16
b) Se il denominatore non contiene potenze di 2 né di 5, allora si ha un periodico
semplice:
1
= 0, 3̅;
3
49
̅̅;
= 1, ̅̅
48
33
3
= 0,6;
5
13
= 1,857142
7
Proviamo a vedere perché…
Non faremo dimostrazioni generali, ma cerchiamo di capire, seguendo un esempio guida,
su cosa sia basata la «regola» precedente. Vediamo perché 1/3 non si può scrivere come
decimale finito. Se questo fosse possibile, esisterebbe una frazione decimale tale che:
1
𝑎
= 𝑘 → 10𝑘 = 3𝑎
3 10
Ma non può essere 10𝑘 = 3𝑎 perché 3 non è un divisore di 10. Dunque non esiste una
frazione decimale uguale a 1/3.
c) Se il denominatore contiene potenze di 2 o di 5 e di altri numeri primi, allora si ha
un periodico misto:
41
̅̅̅̅;
= 0,372
110
5
= 0,27̅
18
Come si risale da un decimale finito alla frazione generatrice?
La frazione generatrice di un decimale finito è la frazione che ha per numeratore il
numero, senza la virgola, costituito dalle cifre presenti nel numero decimale e per
denominatore la potenza di dieci con esponente uguale al numero delle cifre decimali
2,34 = 2 +
0,653 = 0 +
3
4
234
+ 2=
10 10
100
6
5
3
653
+ 2+ 3=
10 10
10
1000
29
Prof. Giuseppe Frassanito
Come si risale da un decimale periodico alla frazione generatrice?
Distinguiamo i numeri periodici in periodici semplici (senza antiperiodo) e periodici misti
(con antiperiodo)
̅̅ il numero decimale e
Sia 2, ̅̅
13
𝑎
𝑏
la frazione da trovare
𝑎
= 2,13131313
𝑏
(1)
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10n dove n è il numero delle cifre del periodo
100 ∙
𝑎
= 213,131313
𝑏
(2)
Sottraiamo la (2) dalla (1)
100 ∙
𝑎 𝑎
− = 213,131313 − 2,13131313
𝑏 𝑏
𝑎
99 = 211
𝑏
𝑎 211
=
𝑏
99
Generalizzando il procedimento, possiamo dedurre la regola
La frazione generatrice di un decimale periodico semplice è una frazione che ha
1. Come numeratore il numero che si ottiene dalla differenza tra il numero formato
da tutte le cifre (parte intera, ‘antiperiodo’ e periodo) e il numero costituito solo
dalla parte intera;
2. Come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo
̅̅̅ =
2, ̅13
213 − 2 211
=
99
99
Consideriamo il decimale periodico misto 3,25̅ e cerchiamo la sua frazione
generatrice a/b
𝑎
= 3,255555555
𝑏
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10n dove n è il numero delle cifre
dell’antiperiodo
10 ∙
𝑎
= 32,5555555
𝑏
30
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Il secondo membro è un numero periodico semplice e per la regola precedente
possiamo scrivere
10 ∙
𝑎 325 − 32
=
𝑏
9
Da cui
𝑎 325 − 32
=
𝑏
90
Possiamo ottenere allora una regola generale per determinare la frazione generatrice
di un decimale periodico misto
La frazione generatrice di un decimale periodico misto è una frazione che ha
1. Come numeratore il numero che si ottiene dalla differenza tra il numero formato
da tutte le cifre (parte intera, antiperiodo e periodo) e il numero costituito dalla
parte intera e dall’antiperiodo;
2. Come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono
le cifre dell’antiperiodo
3,25̅ =
325 − 32 293
=
90
90
La seconda regola comprende anche la prima per cui possiamo assumere la seconda
definizione come definizione generale e unica senza distinguere in decimali semplici e
misti.
Casi eccezionali ovvero «quando il periodo è formato da soli 9»
Consideriamo questi due esempi
12, 9̅ =
129 − 12 117
=
= 13
9
9
4,39̅ =
439 − 43 396
=
= 4,4
90
90
Da questi esempi deduciamo che 12, 9̅ e 13 così come
4, 39̅ e 4,4 sono due
rappresentazioni dello stesso numero razionale. Pertanto una frazione non potrà mai
rappresentarsi come un decimale periodico di periodo 9.
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Decimali illimitati aperiodici
Abbiamo visto finora due tipi di numeri
1. Decimali finiti o limitati
2. Decimali illimitati periodici
Esistono numeri decimali illimitati le cui cifre non si ripetono con regolarità (aperiodici)?
Il famigerato «3 e 14» ovvero «pi greco» è un numero di questo tipo…
I numeri di questo tipo si chiamano irrazionali
Frazioni e percentuali
Le scritture 10%, 4% stanno ad indicare rispettivamente 10/100 e 4/100. Quindi
«sconto del 20%» significa che ogni 100 euro ne vengono scontati 20.
