Don Bosco 2014/15, Classe 1A - Verifiche di Matematica
1. Rappresenta per elencazione ciascuno dei seguenti insiemi:
A = { x | x ∈ N, 3 ≤ x < 6 ∨ 12 < x ≤ 14 } =
B = { x | x ∈ N, x < 3 ∧ x > 5 } =
C = { x | x ∈ N, x = 3k , k ∈ N, k < 3 } =
2. Rappresenta mediante proprietà caratteristica ciascuno dei seguenti insiemi:
A = { 0; 5; 10; 15; 20; 25; . . . } =
B = { 1; 3; 5; 7; 9 } =
C = { 10; 100; 1000 } =
3. Dati gli insiemi A, B e C, rappresenta per elencazione gli insiemi richiesti:
A = { 1; 2; 3 }
B = { 0; 2 }
A∩B =
A−C =
B ∩C =
(B−C) ∪ (A ∩ B) =
A∪C =
B ×A =
A−B =
P(A) =
C={0}
4. Facendo riferimento agli insiemi dell’esercizio precedente, correggi le seguenti proposizioni se sono errate:
∅ ∈ P(A)
B ⊆ A∪C
{2} ⊆ A
C=∅
A∩B = ∅
{2} ⊆ P(A)
C∈B
(1; 0) ⊆ A×B
0 ∈ P(A)
B ∩C = C
(2; 0) ∈ B×A
A−B = {1; 3}
5. Evidenzia in figura gli insiemi richiesti:
A ∩ (B ∪ C)
A−B
(B−A) ∩ C
A ∩ (B ∩ C)
C −B
B
6. Per ciascuna figura descrivi l’insieme ombreggiato, facendo uso delle operazioni tra insiemi:
7. Un questionario è stato somministrato ad una classe di 25 studenti. Di essi, 16 hanno dichiarato di cavarsela bene in
matematica, e 2 di questi hanno dichiarato di cavarsela bene anche in italiano. In totale, sono 8 quelli che hanno
dichiarato di cavarsela bene in italiano. Quanti studenti hanno dichiarato di non cavarsela bene nè in matematica nè
in italiano?
8. Il questionario dell’esercizio precedente è stato somministrato anche ad un gruppo di 40 studenti. Di essi, 15 hanno
dichiarato di cavarsela bene in italiano, 19 di cavarsela bene in matematica, e 10 di non cavarsela bene in nessuna
delle due materie. Quanti studenti hanno dichiarato di cavarsela bene sia in matematica che in italiano?
9. (*) Si consideri un gruppo di 15 persone. Il baccalà piace a 10 di queste persone, mentre il cavolo non piace a 7 di
queste persone. Cosa si può dire del numero di persone a cui piace sia il baccalà che il cavolo?
1
10. Vero o falso? Se falso, correggi l’errore.
34 · 23 = 67
25 · 45 = 215
54 − 53 = 5
103 = 23 · 53
(73 · 3) : 72 = 7 · 3
5:0=0
(23 + 24 ) : 22 = 2 + 22
(3 + 2)5 = 35 + 25
58 : 58 = 1
(32 · 53 ) · (3 · 5) = 3 · 52
5
5 5
= +
3+7
3 7
23 + 53
= 23 + 5
52
4 20
9
=
2 22
3
1:
2 4
3
=
3 4
2
33 54 · 3 3 4
· 4 =
58
2
10
11. Scrivi, se esistono, quali operazioni possono essere inserite al posto di * per rendere vera l’uguaglianza.
68 ∗ 62 = 66
3
3 ∗ 10
=
5
5 ∗ 10
(4 ∗ 2)5 = 45 ∗ 25
(98 − 2) ∗ (49 − 2) = 98 ∗ 49
(33 ∗ 35 ) : 32 = 3 ∗ 33
(14 · 2) ∗ (7 · 2) = 14 ∗ 7
12. Dove possibile, semplifica le seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle operazioni o delle potenze, e indica il
nome delle proprietà utilizzate (scrivi semplicemente commutativa, distributiva, invariantiva, associativa, stessa base,
stesso esponente, o potenza di potenza).
