lucidi-5 - Dipartimento di Matematica

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Calcolo differenziale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Derivabilità e derivata in un punto
In questo capitolo, A è un intervallo oppure l’unione di intervalli
disgiunti. Denotiamo con Å l’insieme dei punti interni di A, cioè
i punti diversi dagli estremi.
Sia f : A → R e sia x0 ∈ Å. La funzione
f (x) − f (x0 )
x − x0
si chiama rapporto incrementale di f in x0 .
x ∈ A \ {x0 } 7→
Interpretazione “pratica”, geometrica e cinematica . . .
Diciamo che f è derivabile in x0 se il rapporto incrementale di f in x0
converge per x → x0 . In tal caso, il numero
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
si chiama derivata di f in x0 e si denota con f 0 (x0 ) oppure Df (x0 ).
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Derivabilità a sinistra e a destra
Diciamo che f è derivabile a sinistra in x0 se il rapporto incrementale
di f in x0 converge per x → x0− . In tal caso, il numero
lim
x→x0−
f (x) − f (x0 )
x − x0
si chiama derivata sinistra di f in x0 e si denota con f−0 (x0 ) oppure
D− f (x0 ).
Diciamo che f è derivabile a destra in x0 se il rapporto incrementale
di f in x0 converge per x → x0+ . In tal caso, il numero
lim+
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
si chiama derivata destra di f in x0 e si denota con f+0 (x0 ) oppure
D+ f (x0 ).
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Osservazioni
Se x0 è un estremo del dominio di f possiamo considerare solo la
derivata sinistra o destra in x0 .
Se x0 è interno al dominio, la derivata di f in x0 esiste se e solo se
esistono le derivate sinistra e destra in x0 e tali derivate coincidono.
In tal caso:
f 0 (x0 ) = f−0 (x0 ) = f+0 (x0 ).
Esempi
• Per f (x) = x 2 , si ha f 0 (1) = 2.
p
• Per f (x) = (x − 1)3 , si ha f+0 (1) = 0. E f−0 (1)?
• Per f (x) = |x|, si ha f−0 (0) = −1 e f+0 (0) = 1.

1

x sin
per x 6= 0 non esiste f 0 (0) né f 0 (0).
• Per f (x) =
x
−
+
 0
per x = 0
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Derivabilità e continuità
Proposizione
Se f è derivabile (a sinistra, a destra) in x0 , allora è continua
(a sinistra, a destra) in x0 .
Verifica . . .
Corollario
Se f non è continua in x0 , allora non è derivabile in x0 .
Esempi
Le funzioni parte intera e mantissa non sono derivabili in x ∈ Z.
Osservazione
La continuità in un punto è condizione necessaria ma non sufficiente
per la derivabilità.
Vedi il terzo e il quarto esempio della pagina precedente . . .
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Retta tangente e significato geometrico della derivata
Sia f : A → R, sia x0 ∈ Å e supponiamo che f sia derivabile in x0 .
Chiamiamo retta tangente in x0 al grafico di f la retta di equazione
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Motivazione?
Esempio
Scrivere l’equazione della retta tangente in x0 = 1 al grafico di
f (x) = x 2 .
Questa definizione fornisce il significato geometrico della derivata:
se f è derivabile in x0 , f 0 (x0 ) è il coefficiente angolare della retta
tangente nel punto di coordinate (x0 , f (x0 )) al grafico di f .
Nota: i punti in cui la retta tangente al grafico di f è orizzontale
(equivalentemente, la derivata di f è uguale a 0) sono chiamati
punti stazionari.
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Derivabilità in un insieme e funzione derivata
Sia A ⊆ R.
La funzione f si dice derivabile in A se è (definita e) derivabile in x ,
per ogni x ∈ A.
In particolare, se A è un intervallo dire che f è derivabile in A vuole
dire che f è
– derivabile in tutti i punti dell’intervallo aperto,
– derivabile a destra nel primo estremo dell’intervallo (se incluso),
– derivabile a sinistra nel secondo estremo dell’intervallo (se incluso).
Supponiamo f derivabile in A.
La funzione x ∈ A 7→ f 0 (x) ∈ R si chiama funzione derivata (prima)
di f e si denota con f 0 oppure Df .
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Esempi (Catalogo - I)
• Ogni funzione costante f è derivabile in R con derivata f 0 (x) ≡ 0.