Vediamo qualche problema…
Attenzione ai saldi (A.Cerasoli, Io conto, FeltrinelliKids)
«Questo fatto è successo alla nostra maestra. E’ andata in un negozio per comprare una
cosa che costava 200 euro. Siccome c’erano i saldi, le avevano detto che le scontavano
il 30%, perciò lei stava tranquilla e già pensava che le toglievano 60 euro. Invece, quando
è andata a pagare, la cassiera le ha detto che lo sconto era del 20% più il 10%. E lei si
è arrabbiata. A quel punto noi non capivamo perché si era arrabbiata;
Marta gliel’ha pure detto: «Maestra, ma 30 è proprio la somma di 20 e 10, perché ti sei
arrabbiata?»
«Visto com’è facile cascarci?» ha risposto lei.
«E allora spiegacelo»
La spiegazione è questa: se fai il 20% di 200 ottieni 40. Perciò resta da pagare 160.
Ora, se fai ancora lo sconto del 10% su questi 160 euro che restano, significa che ti
scontano altri 16 euro e perciò in tutto ti tolgono 56 euro, non 60! Capito? Questo
succede perché lo sconto del 20% è sull’intera somma, invece il secondo sconto, quello
del 10%, è solo su quello che resta dopo il primo sconto! Ma lo dovrebbero dire prima…
ha fatto bene la nostra maestra ad arrabbiarsi. E ha fatto bene a raccontarcelo.»
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I NUMERI REALI
I numeri irrazionali
Il termine «razionale» deriva dal latino ratio che significa, tra le altre cose, anche
rapporto. Abbiamo in effetti visto che i numeri razionali si possono esprimere come una
frazione, cioè come un rapporto tra numeri interi. Sembra plausibile dunque supporre
che i numeri irrazionali sono numeri che non si possono rappresentare con una frazione…
e in effetti è così.
Vediamo un classico esempio. Vogliamo dimostrare che non è possibile trovare alcuna
frazione tale che
√2 =
𝑚
𝑛
Ragioniamo per assurdo e supponiamo invece che una tale frazione esista. Allora sarà
anche vero che
2=
𝑚2
→ 𝟐𝒏𝟐 = 𝒎𝟐
𝑛2
L’ultima uguaglianza è assurda perché un quadrato perfetto ha sempre tutti i fattori
con esponenti pari mentre, nel nostro caso, ciò non succede poiché 𝟐𝒏𝟐 ha il fattore
2 con esponente dispari.
Possiamo allora concludere che
Non esiste alcuna frazione che rappresenta √𝟐 , ovvero √𝟐 è un numero
irrazionale, cioè un numero con infinite cifre decimali non periodiche
Di numeri irrazionali ne esistono infiniti. Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1.
In primo luogo presentiamo una successione di cifre chiaramente non periodiche e
costruibili secondo una regola precisa:
N = 0,12345678910111213141516171819202122232425 ……
Esempio 2.
Una seconda successione di cifre, banalmente non periodiche, certamente interessanti,
sono quelle del numero:
q = 0,101001000100001 …
la cui regola di formazione è evidente.
33
Prof. Giuseppe Frassanito
Esempio 3.
Un altro esempio è la lunghezza della diagonale del quadrato unitario denotata con √2 .
Esempio 4.
In questo esempio trattiamo il numero π, del quale indichiamo le prime 30 cifre
decimali,
Questo numero, geometricamente, esprime il rapporto della lunghezza di una
circonferenza al suo diametro.
Esempio 5.
Il numero
e = 2,7 1828 1828 45904 52353 60287 47135 26624 77572 47093 699 …
utilizzato come base dei logaritmi di Nepero.
Esempio 6.
La sezione aurea dell’unità:
Φ=
√5 + 1
= 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 …
2
La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione
divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due
lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la
somma delle due.
In formule, se a è la lunghezza maggiore e b quella minore
(𝒂 + 𝒃): 𝒂 = 𝒂: 𝒃
Nel caso in cui a + b = 1 si ha
34
Prof. Giuseppe Frassanito
𝟏: 𝒂 = 𝒂: (𝟏 − 𝒂)
𝒂𝟐 = 𝟏 − 𝒂
𝒂𝟐 + 𝒂 − 𝟏 = 𝟎
𝒂=
−𝟏 + √𝟏 + 𝟒 √𝟓 − 𝟏
=
𝟐
𝟐
Tutto ciò ci porta a concludere che non c’è corrispondenza biunivoca tra i punti di una
retta e i numeri razionali. Sulla retta ci sono infiniti punti ai quali non è possibile
attribuire nessun numero razionale
Per colmare questa lacune bisogna ampliare l’insieme dei numeri razionali introducendo
un altro insieme che contenga al suo interno tutti gli altri insiemi considerati in
precedenza
35
Prof. Giuseppe Frassanito
Vediamo, ora, come è possibile costruire l'insieme dei numeri reali.
Il modello che considereremo si chiama modello di Dedekind attraverso il quale
potremo scorgere lo stretto legame che intercorre tra numeri reali e numeri razionali.
