Il teorema di monotonia per le successioni
Teorema 1 Sia fan g una successione monotona crescente e superiormente limitata. Allora fan g è convergente, e il suo limite è uguale a sup fan : n 2 Ng :
(Analogamente, se fan g una successione monotona decrescente e inferiormente limitata, allora fan g è convergente, e il suo limite è uguale a inf fan : n 2 Ng).
Ricordiamo che il simbolo sup fan : n 2 Ng denota l’estremo superiore dell’insieme
dei valori an assunti dalla successione.
Dimostrazione. Consideriamo l’insieme dei valori assunti dalla successione,
fan : n 2 Ng : Poiché la successione è limitata superiormente, questo insieme è
limitato superiormente, quindi (per la proprietà dell’estremo superiore di cui
gode R) esiste il suo estremo superiore,
= sup fan : n 2 Ng ;
2 R:
Proviamo ora che
lim an = :
n!1
Occorre mostrare che per ogni " > 0 si ha
" < an <
+ " de…nitivamente.
La seconda disuguaglianza è ovvia: per ogni n è an
(e quindi an < + "),
perché è l’estremo superiore degli an ; quindi in particolare è un maggiorante
dell’insieme dei valori an . Per provare la prima disuguaglianza, consideriamo il
numero
": Ricordiamo che per de…nizione di estremo superiore, è il minimo
dei maggioranti dell’insieme fan : n 2 Ng. Perciò, essendo
" < ; certamente
" non è un maggiorante dell’insieme fan : n 2 Ng : Questo signi…ca che esiste
un n0 per cui
an0 >
":
D’altro canto la successione è monotona crescente, perciò per ogni n
an an0 : Abbiamo quindi provato che
an
an0 >
n0 risulta
"
per ogni n n0 ; ossia de…nitivamente. Quindi limn!1 an = :
Notiamo che questo teorema si basa sulla proprietà dell’estremo superiore
di R, perciò esprime una proprietà caratteristica delle successioni di numeri
reali: una successione crescente e limitata di numeri razionali potrebbe non
avere limite razionale, come mostra il prossimo esempio, e questo signi…ca che
nell’insieme Q il teorema precedente non è vero.
Esempio 2 Sia fan g la successione così de…nita:
a0 = 0
a1 = 0; 1
1
a2 = 0; 1011
a3 = 0; 10110111
a4 = 0; 1011011101111
e così via. (Al passo n si aggiunge al numero decimale ottenuto al passo
precedente una cifra zero seguita da n cifre uguali a 1).
La successione fan g è evidentemente crescente, e superiormente limitata (ad
esempio, an
1). In R; la successione converge al numero sup fan : n 2 Ng ;
che dopo la virgola presenta un allineamento decimale illimitato e non periodico
di cifre (una cifra 1, una cifra 0; due cifre 1, una cifra 0; tre cifre 1, una cifra 0; e
così via all’in…nito). Quindi il limite della successione è un numero irrazionale.
Quest’esempio mostra che nell’insieme Q il teorema di monotonia è falso.
Vedremo in seguito che il teorema di monotonia sarà utilizzato per dimostrare importanti proprietà delle funzioni continue. Questo teorema quindi
costituisce una delle motivazioni per cui è utile studiare l’analisi matematica
nell’ambiente dei numeri reali, anziché in quello dei numeri razionali.
Il teorema di monotonia si può completare con il prossimo enunciato, che
considera successioni limitate o illimitate:
Corollario 3 Sia fan g una successione monotona crescente. Allora esiste
lim an = sup fan : n 2 Ng :
n!1
Esplicitamente: se fan g è superiormente limitata, allora converge (e il suo limite
è uguale all’estremo superiore dei suoi valori, che in questo caso è un numero
reale); se invece fan g è superiormente illimitata, allora an tende a +1 (che in
questo caso è pari all’estremo superiore dei suoi valori).
Si può anche dire, sinteticamente: una successione monotona, converge o
diverge (non può essere irregolare).
Dimostrazione. Se fan g è superiormente limitata, l’enunciato è contenuto
nel teorema di monotonia. Se invece fan g è superiormente illimitata, questo
signi…ca che per ogni K > 0 esiste un n0 tale che an0 > K: D’altro canto la
successione è crescente, perciò per ogni n n0 si ha an
an0 > K: Abbiamo
quindi provato che per ogni K > 0 è an > K de…nitivamente. Questo signi…ca
che an ! +1:
2