• La funzione identica f (x) = x è derivabile in R con derivata
f 0 (x) ≡ 1.
• La funzione valore assoluto f (x) = |x| è derivabile in R∗ con
derivata f 0 (x) = sign(x) (non è derivabile in x = 0, cf. pag. 4).
Verifica . . .
Osservazione
In generale, dom(f 0 ) ⊆ dom(f ); il terzo esempio mostra che talvolta
l’inclusione è stretta.
Chiamiamo punti singolari gli elementi di dom(f ) \ dom(f 0 )
(cioè i punti del dominio di f nei quali f non è derivabile).
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Classificazione dei punti singolari
Osservazioni preliminari
Se f è derivabile a sinistra [a destra] in x0 , la derivata sinistra [destra]
in x0 è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di
coordinate (x0 , f (x0 )) alla porzione del grafico di f posta a sinistra
[destra] della retta di equazione x = x0 .
Se il rapporto incrementale di f in x0 diverge per x → x0 (da sinistra,
da destra), f non è derivabile in x0 .
Tuttavia, dato che il limite del rapporto incrementale esiste, diciamo
che f ha derivata (sinistra, destra) infinita in x0 . Interpretazione
geometrica?
Esempi
f (x) =
√
n
x
n pari:
n dispari:
p
f (x) = n |x|
f−0 (0) non ha senso, f+0 (0) = +∞
f 0 (0) = +∞
f−0 (0) = −∞, f+0 (0) = +∞
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Supponiamo f continua in x0 . L’interpretazione geometrica della
derivata (finita o infinita) giustifica la seguente terminologia.
Se x0 è un estremo di dom(f ), diciamo che x0 è un
• punto a tangente verticale se la derivata (sinistra o destra)
√
di f in x0 è infinita. Esempio: f (x) = x , x0 = 0
Se x0 è interno a dom(f ), diciamo che x0 è un
• flesso a tangente verticale se la derivata di f in x0 è infinita;
√
Esempio: f (x) = 3 x , x0 = 0
• punto cuspidale se le derivate sinistra e destra di f in x0 sono
diverse tra loro epentrambe infinite;
Esempio: f (x) =
|x| , x0 = 0
• punto angoloso se le derivate sinistra e destra di f in x0 sono
diverse tra loro ealmeno una di esse è finita.
Esempio: f (x) =
−x
√
x
se x ≤ 0
, x0 = 0
se x > 0
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Osservazioni
Non è detto che un punto singolare sia a tangente verticale, cuspidale
o angoloso. Esempio?
Per classificare un punto singolare occorre calcolare f+0 (x0 ) e f−0 (x0 ),
cioè calcolare i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale di f
in x0 . In alternativa, si può ricorrere al seguente risultato:
Sia f continua in [x0 , x0 + δ) e derivabile in (x0 , x0 + δ). Allora:
f+0 (x0 ) = lim+ f 0 (x),
x→x0
a patto che il limite a secondo membro esista, finito o infinito.
Analogamente per la derivata sinistra, supponendo che f sia continua
in (x0 − δ, x0 ] e derivabile in (x0 − δ, x0 ).
Risultato non banale: non si presuppone alcuna ipotesi sulla continuità delle
derivate . . .
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Come ottenere funzioni derivabili da funzioni derivabili
Teorema (Operazioni con funzioni derivabili)
Se f e g sono derivabili in x e λ ∈ R, anche le funzioni f +g , f −g ,
f · g , λ f sono derivabili in x e si ha
(f +g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
regola della somma
(f −g )0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
regola della differenza
(f · g )0 (x) = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
regola del prodotto
0
0
(λ f ) (x) = λ f (x)
regola del multiplo
1
f
Se g (x) 6= 0, anche le funzioni
e
sono derivabili in x e si ha
g
g
1 0
g 0 (x)
(x) = −
regola del reciproco
g
g (x)2
f 0
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
(x) =
regola del rapporto
g
g (x)2
Verifica delle regole di somma, prodotto e reciproco . . .
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Corollario
La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare,
il reciproco, il rapporto di funzioni derivabili sono funzioni derivabili
nei rispettivi domini.