Denotiamo con ℚ il campo dei numeri razionali. Siano A e B due classi di ℚ entrambe non
vuote. La coppia (A, B) costituisce una coppia di classi contigue se:
(1) Proprietà di separazione. Comunque presi a∈A e b∈B risulta a < b.
(2) Proprietà di apertura. A non ha massimo, B non ha minimo.
(3) Proprietà di avvicinamento. Comunque scelto un numero razionale ε > 0 esistono a∈A
e b∈B tali che b – a < ε.
Un numero razionale c è elemento separatore della coppia di classi contigue (A, B) se
• esso non appartiene ad alcuna delle due classi, cioè c∉A, c∉B;
• vale la seguente limitazione: ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B ⇒ a < c < b
L’elemento separatore di una coppia di classi contigue è unico
Esempio 1.
Si consideri un qualsiasi numero razionale, ad esempio 4/3. Quindi siano:
4
}
3
4
𝐵 = {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑄, 𝑥 > }
3
𝐴 = {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑄, 𝑥 <
Per le classi A e B valgono le proprietà (1) e (2) e (3). Quindi (A, B) è una coppia di classi
contigue che ammette 4/3 come elemento separatore.
Esempio 2.
Consideriamo due classi così definite:
𝐴 = {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑄, 𝑥 2 < 2 }
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Prof. Giuseppe Frassanito
𝐵 = {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑄, 𝑥 2 > 2 }
Le proprietà (1), (2) e (3) sono verificate anche se per la (2) e la (3) la verifica non è
immediata.
Osserviamo, però che, supposto che esista un elemento separatore c, questo non può
essere un numero razionale. Di conseguenza la coppia (A, B) è una coppia di classi
contigue che non ammette elemento separatore.
Dicesi numero reale una qualsiasi coppia di classi contigue.
Se la coppia di classi contigue (A, B) ammette un elemento separatore c (razionale)
allora il numero reale (A, B) si dice razionale e si identifica con l'elemento separatore
delle classi, ponendo:
c = (A, B)
Se la coppia di classi contigue (A, B) non ammette elemento separatore, allora il numero
reale
(A, B) si pensa come un nuovo oggetto, che amplia il campo razionale e viene detto
numero irrazionale.
Quanto sono infiniti i numeri irrazionali?
Ricordiamo che due insiemi hanno la stessa cardinalità o potenza quando esiste una
corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Un insieme si dice che ha la potenza del
numerabile quando lo si può porre in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.
Sono numerabili, per esempio, gli insiemi dei numeri pari, quello dei numeri dispari e
l’insieme dei numeri razionali Q.
Non tutti gli insiemi hanno però la potenza del numerabile. Proviamo che i numeri reali
– anzi solo quelli tra 0 ed 1 − non si possono numerare!
Supponiamo, per assurdo di averlo fatto, allora avremo l’elenco che segue:
0, 77158964110
0, 3411080076
0, 561108065 …
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Prof. Giuseppe Frassanito
………..
Il numero 0,abcd … dove a è diverso da 7, b è diverso da 4, c è diverso da 1, … non è
compreso tra quelli indicati nell’elenco. Un assurdo! Dunque i numeri compresi tra 0 e 1
hanno la potenza del continuo e si indica con la lettera “c”.
I numeri reali non sono numerabili e hanno la potenza del continuo.
Considerata la semicirconferenza di diametro AB uguale a 1 ad ogni punto
P appartenente al segmento AB corrisponde un punto P’ della retta r.
Enunciamo ora i seguenti teoremi
Teorema 1
L’unione di un insieme avente la potenza del continuo con un insieme finito o numerabile
ha la potenza del continuo.
Teorema 2
La differenza tra un insieme che ha la potenza del continuo e un insieme che ha la
potenza del numerabile ha ancora la potenza del continuo.
Ipotesi del continuo
Il ben noto problema che va sotto il nome di ipotesi del continuo può enunciarsi nel
seguente modo:
Esisterà qualche insieme A, sottoinsieme dei numeri reali, che ha cardinalità maggiore
del numerabile ma minore del continuo?
ℕ⊂𝐴⊂ℝ
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Prof. Giuseppe Frassanito
La congettura, a tutt’oggi aperta, riassunta sotto il nome di “ipotesi del continuo”,
afferma che non esistono insiemi A di potenza intermedia tra quella di ℕ e quella
di ℝ.
I NUMERI COMPLESSI
È ben noto che l’insieme R dei numeri reali (che include tutti gli altri insiemi numerici
finora incontrati in questo corso) non è sufficientemente “ampio” da permettere la
risoluzione di equazioni, anche semplici, a coefficienti reali, come ad esempio x2 + 1 = 0.
Questo perché resta ancora esclusa la possibilità di estrazione della radice di indice
pari di un numero negativo. La √−9 non ha nessun significato nell’insieme dei numeri
reali. Per risolvere questo problema è necessaria una nuova estensione del concetto di
numero introducendo l’insieme dei numeri complessi.
