Un Breve Viaggio
Nell’Universo
Della
Matematica
Liceo Scientifico Classico
“ F. Quercia ”
di Marcianise
Progetto “ Cittadinanza Attiva ed Appartenenza
al Territorio” ( Ex Art. 9)
Numeri per Crescere
EQUAZIONI
RADICALI
NUMERI COMPLESSI
EQUAZIONI
EQUAZIONI EGIZIANE
Nel papiro Rhind si risolvono alcune equazioni,
quasi tutte di 1° grado, nelle quali l’incognita è
detta aha ( mucchio ), con il ″ metodo di falsa
posizione ″, anche detto regula falsi.
Esempio
Determinare il numero che sommato al proprio
x
x
+
= 48 )
quinto dà come risultato 48 ( ovvero
5
“ falsa ” posizione :x = 5 ( per non avere frazioni al
primo passaggio), non è adeguato perché se si
x
sostituisce x = 5 in x + 5 = 48 si ha 6 e non 48,
ma
se 48 è multiplo di 6, lo stesso multiplo di 5 darà x.
Per ottenere 48 da 6 si moltiplica 6 per
8
( 6 * 8 = 48 ). Quindi, per ottenere la x cercata
da
5 si dovrà moltiplicare per 8 ( il 5 ) cioè 5 * 8 =
40
x
40 +
= 48 ⇒ 40 + 8 = 48
5
ovvero x = 40 pertanto
si ha :
IL PAPIRO DI
BERLINO
La somma delle aree di due quadrati è 100.
Tre volte il lato di uno è quattro volte il lato
dell’altro; quali sono ?
x2 + y2 = 100 e 3x = 4y
Si pone :
x = 4
si avrà :
e
y = 3
x2 + y2 = 42 + 32 = 25 ≠ 100
ma :
100 = 102 e 25 = 52
ed essendo :
10 : 5 = 2
risulta :
x = 4*2=8 e y =3*2=6
quindi :
x2 + y2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100
FIBONACCI E IL LIBER ABACI
Dal De laboratore quaestio notabilis si studia
il
seguente problema :
Un lavoratore avrebbe dovuto prendere 7 bisanti
al mese se avesse lavorato, ma avrebbe dovuto
restituire 4 bisanti per un mese di assenza dal
lavoro.
Questi talvolta lavorò e talvolta no alla fine
del
mese ( 30 giorni ) ricevette un bisante.
Quanti giorni di lavoro ha fatto il lavoratore?
RISOLUZIONE DEL PROBLEMA CON FIBONACCI
Ai nostri tempi si imposta la seguente equazione:
x
( 30 − x )
7
− 4
= 1
30
30
Fibonacci usa il metodo della
falsa
posizione.
doppia
per 15 gg. 1 bisante e ½
7*15/30 – 4* 15 / 30
per 20 gg. 3 bisanti e 1/3
7*20/30 – 4* 10 / 30
Si imposta la proporzione:
1
1
1
( 20 − 15) : 3 + − 1 + = ( 20 − x) : 3 + − 1
3
2
3
da cui risulta :x = 150
11
= 13 +
7
11
, quindi quel
lavoratore ha lavorato 13 giorni e 7/11 di giorno.
L’ALGEBRA DI BOMBELLI
La semplificazione dei radicali doppi fu studiata
in alcuni casi particolari da Rafael Bombelli.
In Algebra, Bombelli si occupò del calcolo
con
potenze, con radici e di equazioni algebriche e
contribuì all’elaborazione
delle
tecniche
risolutive delle equazioni di terzo grado.
A lui si deve l’introduzione degli esponenti, in
modo
sistematico, per indicare le potenze
dell’incognita.
Bombelli introdusse i termini più di meno e meno
di meno, termini che abbrevia nelle scritture
“ p d m ” e “ m d m ” e dei quali fornisce
le “ regole ” moltiplicative.
