Tavola dei limiti notevoli

Tavola dei limiti notevoli
Fabio Durastante
December 14, 2009
Limiti per x → 0 di f : R → R:
1
lim
(1 +
lim (1 + x) x = e
(1)
= α α 6= 0
(2)
x→0
x)α − 1
x
x→0
x
lim x = 1
x→0+
1
x
lim x = 0
x→0+
ex −
lim
lim
x→0
ax −
x→0
x
1
Limiti per x → ∞ di f : R → R:
1 x
lim
1+
=e
x→±∞
x
ax
lim b = +∞ ∀a > 1, b > 0
x→+∞ x
lim ax |x|b = 0 ∀a > 1, b > 0
x→−∞
√
1
lim x x = lim x x = 1
(3)
(4)
x→+∞
=1
x
1
= log a
ex
=∞
x→∞ xb
log x
= 0 ∀b > 0
lim
x→+∞ xb
log x
lim
=0
x→+∞ ex
(5)
lim
(6)
Funzioni logaritmiche:
b
lim x log x = 0 ∀b > 0
x→0+
log(1 + x)
=1
x
loga (1 + x)
1
lim
=
x→0
x
log a
lim
x→0
Funzioni trigonometriche:
sin x
lim
=1
x→0 x
1 − cos x
1
lim
=
x→0
x2
2
1 − cos x
lim
=0
x→0
x
tan x
lim
=1
x→0 x
arcsin x
lim
=1
x→0
x
arctan x
lim
=1
x→0
x
x→+∞
(7)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
Forme indeterminate:
0
,
0
(8)
∞
, 0·∞, 1∞ ,
∞
00 ,
(±∞)0 , +∞−∞.
(9) Confronto di infiniti e infinitesimi:
Se
lim |an | = ∞
n→∞
Allora:
(10)
loga n ≤ nb ≤ cn ≤ n! ≤ nn con a, b, c > 1
(11)
(12) Se
lim |an | = 0
n→∞
(13)
Allora:
(14)
1
1
1
1
1
≥ b ≥ n ≥
≥ n con a, b, c > 1
loga n
c
n!
n
n
(15)
1