Numeri immaginari
Cominciamo con l’osservare che non esiste nessun numero reale il cui quadrato sia uguale
a un numero negativo. Nulla ci impedisce di creare, fuori dall’insieme dei numeri reali R,
un nuovo numero che soddisfi a questa condizione.
Definizione
Si chiama unità immaginaria il numero i tale che
𝑖 2 = −1
Osservazione
Poiché nell’insieme dei numeri immaginari non ha senso parlare di numeri negativi e
positivi, nell’estrarre la radice di -1 non si distingue tra radice principale e non principale
e quindi per i numeri immaginari possiamo scrivere
√−1 = ±𝑖
Potenze di i
𝑖0 = 1
𝑖1 = 𝑖
39
Prof. Giuseppe Frassanito
2
𝑖 2 = 𝑖 ∙ 𝑖 = √−1 ∙ √−1 = (√−1) = −1
𝑖 3 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖
𝑖 4 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 2 = (−1) ∙ (−1) = 1
Le potenze di i si calcolano elevando i al resto della divisione dell’esponente per 4.
Esempio
𝑖 19 = 𝑖 3 = −𝑖
Definizione
Si chiamano immaginari i numeri della forma
𝒊𝒃 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 𝑖 2 = −1
Il numero 0 ∙ 𝑖 è detto zero immaginario e si indica con lo stesso simbolo usato per lo
zero reale, cioè
0∙𝑖 =𝑖∙0= 0
Coi numeri immaginari è finalmente possibile dare un significato anche alle radici
quadrate di numeri negativi:
√−4 = √(−1) ∙ 4 = √−1 ∙ √4 = ±2𝑖
Diventa, ora, possibile risolvere l’equazione
𝑥 2 + 1 = 0 → 𝑥 2 = −1 → 𝑥 2 = 𝑖 2 → 𝑥 = ±𝑖
Operazioni con i numeri immaginari
Con i numeri immaginari è possibile fare le consuete operazioni di addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza. Volendo conservare le
consuete regole di calcolo poniamo
𝑖𝑏 + 𝑖𝑏 ′ = 𝑖(𝑏 + 𝑏 ′ )
𝑖𝑏 − 𝑖𝑏 ′ = 𝑖(𝑏 − 𝑏 ′ )
40
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𝑖𝑏: (𝑖𝑏 ′ ) =
𝑏
∈𝑅
𝑏′
𝑖𝑏 ∙ 𝑖𝑏 ′ = 𝑎𝑏𝑖 2 = −𝑎𝑏 ∈ 𝑅
𝑐 ∙ 𝑖𝑏 = 𝑖𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑖(𝑏𝑐)
𝑖𝑏: 𝑐 = 𝑖
𝑏
𝑐
Osservazione
L’addizione e la sottrazione di numeri immaginari, così come il prodotto e il quoziente di
un numero immaginario per un numero reale, danno come risultato un numero
immaginario. Invece il prodotto e il quoziente di due numeri immaginari sono numeri
reali.
Esempi
7𝑖 − 5𝑖 + 3𝑖 = 5𝑖
2𝑖 ∙ (−5𝑖) = −10𝑖 2 = −10 ∙ (−1) = 10
(8𝑖): (−3𝑖) = −
8
3
(−2𝑖)5 = −32𝑖 5 = −32𝑖 = 32
2 ∙ (−5𝑖) = −10𝑖
3𝑖: 5 =
3
𝑖
5
Numeri complessi
Definizione
Chiamiamo complesso ogni numero nella forma “cartesiana” (o algebrica)
𝑎 + 𝑖𝑏, 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 𝑖 2 = −1
Il numero a si dice parte reale del numero complesso, ib è la parte immaginaria e b è il
coefficiente dell’immaginario.
Se b = 0 il numero complesso a + ib coincide con il numero reale a; se a = 0, il numero
complesso coincide con il numero immaginario ib.
L’insieme dei numeri reali R e l’insieme dei numeri immaginari I sono due sottoinsiemi
dei numeri complessi C.
41
Prof. Giuseppe Frassanito
𝒞
ℛ
𝑂
𝑂𝑖
ℐ
L’insieme dei numeri complessi si indica con
𝐶 = {𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ∕ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 𝑖 2 = −1}
Esempio
Sono numeri complessi i seguenti:
−1 + 5𝑖; 𝜋 + 𝑖𝑒;
√2
√2
−𝑖
; 1 − 𝑖𝑙𝑛2
2
2
Operazioni con i numeri complessi (forma cartesiana)
Definizione
Dato il numero complesso z = a + i b ne definiamo
il coniugato:
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏
cioè il numero che ha la stessa parte reale e opposti i coefficienti dell’immaginario
l’opposto:
−𝑧 = −𝑎 − 𝑖𝑏
cioè il numero che opposti sia la parte reale che quella immaginaria.