57 · 53 : 58 · 5 =
(74 )3 : (76 )2 =
52 + 6 2 =
(47 · 27 ) : 86 =
(34 · 52 ) : 34 =
(24 + 33 )5 =
89 : 225 =
105 : 54 =
105 : 252 =
32 · 23 5 4
=
·
55
2
5 4 3 3 2 5
·
·
=
3
2
5
2 4 15 4
·
=
5
4
2 4 15 3
·
=
5
4
864 : 108 =
26 · 57 =
2
13. Completa al posto dei puntini.
81100 = 9...
3510 = 5... · ......
188 : ...... = 28
(40 · ...) : 8 = 15
185 = 2... · 3...
...2 = 24 · 32
84 = ...2
5
20
=
7
...
10 ...
6
·
=
7 ...
7
14. Risolvi le seguenti espressioni.
a) (104 · 54 · 24 ) : (252 · 42 ) + 10 · 102 =
b) [(22 )3 : (22 )2 ] + {(34 · 32 )3 : [(32 )3 ]2 } : (32 · 33 ) − 6 =
c)
h 15 2 i3 h 7 5 49 i4 49 11 i 3
2
· 5 4
·
·
:
=
14
5
25
25
3 :3 ·3
15. Tre pianeti ruotano attorno alla stella di Factor Centauri. Il primo pianeta impiega 12 settimane a compiere un giro
completo, il secondo ne impiega 32 e il terzo ne impiega 52. Oggi i pianeti sono allineati tra loro, dalla stessa parte
rispetto alla stella. Quante settimane dovranno passare perchè questo fenomeno si riverifichi?
16. Dimostra che la somma di tre numeri dispari consecutivi è un multiplo di 3.
17. Il numero 12600 è divisibile per 225? E per 196? In caso di risposta affermativa, calcolare il risultato della divisione.
18. Qual è l’ultima cifra del prodotto dei primi 100 numeri dispari?
19. (*) Mostra che il numero 108900 è un quadrato. Di che numero?
20. Risolvi le seguenti espressioni.
o h 3 3 3 −6 i
· 32 ·
·
=
3
2
2
h 3 −2 i−2 4 −3 3 5 h 3 5 4 −2 i 3 −3
b)
−
·
: −
+
−
:
·
=
4
3
4
4
3
4
i h
h
2 i
2
: (−0, 6̄) · 1, 3̄ : 0, 2 −
=
c)
0, 16̄ +
3
3
a)
nh
37 ·
1 8 i−1
d) 34 · 3−3 : 3−8 : 39 =
e) (−5)3 · (25)2 : (−5)5 : (−5)2 =
f ) (−53 ) : (−56 ) : 54 · (−5)3 =
3 3 2 5 4 −3 2 −1
h) −
: −
·
: −
=
2
3
9
3
g) 83 : (−2)−2 · 2−5 · (−2−2 ) =
3 3 6 2 10 −4 5−2
i)
· −
: −
· −1 =
4
5
3
3
j) {−[(−3)3 ]2 }3 =
k) − {[(−22 )3 ]−3 }3 =
3
21. Nel paese di Flatlandia, su 150 abitanti sono andate a votare 60 persone. a) Che percentuale di popolazione è andato
a votare? Il Sindaco Cerchio è stato eletto con il 70% di maggioranza. b) Quanti voti ha ricevuto Cerchio? c) Che
percentuale della popolazione totale di Flatlandia ha votato Cerchio?
22. (*) Nel paese di Flatlandia l’80% degli abitanti è maggiorenne, quindi ha diritto al voto. Nelle ultime elezioni,
soltanto il 70% degli aventi diritto al voto si è recato alle urne, ma il 5% di questi ha votato scheda bianca o nulla.
Fra i voti validi, 5 su 8 sono stati a favore del Sindaco Trapezio, che è stato eletto con 3990 preferenze. Quanti
abitanti ha Flatlandia?
23. Svolgi i seguenti prodotti notevoli
a) (1 − x3 )2
b) (a + b − 1)2
c) (3 − x − y)(3 + x + y)
d) (x − y)4
e) (xn+1 − x2 )2
24. Risolvi le seguenti espressioni.
a) (2x − y)(2x + y) + (2x − y)2 + 4xy =
b) −
1
· {[(x + y)2 − 2xy](x + y) − (x + y)3 } · (x2 y − xy 2 ) =
2
c) (xn − 3y n )2 − (xn − 3y n )(xn + 3y n ) + 6y n (xn − y n+1 ) =
25. Calcola il perimetro e l’area della seguente figura, in funzione di x e y.
26. Dimostra che, se consideri due qualsiasi numeri interi e sommi il quadrato della loro somma con il quadrato della loro
differenza, ottieni il doppio della somma dei loro quadrati.