Esempi (Catalogo - II)
Le seguenti funzioni sono derivabili nei rispettivi domini:
FUNZIONE
xn
f (x) =
(n ∈ N∗ , n ≥ 2)
f (x) =
1
x
MOTIVAZIONE
DERIVATA
prodotto
di funzioni derivabili
f 0 (x) = n x n−1
reciproco
di funzione derivabile
f 0 (x) = −
1
x2
funzione polinomiale
combinazione lineare
di funzioni derivabili
... ... ...
funzione razionale
rapporto
di funzioni derivabili
... ... ...
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Esercizio
Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
f (x) = 3 x 4 −
5
x
f (x) = 3x 5 + 2x
f (x) =
3x 2 − 2x + 1
x3 − x
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Teorema (Composizione di funzioni derivabili)
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un intorno di x .
Se g è derivabile in x e f è derivabile in g (x), allora la funzione
composta è derivabile in x e si ha
(f ◦g )0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x).
Esempio
Calcolare la derivata di f (x) = (3x 2 − 4x + 1)5 .
Osservazione
La regola di derivazione si generalizza alla composizione di tre o più
funzioni. Per esempio:
(f ◦g ◦h)0 (x) = f 0 (g (h(x))) · g 0 (h(x)) · h0 (x).
Corollario
La funzione composta di due o più funzioni derivabili nei rispettivi
domini è una funzione derivabile nel proprio dominio.
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Esempi (Catalogo - III)
Le seguenti funzioni sono derivabili nei rispettivi domini:
FUNZIONE
MOTIVAZIONE
DERIVATA
sin(x)
verifichiamo . . .
cos(x)
cos(x)
composta
di funzioni derivabili
− sin(x)
tan(x)
rapporto
di funzioni derivabili
ex
verifichiamo . . .
ex
ax
composta
di funzioni derivabili
ax ln(a)
1
= 1 + tan(x)2
cos(x)2
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Teorema (Derivabilità della funzione inversa)
Sia f la funzione inversa di una funzione g strettamente monotona
e continua in un intervallo.
Sia x ∈ dom(f ) e supponiamo che
• g sia derivabile in f (x),
• g 0 (f (x)) 6= 0.
Allora: f è derivabile in x con f 0 (x) =
1
g 0 (f (x))
.
Interpretazione geometrica?
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Esempi (Catalogo - IV)
Le seguenti funzioni sono derivabili nei rispettivi domini, a eccezione
dei punti indicati:
FUNZIONE
√
n
MOTIVAZIONE
x
inversa di funz. deriv.
ln(x)
inversa di funz. deriv.
loga (x)
multiplo di funz. deriv.
x α (α ∈ R) composta di funz. deriv.
arcsin(x)
inversa di funz. deriv.
arccos(x)
inversa di funz. deriv.
arctan(x)
inversa di funz. deriv.
DERIVATA
√
n
1
n x n−1
1
x
1
x ln(a)
α x α−1
1
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
√
PUNTI SINGOLARI
x =0
(x = 0)
x = ±1
x = ±1
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Osservazioni
• Per α = n ∈ N, α = −1 e α = 1/n (n ∈ N∗ ), la formula
(x α )0 = α x α−1 coincide con quelle già trovate.
• La funzione g (x) = ln(|x|), prolungamento pari della funzione
logaritmo a R∗ , è derivabile in R∗ con g 0 (x) = 1/x .
• Si è già visto che la funzione radice n -sima ha in x = 0 un punto
o un flesso a tangente verticale, a seconda che n sia pari o dispari.
Le funzioni arcoseno e arcocoseno hanno in x = −1 e x = 1 due
punti a tangente verticale.
Verificare utilizzando l’osservazione di pagina 11. . .
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Esempi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni applicando le regole di
derivazione. Individuare e classificare i punti singolari.
f (x) =
2
− sin(x)
x
f (x) =
cos(x)
ex
f (x) = e 1/x
f (x) = cos(x 4 − 3e x )
f (x) = x|x|
p
5
f (x) = 3x 2 − 4x + 1
p
f (x) = 4 arctan(ln(x))
f (x) = |x| e x
f (x) = arcsin(4x 2 )
p
f (x) = |x|(x + 1)3
f (x) = (x 2 − 1) |x|
√
f (x) = (x − 1) 3 x 2 − 3x + 2
f (x) = (x 2 + 2e 3x − tan(x))4
f (x) = |3x 2 − 4x + 1|5
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Derivata seconda e derivate successive
Sia f una funzione derivabile in un insieme A.
La derivata f 0 è una funzione definita in A, che può essere derivabile
o meno nei punti di A.