Introduciamo ora le operazioni algebriche tra numeri complessi. Si può facilmente
verificare che esse mantengono le proprietà valide in ℝ : associativa, commutativa e
distributiva.
42
Prof. Giuseppe Frassanito
Somma
La somma algebrica di due numeri complessi è il numero complesso ottenuto sommando
tra loro le parti reali e immaginarie:
Dati
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑒 𝑤 = 𝑐 + 𝑖𝑑
𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑖𝑏) + (𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑏 + 𝑑)
Esempio
(𝟐 − 𝟑𝒊) + (−𝟓 + 𝟕𝒊) = −𝟑 + 𝟒𝒊
Proprietà del coniugato:
𝑧 + 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑖𝑏) + (𝑎 − 𝑖𝑏) = 2𝑎
La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale.
Esempio
(𝟐 − 𝟑𝒊) + (𝟐 + 𝟑𝒊)) = 𝟒
Proprietà dell’opposto:
𝑧 + (−𝑧) = (𝑎 + 𝑖𝑏) + (−𝑎 − 𝑖𝑏) = 0
La somma di due numeri complessi opposti è uguale a zero.
Esempio
(𝟐 − 𝟑𝒊) + (−𝟐 + 𝟑𝒊)) = 𝟎
Proprietà dell’opposto del coniugato:
𝑧 − 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑖𝑏) − (𝑎 − 𝑖𝑏) = (𝑎 + 𝑖𝑏) + (−𝑎 + 𝑖𝑏) = 2𝑖𝑏
La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario.
Esempio
(𝟐 − 𝟑𝒊) − (𝟐 + 𝟑𝒊)) = −𝟔𝒊
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Prodotto
Il prodotto tra due numeri complessi è il numero complesso ottenuto usando la proprietà
distributiva e sfruttando la relazione 𝑖 2 = −1
𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 𝒆 𝒘 = 𝒄 + 𝒊𝒅
𝒛 ∙ 𝒘 = (𝒂 + 𝒊𝒃) ∙ (𝒄 + 𝒊𝒅) = 𝒂𝒄 + 𝒊𝒂𝒅 + 𝒊𝒃𝒄 − 𝒃𝒅 = (𝒂𝒄 − 𝒃𝒅) + 𝒊(𝒃𝒄 + 𝒂𝒅)
Esempio
(𝟏 + 𝒊)(𝟏 − 𝟐𝒊) = 𝟏 − 𝟐𝒊 + 𝒊 + 𝟐 = 𝟑 − 𝒊
Proprietà del coniugato:
𝒛 ∙ 𝒛̅ = (𝒂 + 𝒊𝒃)(𝒂 − 𝒊𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒊𝟐 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Il prodotto tra due numeri complessi coniugati è un numero reale.
Esempio
(𝟏 + 𝟐𝒊)(𝟏 − 𝟐𝒊) = 𝟏 + 𝟒 = 𝟓
Reciproco di un numero complesso
Dato
𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃
Si definisce reciproco del numero complesso z diverso da zero, il numero complesso
che, moltiplicato per z dà 1.
𝟏
𝟏
𝒂 − 𝒊𝒃
𝒂
𝒃
=
= 𝟐
=
−
𝒊
𝒛 𝒂 + 𝒊𝒃 𝒂 + 𝒃𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Infatti
𝟏
𝟏
𝟏
𝒂 − 𝒊𝒃
𝒂 − 𝒊𝒃
𝒂
𝒃
=
=
∙
= 𝟐
= 𝟐
−𝒊 𝟐
𝟐
𝟐
𝒛 𝒂 + 𝒊𝒃 𝒂 + 𝒊𝒃 𝒂 − 𝒊𝒃 𝒂 + 𝒃
𝒂 +𝒃
𝒂 + 𝒃𝟐
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1
𝑧
Esempio
Determinare il reciproco di 1-2i
𝟏
𝟏
𝟏 + 𝟐𝒊 𝟏 + 𝟐𝒊 𝟏 𝟐
=
∙
=
= + 𝒊
𝟏 − 𝟐𝒊 𝟏 − 𝟐𝒊 𝟏 + 𝟐𝒊
𝟓
𝟓 𝟓
Rapporto tra numeri complessi
Il rapporto tra due numeri complessi, di cui il secondo non nullo, è il numero complesso
ottenuto moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.
