Potenza di un binomio

Potenza di un binomio
Sono molto noti gli sviluppi delle potenze di un binomio fino alla terza potenza. Ora ci proponiamo di
trovare una formula che consenta lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio
Calcoliamo la potenza
Procedere allo stesso modo per potenze con esponente superiore diventa alquanto laborioso. Trovare un
modo più efficiente per sviluppare una potenza n-esima diventa necessario.
Analizziamo lo sviluppo delle potenze dalla zero fino alla quarta potenza
Notiamo che:




Ogni sviluppo ha un termine in più del precedente;
Coefficiente equidistanti dagli estremi sono uguali;
Il primo e l’ultimo coefficiente sono sempre uguali a 1;
Lo sviluppo è un polinomio omogeneo di grado n; completo sia rispetto alla lettera a che
rispetto alla lettera b; ordinato secondo le potenze crescenti di a e decrescenti di b;
Al fine di sviluppare la potenza
dobbiamo determinare la legge con la quale costruire i
coefficienti degli sviluppi. Disponiamo tali coefficienti fino alla quarta potenza in uno schema
triangolare, detto triangolo di Tartaglia:
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
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la cui legge di formazione è la seguente:


In ogni riga il primo e l’ultimo numero sono uguali a 1;
A partire dalla terza riga, ogni altro numero diverso da 1 si ottiene sommando al numero
immediatamente sovrastante quello alla sinistra di quest’ultimo (6 = 3 + 3; 2 = 1 +1)come
indicato dai numeri a colori;
Siamo, ora, in grado di determinare i coefficienti degli sviluppi di
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
n=6
1 6 15 20 15 6 1
n=7
1 7 21 35 35 21 7 1
n=8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
…………
Tenendo conto del triangolo di Tartaglia e di quanto detto in precedenza siamo in grado di
sviluppare:
Esempio 1
Calcola
Dallo sviluppo di
ponendo
avremo:
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(
)
(
)
(
)
Esempio 2
Calcola
Dallo sviluppo di
ponendo
avremo:
Esercizi proposti
Calcola le seguenti potenze applicando la formula
1.
2.
Bibliografia
N. Dodero – P. Baroncini – R. Manfredi – I. Fragni: Lineamenti. Math BLU nella matematica
Algebra vol. 1-Ghisetti e Corvi Editori
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