Se f 0 è derivabile in x0 ∈ A, si dice che f è derivabile due volte in x0 .
La derivata di f 0 in x0 si denota con f 00 (x0 ) (oppure con D 2 f (x0 ))
e si chiama derivata seconda di f in x0 .
Esempi
La funzione f (x) = x 2 è derivabile due volte in R con f 00 (x) = 2 per
ogni x .
La funzione f (x) = x|x| è derivabile in R (con f 0 (x) = 2|x|); non è
derivabile due volte in x0 = 0.
Denotiamo con f 00 la funzione che a ogni x in cui f è derivabile due
volte associa la derivata seconda di f in x , ossia la derivata di f 0 in
x ; essa si chiama funzione derivata seconda di f .
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Derivata seconda di alcune funzioni elementari
funzione f
derivata f 00
f (x) = x
f 00 (x) = 0
f (x) =
xα
f (x) = 1/x
f (x) =
ex
f 00 (x)
dom(f 00 )
R
= α(α −
f 00 (x)
= 2/x
f 00 (x)
= ex
1)x α−2
3
(0, +∞)
salvo estensioni
R∗
R
f (x) = ln(|x|)
f 00 (x) = −1/x 2
R∗
f (x) = sin(x)
f 00 (x) = − sin(x)
R
f (x) = cos(x)
f 00 (x) = − cos(x)
R
f (x) = tan(x)
f 00 (x) = 2 tan(x) (1 + tan(x)2 )
R
f (x) = arctan(x)
f 00 (x) =
−2x
(1 + x 2 )2
R
Verificare per esercizio . . .
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Iterando il ragionamento, possiamo introdurre la nozione di funzione
derivabile in un punto tre volte, quattro volte, e cosı̀ via, e definire la
derivata terza, quarta, e cosı̀ via.
La derivata n -esima si denota con f (n) (oppure con D n f ).
Diciamo che una funzione f è di classe C k in un intervallo A se è
derivabile k volte in A con derivata f (k) continua in A.
Diciamo che f è di classe C ∞ in un intervallo A se per ogni n ∈ N
esiste la derivata n -esima (ed è continua) in A.
Per uniformità di notazione, poniamo f (0) := f e diciamo che f è
di classe C 0 in A se è continua in A.
Esempi
Le funzioni potenza a esponente naturale, esponenziale, logaritmo,
seno, coseno, tangente, arcotangente sono di classe C ∞ nei rispettivi
domini.
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Alcune applicazioni del calcolo differenziale
• Studio della monotonia e della convessità di una funzione
• Ricerca di estremi locali e globali di una funzione
• Risoluzione di alcune forme di indecisione
• Studio di funzione
• Risoluzione qualitativa di equazioni
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Premessa: legame tra variazione media e variazione istantanea
Teorema del valor medio (o di Lagrange)
Sia A un intervallo.
Sia f : A → R, continua in A e derivabile in Å.
Allora: per ogni x0 , x ∈ A esiste x̄ compreso tra x0 e x tale che
f (x) − f (x0 )
x − x0
coefficiente angolare della
retta secante
variazione media
=
f 0 (x̄).
coefficiente angolare della
retta tangente
variazione istantanea
Interpretazione cinematica del teorema del valor medio?
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Teorema (Criterio di monotonia)
Sia A un intervallo e sia f : A → R.
Supponiamo f continua in A e derivabile in Å.
Se f 0 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ Å, f è crescente in A.
Se f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ Å, f è strettamente crescente in A.
Se f 0 (x) ≤ 0 per ogni x ∈ Å, f è decrescente in A.
Se f 0 (x) < 0 per ogni x ∈ Å, f è strettamente decrescente in A.
Dimostrazione . . .
Esempio
Determinare gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni:
• potenza e radice
• esponenziale e logaritmo
• trigonometriche e loro inverse
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Proposizione (Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla)
Sia A un intervallo. Sia f continua in A e derivabile in Å.
Allora: f 0 ≡ 0 in Å se e solo se f è costante in A.
Dimostrazione: immediata!
Osservazione
Se A è l’unione di intervalli disgiunti e f è derivabile nei punti interni
di A, con derivata identicamente nulla, allora f è costante a tratti in
A.
Esercizio
Verificare che la funzione
1
f (x) := arctan(x) + arctan
x
è costante a tratti in R∗ e determinare i valori che assume negli
intervalli (−∞, 0) e (0, +∞).