Dati
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑒 𝑤 = 𝑐 + 𝑖𝑑
𝑧
𝑧∙𝑤
̅
(𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑐 − 𝑖𝑑) 𝑎𝑐 − 𝑖𝑎𝑑 + 𝑖𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)
=
=
=
=
𝑤 𝑤∙𝑤
̅ (𝑐 + 𝑖𝑑)(𝑐 − 𝑖𝑑)
𝑐 2 + 𝑑2
𝑐 2 + 𝑑2
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
+𝑖 2
2
2
𝑐 +𝑑
𝑐 + 𝑑2
Esempio
𝟏+𝒊
(𝟏 + 𝒊)(𝟏 + 𝟐𝒊)
𝟏 + 𝟐𝒊 + 𝒊 − 𝟐 −𝟏 + 𝟑𝒊
𝟏 𝟑
=
=
=
=− + 𝒊
𝟏 − 𝟐𝒊 (𝟏 − 𝟐𝒊)(𝟏 + 𝟐𝒊)
𝟓
𝟓
𝟓 𝟓
Potenza di un numero complesso
Utilizzando le note proprietà delle potenze di un binomio, possiamo calcolare le
potenze successive di z:
In generale, ricordando che la potenza n-ma di un binomio è un polinomio completo e
omogeneo di grado n, nel nostro caso nelle due variabili a e ib, possiamo usare il triangolo
di Tartaglia per ricavare i coefficienti di tale polinomio:
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Calcolare (𝑎 + 𝑖𝑏)𝑛 diventa così un’operazione non difficile ma sicuramente lunga.
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
La forma cartesiana z = a + i b dei numeri complessi è molto utile per poterli agevolmente
rappresentare graficamente. È evidente infatti come z sia univocamente determinato
dalla coppia di numeri (a, b) che individua un punto sul piano cartesiano in una sua
“versione” modificata.
Piano di Argand-Gauss
Nel piano cartesiano, chiamiamo asse reale quello delle ascisse x e asse immaginario
quello delle ordinate iy; sul primo riportiamo la parte reale a del numero complesso che
vogliamo rappresentare, sul secondo il coefficiente della sua parte immaginaria b.
Tali valori individuano univocamente un punto P(a,b) del piano, che chiameremo ora piano
complesso.
⃗⃗⃗⃗⃗ , di componenti a e b rispettivamente, ossia stabiliamo
Consideriamo il vettore 𝑧 = 𝑂𝑃
una corrispondenza biunivoca tra numeri complessi e vettori del piano.
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P
Definizione
Definiamo modulo di z e si indica con |𝑧|
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2
Forma trigonometrica dei numeri complessi
Sia z un numero complesso scritto nella forma algebrica
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
Indichiamo con ρ il modulo di z e con θ l’angolo che il segmento individuato dall’origine
e dal punto di coordinate (a; b) forma con l’asse x. ρ e θ prendono il nome di coordinate
polari.
Dalle note proprietà sui triangoli rettangoli si ricava che
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𝜌 = √𝑎2 + 𝑏 2
𝑎 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
{
⟺{
𝑏
𝑏 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + (𝜋 𝑠𝑒 𝑎 < 0)
𝑎
Determinati ρ e θ possiamo scrivere la forma trigonometrica del numero complesso
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽)
Formula trigonometrica del coniugato
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏(−𝜽))
Formula trigonometrica dell’opposto
−𝑧 = −𝑎 − 𝑖𝑏 = −𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝝅) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽 + 𝝅))
Esempio 1
Trasformiamo 𝑧 = −1 + 𝑖√3
in coordinate polari
𝝆 = √𝟏 + 𝟑 = 𝟐
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−√3) = −
𝜋
2
+𝜋 = 𝜋
3
3
2
2
𝑧 = −1 + 𝑖√3 = 2(𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋)
3
3
Esempio 2
𝜋
𝜋
Trasformiamo 𝑧 = 2(𝑐𝑜𝑠 4 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 4 )
𝑧 = 2 (𝑐𝑜𝑠
in coordinate cartesiane
𝜋
𝜋
√2
√2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛 ) = 2 ( + 𝑖 ) = √2 + 𝑖√2
4
4
2
2
Numeri complessi che hanno lo stesso modulo
I numeri complessi che hanno lo stesso modulo graficamente si rappresentano come
punti appartenenti ad una circonferenza di centro l’origine e raggio ρ
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Esercizio 1
Individua nel piano complesso i punti per cui |𝑧| = 2 .
Si tratta dei punti della circonferenza di centro l’origine e raggio 2.
Esercizio 2
Individua nel piano complesso i punti per cui 1 < |𝑧| < 2 .
Si tratta dei punti della corona circolare di centro l’origine e raggi 1 e 2
rispettivamente.
Operazioni con i numeri complessi (forma trigonometrica)
La forma trigonometrica consente di risolvere, in modo semplice, le operazioni di
moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e di estrazione di radice.
Prodotto tra due numeri complessi in forma trigonometrica
Il prodotto tra due numeri complessi scritti in forma trigonometrica ha la seguente
proprietà:
𝝆𝟏 (𝒄𝒐𝒔𝝑𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑𝟏 ) ∙ 𝝆𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝝑𝟐 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑𝟐 ) =
𝝆𝟏 𝝆𝟐 [(𝒄𝒐𝒔𝝑𝟏 𝒄𝒐𝒔𝝑𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝝑𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝑𝟐 ) + 𝒊(𝒔𝒆𝒏𝝑𝟏 𝒄𝒐𝒔𝝑𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝝑𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝑𝟐 )]
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𝝆𝟏 𝝆𝟐 [(𝒄𝒐𝒔(𝝑𝟏 + 𝝑𝟐 ) + 𝒊(𝒔𝒆𝒏(𝝑𝟏 + 𝝑𝟐 )]
Ossia, il prodotto tra due numeri complessi in forma trigonometrica è un numero
complesso il cui modulo è il prodotto dei moduli e l’argomento è la somma degli
argomenti.