27. (*) Determina il risultato dell’operazione 8572392 − 857243 · 857235 evitando calcoli impegnativi.
28. Risolvi le seguenti equazioni.
a) (2x + 1)(x − 3) − 2(x − 1)2 = 2x + 1
b)
x+1 x−4 2
2(x − 1)
4
−
+ =
− x
3
5
3
5
15
5
h
i
3 − 1 (x + 1) + 11 = 0
2
3
6
3
x−
c)
29. Esegui la seguente divisione tra polinomi, indicando il quoziente e il resto:
(7x − x3 + 2 + x2 ) : (x2 + 2)
30. Risolvi i seguenti problemi.
(a) Luca ha 53 anni e sua figlia ne ha 21. Tra quanti anni l’età di Luca sarà i
5
3
di quella di sua figlia?
(b) Sia C un punto appartenente al segmento di estremi A e B, dove AB = 14. Si costruiscano il triangolo equilatero
di base AC e il quadrato di lato CB. Determinare la misura di AC in modo che il triangolo e il quadrato abbiano
lo stesso perimetro.
(c) Se Arianna si è iscritta ad una palestra la cui frequentazione costa 20 euro al mese, più una tassa di iscrizione di
36 euro, e Carolina ha preferito un’altra palestra, per iscriversi alla quale sono necessari 50 euro ma la cui tariffa
mensile è di 18 euro, stabilisci, tramite un’equazione, dopo quanti mesi si troveranno ad aver speso la medesima
cifra.
(d) Alice, Barbara, Carlo e Dario partecipano ad un torneo di morra cinese. Alla fine del torneo, Alice ha totalizzato
un punteggio pari alla somma dei punti di Barbara e Dario, Barbara ha totalizzato un quinto dei punti di Dario
e Carlo ha 26 punti più di Barbara. Sapendo che la somma totale dei punti dei quattro giocatori è pari a 91,
calcola il punteggio di ciascuno di essi e decreta il vincitore.
4
(e) Trovare tre numeri, sapendo che il primo è i 2/3 del secondo, il secondo supera di un’unità la metà del terzo, e la
media dei tre numeri è 36.
(f) Nicola, che deve allenarsi per una gara ciclistica, decide di effettuare un percorso in tre tappe: nella prima
percorre i 25 del numero complessivo di kilometri, nella seconda i 85 del tratto rimanente, nella terza gli ultimi 27
km. Quanto è lungo il percorso complessivo?
(g) Pierino ha calcolato che con la sua paghetta settimanale potrebbe comprare 8 crostate (e in questo caso la
spenderebbe tutta), o in alternativa 13 gelati (e in questo caso avanzerebbe un euro). Trovare l’ammontare in
euro della paghetta di Pierino, sapendo che un gelato costa 2 euro in meno rispetto ad una crostata.
31. In una divisione tra polinomi il divisore è x2 + 1, il quoziente è 3x2 − x − 2 e il resto è x + 3. Calcola il dividendo.
32. (*) La somma di 100 numeri consecutivi è 16 250. Qual è il primo numero della somma?
33. Enuncia il Teorema di Ruffini, e dici per quale valore di a la seguente divisione è esatta.
(−x3 + ax2 − 4) : (x + 2)
34. Scomponi i seguenti polinomi.
a) 125a6 −a3
b) x2 +1−4y+4y 2 −4xy+2x
f ) b7 − b5 − b3 + b
g) x4 + 3x2 − 4
c) y 2 −y−12
d)
1 3 3 2
y − y +6y−8
8
2
h) x2n+3 − 6xn+2 + 9x
e) x3 −5x2 +8x−4
i) x2 + 2x + 1 − (x + 1)4
35. Scomponi i seguenti polinomi.
a) 16x3 +48x2 +36x
f ) a2 − 10a + 16
b) 100a3 −16a
g) x4 + 3x2 − 4
c) ay 3 −y 3 −a+1
d) x2 +6xy−4x+9y 2 −12y+4
h) x4 + 7x3 + 18x2 + 20x + 8
e) x6 +3x4 +3x2 +1
i) 9x2n+1 − x4n+1
j) a4 − 2a2 + b + 1 − a2 b
36. (*) Dimostra che il numero n3 + 3n2 + 2n, qualunque sia n ∈ N (n 6= 0), è un multiplo di 3.