Le “ regole ” di Bombelli
p. d. m. = i
m. d. m. = - i
Bombelli stabilisce che :
( -1 ) ( + i) = -i
( -1 ) ( - i ) = i
( + i ) ( + i ) = i2 = -1
( + i ) ( - i ) = - i2 = + 1
( - i ) ( - i ) = + i2 = - 1
e si possono riassumere nella seguente tavola :
X
+1
-1
+i
-i
+1
+1
-1
+i
-i
-1
-1
+1
-i
+i
+i
+i
-i
-1
+1
-i
-i
+i
+1
-1
Portano al gruppo moltiplicativo commutativo a
elementi in C ( {+1; -1; + i; - i } ; ∗ ) il gruppo
delle radici quadrate dell’unità.
Nell’Algebra si trova la corretta trattazione di
alcune equazioni di terzo grado che, se risolte
con il procedimento di
Cardano-Tartaglia,
portano a radicali doppi con quantità non reali.
3
x = 15x + 4
x=
3
2 + 11i +
3
2 − 11i
Bombelli provò che è possibile scrivere:
2 ± 11i = ( 2 ± i )
3
e dunque riuscì a concludere correttamente in R :
x = ( 2 + i)
( 2 − i) =
4
( Dis ) uguaglianza e ( dis ) equazione
Si deve tener presente la distinzione tra:
uguaglianza ed equazione
disuguaglianza e disequazione
Nell’uguaglianza si afferma che gli oggetti A e
B
sono uguali ( ad esempio : hanno lo stesso
valore numerico ). Nell’equazione si chiede di
determinare ( tutti ) i valori di un incognita x
affinché A ( x ) e B ( x ) siano uguali.
In modo analogo per le disequazioni.
Lo statuto epistemologico di dis ( uguaglianza )
e dis ( equazione ) è diverso.
INTRODUZIONE DEI SIMBOLI
″ = ″, ″ > ″, ″ < ″
Il simbolo ″ = ″ compare nel 1557 ( in The
Wheststone Of Witte manoscritto di Bombelli);
una pubblicazione a stampa con il simbolo ″ =
″
è del 1618 ( ad opera di W. Oughtred ).
I simboli ″ < ″ , ″ > ″ compaiono nel 1631 in
Artis Analyticae
Aequationes
Algebraicas
di
Praxis
ad
Resolvendas, opera
postuma
Thomas Harriot ( 1560 - 1621 ).
″Signum majoritatis ut a > b significet a
mariorem quam b ″ e ″ Signum minoritatis ut
Per quanto riguarda le equazioni e uguaglianze si
ha una ricca Storia a partire dagli antichi
papiri
egizi , le tavolette babilonesi, le interpretazioni
geometriche dei greci, gli sviluppi in India e
presso gli Arabi, i problemi nuovi con Bombelli,
nel rinascimento per giungere ad Euler, Ruffini.
Per le diseguaglianze e disequazioni la storia è
povera, infatti i riferimenti a tale riguardo
sono
molto scorsi.
Nell’Algebra di L. Euler ( ed. del 1828 ) il
primo
″ regole ″ di Cartesio e di Tartanville ( 1885 )
si possono ricondurre a disequazioni.
Da ciò si è evidenziato un’asimmetria storica:
l’equazione sintetizza il problema da risolvere;
la disequazione esprime le condizioni che
consentiranno di accettare una soluzione.
Spesso, nella storia, le disequazioni sono state
risolte ricorrendo ad opportune
equazioni
“associate”.
Tale situazione è stata spesso influenzata dai
contesti socio-culturali; la “soluzione
concreta”
astratto ″ campo di possibilità ″.
In tempi recenti è stato rilevato il ruolo
″autonomo ″ delle disequazioni ma didatticamente
una
qualche ″ subordinazione operativa ″ è
ancora rilevabile. Una disequazione in x ∈ ℜ
individua un sottoinsieme della retta reale, spesso
un sottoinsieme infinito ( non numerabile ) come
un segmento o una semiretta.
Le caratteristiche di tale sottoinsieme sembrano
identificate nei “ punti di frontiera ”, il cui ricavo
si riconduce alla risoluzione dell’equazione
associata alla disequazione data.