Reciproco di un numero complesso in forma trigonometrica
1
1
𝑐𝑜𝑠𝜗 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗
𝑐𝑜𝑠𝜗 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗
=
=
=
𝑧 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜗 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗) 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜗 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗)(𝑐𝑜𝑠𝜗 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗)
𝜌
1
= (cos(−𝜗) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝜗))
𝜌
La direzione del reciproco è quindi simmetrica a quella di z rispetto l’asse reale.
Rapporto tra due numeri complessi in forma trigonometrica
𝜌1 (𝑐𝑜𝑠𝜗1 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗1 ) 𝜌1
= (𝑐𝑜𝑠𝜗1 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗1 )[(𝑐𝑜𝑠(−𝜗2 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝜗2 )] =
𝜌2 (𝑐𝑜𝑠𝜗2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗2 ) 𝜌2
=
𝜌1
[cos(𝜗1 − 𝜗2 ) + 𝑖 sen(𝜗1 − 𝜗2 )]
𝜌2
Il rapporto tra due numeri complessi scritti in forma trigonometrica è un numero
complesso il cui modulo è il rapporto dei moduli e l’argomento è la differenza degli
argomenti.
Potenza – Formula di De Moivre
𝒛𝒏 = [𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑)]𝒏 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑) ∙ 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑) ∙∙∙ 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑) =
= 𝝆𝒏 [𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝑) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝑)]
Radici n-esime di un numero complesso
Una volta definita la potenza n-ma di un numero complesso è naturale chiedersi che
forma assume la sua radice n-ma.
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Dato il numero complesso
𝒛 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑)
La radice n-esima è quel numero
𝒘 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝋)
Tale che
𝑤𝑛 = 𝑧
cioè
[𝒓(𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝋)]𝒏 = 𝒛
Applicando De Moivre, dev’essere:
𝒓𝒏 (𝒄𝒐𝒔𝒏𝝋 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒏𝝋) = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑)
Tale uguaglianza è soddisfatta se e solo se valgono le seguenti uguaglianze tra numeri
reali:
𝑟 = 𝑛√𝜌
𝑟𝑛 = 𝜌
{
⟺{
𝜗
2𝜋
𝑛𝜑 = 𝜗 + 2𝑘𝜋 (𝑘 ∈ 𝑍)
𝜑 = +𝑘
(𝑘 ∈ 𝑍)
𝑛
𝑛
Notiamo che per k = 1, 2,.., n-1 otteniamo n valori differenti dell’angolo ϕ. Tali valori,
che dipendono da k, sono le n radici n-me di z in C:
𝝑
𝟐𝝅
𝝑
𝟐𝝅
√𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑) = 𝒏√𝝆 [𝐜𝐨𝐬 ( + 𝒌 ) + 𝒊𝒔𝒆𝒏 ( + 𝒌 )] 𝒄𝒐𝒏 𝒌 = 𝟎, 𝟏. . 𝒏 − 𝟏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
Esempio
Trovare le soluzioni in C dell’equazione 𝑧 3 = 1
1 = 1(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑒𝑛0)
3
𝑟 = √1 = 1
𝜑=
0
2𝜋
+𝑘
𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2
3
3
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per cui i valori distinti delle radici si ottengono in corrispondenza dei valori degli
argomenti
𝑧1 = 1
𝑧2 = 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
2𝜋
1
√3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
= − +𝑖
3
3
2
2
𝑧3 = 𝑐𝑜𝑠
4𝜋
4𝜋
1
√3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
= − −𝑖
3
3
2
2
E’ possibile rappresentare nel piano di gauss le radici n-esime del numero complesso.
Esse sono rappresentate dai vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza
di centro O e raggio 𝑛√𝜌 .
z1
z0
z2
Forma esponenziale dei numeri complessi
I numeri complessi si possono rappresentare in forma esponenziale nel seguente modo:
𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 = 𝝆(𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑) = 𝝆 ∙ 𝒆𝒊𝝑
Dove e indica il numero di Nepero ed è la base dei numeri naturali,
rappresenta il modulo
del numero complesso z e 𝝑l’argomento del numero complesso.
L’uguaglianza
𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑 = 𝝆 ∙ 𝒆𝒊𝝑
è detta formula di Eulero e la sua dimostrazione è rimandata a studi successivi.
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Le operazioni tra numeri complessi espressi in forma esponenziale seguono le proprietà
delle potenze.