37. (*) Calcola il risultato di 4444452 − 4444442 evitando calcoli impegnativi e dimostra che la differenza dei quadrati di
due numeri consecutivi è un numero dispari.
38. Risolvi le seguenti espressioni.
a)
1
2
1
−
+
=
x2 y xy 2 2xy
b)
x3
2x2 − 2y 2
x2 + xy
y−x
· 2
·
=
2
2
3
+ 3x y + 3xy + y x − 2xy + y 2
x
c)
x + 1 n+1
39. Risolvi le seguenti equazioni fratte.
a)
x
3
−
=0
(x + 1)2
x+1
b)
3(x + 5) 2x + 5
2x − 4
−
=
x2 − 9
x+3
3−x
40. Discuti le seguenti equazioni letterali al variare del parametro a ∈ R.
a) 2(x − a) = 5a + ax − 14
b)
2x
3
2x
+
=
−1 1−a
a+1
a2
41. Teorema: 1=2.
Dimostrazione. Siano a e b due numeri qualsiasi, uguali tra loro e diversi da zero:
a=b
moltiplico entrambi i membri per a:
a2 = ab
sottraggo b2 a entrambi i membri:
a2 − b2 = ab − b2
scompongo entrambi i membri:
(a + b)(a − b) = b(a − b)
divido entrambi i membri per (a − b):
a+b=b
ma, poichè per ipotesi a = b, segue che:
2b = b
divido entrambi i membri per b:
2 = 1.
Dove sta l’errore nella dimostrazione di questo teorema, evidentemente sbagliato?
42. (*) Sapendo che
x−y
5
x
= , ricava il valore di .
x+y
2
y
5
x
·
xn−1
=
(x + 1)n
GEOMETRIA
43. Dai la definizione di angolo, di angoli consecutivi e di angoli adiacenti.
44. E’ dato il triangolo ABC. Prolunga AC, dalla parte di C, di un segmento CE ∼
= CB; prolunga poi CB, dalla parte di
C, di un segmento CF ∼
= CA. Dimostra che i segmenti FE e AB sono congruenti.
45. Dimostra che le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.
46. E’ dato il triangolo isoscele ABC, di base BC. Prolunga la base dalla parte di B di un segmento BD, e dalla parte di
C di un segmento CE, tali che BD ∼
= CE. Siano M e N rispettivamente i punti medi dei segmenti AD e AE. Dimostra
che i segmenti CM e BN sono congruenti.
47. (*) Disegna due triangoli non congruenti aventi due angoli e un lato congruenti (spiega come li hai raffigurati).
48. Scrivi la definizione di parallelogramma, ed enuncia le sue caratterizzazioni.
49. Vero, Falso o Non lo so?
(a) Un quadrilatero con i lati congruenti è un rombo.
(b) Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è un rombo.
(c) Un quadrilatero con i lati congruenti e le diagonali congruenti è un quadrato.
(d) Un quadrilatero con due lati paralleli e due angoli retti è un rettangolo.
(e) Un quadrilatero con due lati consecutivi congruenti e le diagonali perpendicolari è un rombo.
(f) Un parallelogramma con due lati consecutivi congruenti è un rombo.
(g) Un rombo con le diagonali congruenti è un quadrato.
(h) Un rettangolo in cui le diagonali sono bisettrici degli angoli è un quadrato.
(i) Un quadrato è un parallelogramma.
(j) Un rombo è un rettangolo.
50. Dimostra che, in un parallelogramma, gli angoli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari.
51. Nel parallelogramma ABCD, sui lati opposti AD e BC, scegli due segmenti congruenti AF e CE. Dimostra che BEDF
è un parallelogramma.
52. Due parallelogrammi ABCD e ABEF hanno il lato AB in comune (e si trovano da parte opposta rispetto al lato in
comune). Dimostra che il quadrilatero DCEF è anch’esso un parallelogramma.
53. Per il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogramma si tracciano due rette, che vanno a intersecare una
coppia di lati opposti. Dimostra che i quattro punti in cui tali rette incontrano i lati del parallelogramma iniziale
sono i vertici di un altro parallelogramma.
54. Dati due segmenti congruenti che si intersecano nel loro punto medio, traccia per i loro estremi le perpendicolari ai
segmenti stessi. Dimostra che i punti d’intersezione di tali rette sono i vertici di un rombo.
6