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Siano A un intervallo, f : A → R, x0 ∈ A.
x0 si dice punto di massimo locale (o relativo) per f in A se esiste
un intorno I di x0 tale che
f (x) ≤ f (x0 )
per ogni x ∈ A ∩ I ;
(1)
x0 si dice punto di minimo locale (o relativo) per f in A se esiste
un intorno I di x0 tale che
f (x) ≥ f (x0 )
per ogni x ∈ A ∩ I .
(2)
x0 si dice punto di estremo locale se è punto di massimo locale oppure
di minimo locale.
x0 si dice punto di estremo locale proprio se in (1) oppure (2) vale la
disuguaglianza stretta (tranne che per x = x0 ).
Osservazione
Un punto di massimo/minimo globale è anche di massimo/minimo
locale; in generale il viceversa non vale.
Esempio: f (x) = (x 2 − 1)2 , x ∈ R.
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Teorema di Fermat
Sia A un intervallo e sia f : A → R.
Sia x0 ∈ Å un punto di estremo locale per f in A.
Se f è derivabile in x0 , allora si ha f 0 (x0 ) = 0.
Dimostrazione . . .
Interpretazione geometrica?
Corollario
Condizione necessaria affinché un punto interno al dominio di f sia
di estremo locale è che il punto sia singolare oppure stazionario per f .
Osservazione
La condizione non è sufficiente. Esempi?
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Test della derivata prima
Sia f : A → R una funzione continua e sia x0 ∈ Å candidato punto di
estremo locale. Supponiamo f derivabile vicino a x0 .
Se, per x vicino a x0 , f 0 (x) ha segni discordi a sinistra e a destra di
x0 , allora x0 è un punto di estremo locale. Precisamente:
segno di f 0
segno di f 0
classificazione di x0
vicino a x0 , a sinistra vicino a x0 , a destra
f 0 (x) > 0
f 0 (x) < 0
punto di massimo locale
f 0 (x) < 0
f 0 (x) > 0
punto di minimo locale
Se, per x vicino a x0 , f 0 (x) ha lo stesso segno a sinistra e a destra di
x0 , allora x0 non è un punto di estremo locale.
Dimostrazione: immediata!
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Esempio
Determinare e classificare i punti di estremo locale delle seguenti
funzioni:
• valore assoluto
• potenza e radice
• esponenziale e logaritmo
• trigonometriche e loro inverse
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Convessità (per funzioni derivabili)
Sia A un intervallo e sia f : A → R, continua in A e derivabile in Å.
f è convessa in A se
f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) per ogni x0 ∈ Å, x ∈ A
f è strettamente convessa in A se
f (x) > f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) per ogni x0 ∈ Å, x ∈ A \ {x0 }
Interpretazione geometrica?
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f è concava in A se
f (x) ≤ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) per ogni x0 ∈ Å, x ∈ A
f è strettamente concava in A se
f (x) < f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) per ogni x0 ∈ Å, x ∈ A \ {x0 }
Interpretazione geometrica?
33 / 42
Supponiamo f derivabile in x0 .
Si dice che x0 è un punto di flesso se f cambia concavità in x0 , ossia
se esistono un intorno sinistro di x0 in cui f è convessa e un intorno
destro di x0 in cui f è concava, o viceversa.
Osservazione
In base alla definizione, un punto di flesso è un punto in cui la
tangente al grafico di f attraversa il grafico.
Ciò giustifica il termine “flesso a tangente verticale” introdotto nella
classificazione dei punti singolari.
Osservazione
Un punto stazionario di massimo o di minimo locale non è mai punto
di flesso!
Perché?
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Teorema (Criterio di convessità)
Sia A un intervallo e sia f : A → R di classe C 1 in A e derivabile
due volte in Å.
Se
Se
Se
Se
f 00 (x) ≥ 0
f 00 (x) > 0
f 00 (x) ≤ 0
f 00 (x) < 0
per ogni
per ogni
per ogni
per ogni
x ∈ Å,
x ∈ Å,
x ∈ Å,
x ∈ Å,
f
f
f
f
è convessa in A.
è strettamente convessa in A.
è concava in A.
è strettamente concava in A.
Dimostrazione . . .
Interpretazione geometrica della derivata seconda . . .