Posto
𝑧1 = 𝜌1 𝑒 𝑖𝜗1 𝑒 𝑧2 = 𝜌2 𝑒 𝑖𝜗2
Si ha
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝜌1 ∙ 𝜌2 𝑒 𝑖(𝜗1 +𝜗2 )
𝑧1 : 𝑧2 =
𝜌1 𝑖(𝜗 −𝜗 )
∙𝑒 1 2
𝜌2
𝑧1𝑛 = 𝜌1𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜗1
𝑛
𝑛
√𝑧1 = √𝜌 ∙ 𝑒
𝜗
2𝜋
𝑖( 1 +𝑖 )
𝑛
𝑛
𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0, 1, 2 … , (𝑛 − 1)
Tenendo conto della formula di Eulero possiamo scrivere:
𝜋
Esempio: esprimere il numero complesso 𝑧 = 𝑒 𝑖 6 in forma algebrica
𝜋
𝑧 = 𝑒 𝑖 6 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
𝜋 √3 1
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛 =
+ 𝑖
6
6
2
2
Esempio: esprimere il numero complesso z=1 – i in forma trigonometrica ed esponenziale.
La forma trigonometrica risulta:
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La forma esponenziale risulta:
L’unità immaginaria come operatore di rotazione
Pensiamo ad un numero reale positivo +a posizionato sull’asse dei numeri reali.
Moltiplicare tale numero per -1 vuol dire ottenere come risultato –a, e ciò corrisponde
ad una rotazione di a intorno all’origine di 180°, o di
Moltiplicare il numero +a due volte vuol dire effettuare una rotazione di 360°, o 2,
come dire non effettuare alcuna rotazione. Quindi moltiplicare per +1 equivale ad una
rotazione pari a 00.
Moltiplicare il numero a per i, l’unità immaginaria vuol dire ruotare il numero di /2 in
senso antiorario
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Moltiplicare il numero a per i2 vuol dire ruotare il numero di /2 + /2 = in senso
antiorario e ciò, come già visto, equivale a moltiplicare il numero a per -1
Se l’unità immaginaria i è associata ad un angolo di 90°, il numero complesso è l’operatore
che consente di ruotare il numero a di un angolo , variabile a piacere
Moltiplicare un numero complesso z = a + ib:
per i, vuol dire ruotarlo di 90° in senso antiorario.
per i2, vuol dire ruotarlo di 180° in senso antiorario.
per i3 = -i, vuol dire ruotarlo di 270° in senso antiorario.
per i4 = 1, vuol dire ruotarlo di 360° in senso antiorario ed ottenere ancora lo stesso
numero complesso.
Dividere un numero complesso z per l’unità immaginaria vuol dire ruotarlo di 90° in senso
orario ottenendo così un numero complesso ruotato in ritardo di 90° rispetto a z.
Utilità dell’unità immaginaria.
L’unità immaginaria i è un operatore che ha modulo unitario e argomento /2. Ma perché
è utile nella descrizione di fenomeni fisici?
Valutiamo un paio di fenomeni e vediamo se l’operatore immaginario ci può aiutare.
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Pensiamo a due punti che si muovono su una circonferenza di moto circolare uniforme e
distano di 90°. Se il fenomeno fisico che li contraddistingue è il medesimo (v=2pRf),
come si può distinguere la differenza angolare tra i due punti?
La differenza di fase tra tensione e corrente in due fondamentali componenti elettrici,
il condensatore e l’induttore, descritti idealmente dalla capacità e dall’induttanza, è
pari a 90°. Come può essere messo in evidenza tale fenomeno, tenendo presente che la
legge che li governa (Ohm) è la stessa?
E’ l’operatore i che vi viene in aiuto: in particolare è il metodo simbolico che con una
semplice rappresentazione in campo complesso delle grandezze reali ci consente di
effettuare l’analisi di tali fenomeni fisici e di molti altri.
Esempio
Per un induttore in regime sinusoidale la tensione è in anticipo rispetto alla corrente di
90°, ossia
In un condensatore la tensione è in ritardo rispetto alla corrente di 90°, ossia:
Si può sostenere che un numero complesso viene utilizzato nelle applicazioni che
richiedono di giustificare analiticamente il ritardo o l’anticipo di una grandezza
vettoriale rispetto ad un’altra di un angolo compreso tra 0 e 360°.
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Il numero complesso z come operatore di rotazione
Il numero complesso 𝒛 = 𝝆 ∙ 𝒆𝒊𝝑 = 𝒄𝒐𝒔𝝑 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝑 è un operatore che determina una
rotazione intorno all’origine di un angolo 𝝑. Effettuare il prodotto tra due numeri
complessi 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜗 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜗 𝑒 𝑤 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑 vuol dire determinare una rotazione
complessiva pari alla somma dei singoli argomenti di ciascun numero complesso 𝝑 e ϕ.
Riferimenti bibliografici
http://web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Numeri_razionali.pdf
L. Lamberti – L. Mereu – A. Nanni: Nuovo Lezioni di Matematica A - Etas
www.matematicamente.it- numeri complessi
www.claudiocancelli.it
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