Ma all’asimmetria storica si è sovrapposta una
impropria analogia didattica; ciò può causare
l’errata riconduzione operativa di disequazioni
ed equazioni. Anche i registri simbolici non
possono non
indurre
considerazioni di
analogia tra f ( x ) = g ( x ) e f ( x ) < g
(x).
Per risorse, materiali ( scaricabili ) e indicazioni
bibliografiche si può consultare il sito di
servizio per insegnanti e studenti :
www.syllogismos.it
NUMERI COMPLESSI
STORIA DEI NUMERI COMPLESSI
Sa che da un numero negativo non è possibile
estrarre la radice quadrata.
Questo fu riconosciuto, dal matematico indiano
Mahavira, nel secolo IX.
Per molti secoli, le radici dei numeri negativi
furono trascurate.
Finché nel Cinquecento, alcuni matematici,
furono posti davanti al problema di dare
un significato a queste strane quantità.
Uno dei primi ad occuparsene fu
Cardano nella sua opera Ars Magna dove
presentò le formule per la risoluzione dei
radicali e delle equazioni di terzo grado,
dovute a Tartaglia e le formule per
risolvere i radicali delle equazioni di
quarto grado, trovate da Ferrari. Lo stesso
Cardano non riuscì a spiegare espressioni
come
−1
così finì per chiamarle sofistiche.
In seguito Bombelli riprese il concetto di
numeri immaginari.
Egli introdusse le notazioni p.d.m ( più di
meno) per i e m.d.m. (meno di meno) per – i,
da cui la scrittura :
Rc [ 2p.d.m.2] per indicare 3 2 + 2i .
Egli inoltre, definì per essi le quattro
operazioni, e formulò le fondamentali regole di
calcolo.
Anche Cartesio respinse le radice complesse
e coniò per esse il termine immaginarie.
Lo stesso imbarazzo di fronte a questo
problema fu provato da Newton e Leibniz.
Quest’ultimo, nel 1702, definì il numero
come
‘ mostro dell’analisi ’, e fu anche
ripudiato da Cauchy.
Solo nel 1811 Gauss diede una valida e
semplice interpretazione dei numeri complessi: il numero complesso può essere visto
come un punto del piano chiamato piano di
Gauss.
E fu proprio lui ad introdurre il termine
numero complesso.
Numeri Complessi
Il numero complesso è la somma di un numero
reale e di un numero immaginario. I numeri
complessi sono usati in campi matematici, in
campi fisici, in ingegneria specialmente in
elettromagnetica e telecomunicazioni o elettronica, per
la loro utilità nel rappresentare onde
elettromagnetiche
In matematica i numeri complessi formano
un
campo e sono generalmente visualizzati come
punti del piano, detto piano complesso.
La proprietà più importante che caratterizza i
numeri complessi è il teorema fondamentale
dell’algebra, che asserisce che : qualunque
equazione polinomiale di
grado “ n ”
ha esattamente “ n ” soluzioni
complesse, non necessariamente distinte.
L’unità immaginaria: I numeri complessi
sono un’estensione dei numeri reali nata
inizialmente per consentire di trovare tutte le
soluzioni delle equazioni polinomiali, ad
esempio, l’equazione :x 2 = − 1
non ha soluzioni reali perché in questo
insieme non esistono numeri il cui quadrato sia
negativo. Si definisce allora il valore i che
2
gode della seguenteiproprietà:
= −1
I
numeri complessi sono formati da una parte
reale e una immaginaria:
a + ib
Come i numeri reali sono in corrispondenza
biunivoca con i punti di una retta,
quelli complessi sono in corrispondenza con
i punti
del piano, detto piano complesso, al numero
complesso
a + ib
Si associa il punto di coordinate cartesiane
(a,b).
RADICALI
RADICALI
Perché sono stati inventati i radicali?
Perché si è avuto il desiderio di risolvere dei
problemi nei quali si chiedeva di determinare il
valore di un numero, conoscendo una relazione
fra potenze con esponente noto di esso.