Osservazione
Non è detto che in un punto di flesso la derivata seconda esista.
Esempio: f (x) = x|x|, x0 = 0.
Tuttavia, se esiste, la derivata seconda è uguale a 0.
Il viceversa non è vero. Esempio?
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Esercizio
Utilizzare il criterio di convessità per verificare le seguenti affermazioni
relative alla convessità e i punti di flesso di alcune funzioni elementari:
funzione
descrizione
punti di flesso
f (x) = x
convessa e concava in R
f (x) = 1/x
strettamente concava in (−∞, 0)
strettamente convessa in (0, +∞)
f (x) = x n
n dispari
strettamente concava in (−∞, 0]
strettamente convessa in [0, +∞)
f (x) = x n
n pari
√
f (x) = n x
n dispari
√
f (x) = n x
n pari
strettamente convessa in R
strettamente convessa in (−∞, 0]
strettamente concava in [0, +∞)
0
0
strettamente concava in [0, +∞)
(segue)
36 / 42
funzione
descrizione
punti di flesso
f (x) = ax (a 6= 1) strettamente convessa in R
f (x) = loga (x)
a>1
0<a<1
strettamente concava in (0, +∞)
strettamente convessa in (0, +∞)
f (x) = sin(x)
strettamente concava in [0, π]
strettamente convessa in [π, 2π]
f (x) = cos(x)
strettamente concava in [0, π/2]
strettamente convessa in [π/2, 3π/2]
0, π, 2π
π 3π
,
2 2
strettamente concava in [3π/2, 2π]
f (x) = tan(x)
strettamente concava in (−π/2, 0]
strettamente convessa in [0, π/2)
0
(segue)
37 / 42
funzione
descrizione
punti di flesso
f (x) = arcsin(x)
strettamente concava in [−1, 0]
strettamente convessa in [0, 1]
0
f (x) = arccos(x)
strettamente convessa in [−1, 0]
strettamente concava in [0, 1]
0
f (x) = arctan(x)
strettamente convessa in (−∞, 0]
strettamente concava in [0, +∞)
0
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Teorema (Regola di de l’Hôpital)
Siano f e g due funzioni e sia x0 punto di accumulazione per il
f
dominio di . Supponiamo che:
g
(a) f e g siano entrambe infinitesime oppure entrambe infinite in x0 ;
(b) f e g siano derivabili vicino a x0 ;
(c) esista il limite
lim
x→x0
Allora:
anche il rapporto
f 0 (x)
= ` ∈ R.
g 0 (x)
f (x)
ammette limite in x0 e si ha
g (x)
f (x)
lim
= `.
x→x0 g (x)
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Esempi
Calcolare lim
x→1
ln(x)
,
1 − x2
lim
x→0
sin(x) − x
x5
lim
x→0
sin(x)
???
x
Ruolo delle ipotesi
f
Se (a) non è soddisfatta, non è detto che il limite di
sia uguale al
g
f0
limite di 0 .
g
x
Esempio: lim+
x→1 ln(x)
Se (c) non è soddisfatta, nulla può dirsi sul limite di
f
, che può
g
esistere o non esistere.
x − sin(x)
Esempio: lim
x→+∞ x + sin(x)
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Esempi (limiti “notevoli”)
(a > 1)
con la regola di de l’Hôpital
generalizzazione, con
manipolazioni algebriche
ax
= +∞
x→+∞ x
ax
= +∞
x→+∞ x α
loga (x)
=0
x→+∞
x
loga (x)α
= 0 (α, β > 0)
x→+∞
xβ
lim
lim
lim
(α > 0)
lim
Queste uguaglianze possono essere rilette come segue:
• la funzione esponenziale in base a > 1 è un infinito di ordine
superiore rispetto alla funzione potenza con esponente positivo
qualsiasi;
• qualsiasi potenza con esponente positivo della funzione logaritmo
è un infinito di ordine inferiore rispetto alla funzione potenza con
esponente positivo qualsiasi.
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Qualche studio di funzione
Studiare le seguenti funzioni, tracciandone un grafico approssimativo:
1
2
φ(x) = √ e −x /2
2π
N(t) = a +
b
(a ∈ R, b, k > 0)
1 + e −kt
funzione gaussiana
funzione logistica
sinh(x) =
e x − e −x
2
seno iperbolico
cosh(x) =
e x + e −x
2
coseno iperbolico
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