In alcuni testi babilonesi, antecedenti il quinto
secolo a. C.,s’incontrano problemi di astronomia,
di geometria o di natura commerciale che
conducono alla determinazione delle radici
quadrate, cubiche o di
ordine
superiore,
che allora si calcolavano con apposite tavole
numeriche.
Se la radice cercata era un numero intero, essa
era data con
esattezza. Per le altre radici, i
corrispondenti
numeri sessagesimali erano
soltanto approssimati.
Questi calcoli produssero un piccolo
terremoto
nella cultura del mondo greco.
Infatti, nella matematica greca si era affermata la
teoria pitagorica, secondo la quale ogni
cosa
da rapporti fra numeri naturali.
Fu grande l’apprensione dei pitagorici, quando
si resero conto che il rapporto fra la diagonale
e il lato di un quadrato non può essere espresso
da un numero intero né da un quoziente tra due
numeri interi.
Con la teoria delle proposizioni ( Eudosso )
si
risolsero
problemi
coinvolgenti
anche
grandezze
incommensurabili, ma
nessun
numero fu usato per esprimere tali rapporti, ciò
favorì la separazione dell’aritmetica dalla
geometria.
La necessità di risolvere problemi, mantenne
viva la ricerca sul calcolo approssimato di
radici ennesime di numeri e di ciò vi è traccia
già nell’opera di Teodoro Cirene ( 4°÷3°
secolo
a.C. ) della radice quadrata.
Fino al medioevo, il calcolo delle radici approssimate di numeri interi era eseguito usando delle tabelle costruite per tentativi.
Una prima idea di ciò è presente nel Liber
Abaci di Fibonacci ( 1202), con le prime
estrazioni di radici cubiche.
Le regole di moltiplicazione, divisione ed
estrazione di radice quadrata si leggono
nella
opera del matematico hindu Bhaskara ( XII° sec
d. C. ), ma le dimostrazioni dei radicali
sono
state scritte dopo la pubblicazione de “
l’introduzione all’arte analitica ”( 1591 ) opera di Viéte e
consentì di fare dimostrazioni generali a
congetture.
Nel XVI° sec. compare la nozione di esponente
♣ Cardano ( 1501 – 1576 ) indicava i numeri
negativi come radici delle equazioni, però
nutriva forti dubbi sul loro significato.
♣ Cartesio ( 1596 – 1650 ) li usò nel calcolo,
ma
non li rappresentò mai geometricamente.
♣ Nel 1572, nell’ Algebra di Bombelli
si
leggono delle chiare definizioni dei numeri
negativi.
♣ Nel 1831 de Morgan sosteneva che :
“ quando un’espressione negativa compare
come soluzione di un problema, ciò significa che si è in presenza di qualche
incoerenza o assurdità ”.
Fino alla fine del XVII secolo si effettuavano
calcoli approssimati di radici senza il problema
di un sistema di numeri che li comprendesse;
questo problema richiamò l’attenzione dei
matematici del XIX secolo e nel 1872 prima e
nel 1883 poi fu risolto da Dedekind e Cantor
in
Con la partecipazione dei ragazzi della
III ^ G
Alberico Luigi
Canciaruso Luca
Barbarano M. Rosaria
Iodice Angelo
Zarigno Giuseppina
Iovinella Marika
Conetta Mario
Cimmaruta Antonio
Trombetta Pasqualina
Zarigno Maria Libera
Lamberti Laura
Smeragliuolo Grazianna
e con la partecipazione dei ragazzi
della
IV ^ G
Aruta Mara
Frattolillo Giuseppe
Porfidia Domenico
Di Bernardo Emilia
Tartaglione Francesco Sorbo Antonella
Coordinamento e supervisione del prodotto
Prof. Bruno Angelo
Ci scusiamo se il lavoro è risultato un po’
lungo ma le argomentazioni erano tante e
non è stato semplice scegliere quello
che andava messo.
GRAZIE PER L’ATTENZIONE ……
….. E PER IL TEMPO .
