EQUAZIONI LINEARI IN DUEINCOGNITE

EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE
Un'equazione lineare in due incognite si presenta nella seguente forma:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
dove a, b e c sono dei numeri reali.
Come già sappiamo, risolvere un'equazione vuol dire determinare l'insieme S delle soluzioni.
Esaminiamo i seguenti casi particolari:
 per 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, 𝑐 ≠ 0 si ha: 0 ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 = 𝑐; in questo caso l'equazione è impossibile,
cioè 𝑆 = ∅;
 per 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 si ha: 0 ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 = 0, in questo caso l'equazione è indeterminata,
cioè 𝑆 = 𝓡.
Consideriamo quindi il caso in cui 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 ad esempio: 3𝑥 + 𝑦 = 7.
Se a una delle incognite, ad esempio la x, sostituiamo un valore numerico, ad esempio 5, otteniamo:
3∙5+𝑦 = 7
15 + 𝑦 = 7
𝑦 = 7 − 15
𝑦 = −8
pertanto la coppia 𝑥 = 5 e 𝑦 = −8, che si scrive (5; −8) è una soluzione dell'equazione data.
Proviamo a sostituire alla x un altro valore, ad esempio −𝟐, otteniamo:
3 ∙ −2 + 𝑦 = 7
−6 + 𝑦 = 7
𝑦 =7+6
𝑦 = 13
quindi la coppia (−2; 13) è un'altra soluzione dell'equazione.
Potremmo continuare all'infinito a dare valori alla x e determinare i corrispondenti valori
della y ottenendo così infinite soluzioni (cioè coppie di numeri che verificano l'uguaglianza)
dell'equazione 3𝑥 + 𝑦 = 7.
Possiamo dare quindi affermare che:
L'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in due incognite è un insieme infinito di coppie
ordinate di numeri.
Osservazione 1: l'equazione 3𝑥 + 𝑦 = 7 ammette infinite soluzioni ma non è un'identità: infatti
l'uguaglianza non è verificata per tutte le coppie di numeri, ma solo per le coppie per le quali accade
che il triplo del primo aggiunto al secondo, dà come risultato 7, coppie che sono comunque infinite.
Osservazione 2: ad ogni coppia ordinata corrisponde un punto del piano cartesiano; quindi
l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in due incognite può essere rappresentato nel piano
cartesiano. Come abbiamo già visto, ogni equazione lineare in due incognite individua una retta;
questo significa che i punti della retta rappresentano le infinite soluzioni dell'equazione. Per
rappresentare graficamente l'equazione 3𝑥 + 𝑦 = 7 compiliamo una tabella:
x
0
3
𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟕
7
-2
y
7
O
-2
3
x
SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
Consideriamo ora due equazioni lineari nelle stesse incognite (x e y), ad esempio:
3𝑥 + 𝑦 = 6
e
4𝑥 − 𝑦 = 8
Come abbiamo visto, ciascuna delle due equazioni ammette infinite soluzioni; ma, esistono
soluzioni comuni alle due equazioni? Cioè, fra le infinite coppie di valori che verificano
ciascuna equazione, ne esiste almeno una che le verifichi entrambe?
Risolvere questo problema significa determinare, se esistono, le coppie di valori che appartengono
sia all’insieme 𝑆1 delle soluzioni della 1𝑎 equazione, sia all’insieme 𝑆2 delle soluzioni della 2𝑎
equazione, che equivale a determinare gli elementi dell’insieme 𝑆1 ∩ 𝑆2 . Per fare questo si deve
risolvere un sistema di equazioni che si indica scrivendo le equazioni, una sotto l’altra, racchiuse
da una parentesi graffa.
Ad esempio il problema considerato precedentemente si traduce nel sistema
3𝑥 + 𝑦 = 6
4𝑥 − 𝑦 = 8
Pertanto possiamo dire che:
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni di cui si cerca la soluzione comune.
Risolvere un sistema vuol dire determinare le soluzioni comuni a tutte le equazioni del sistema: tali
soluzioni (comuni) sono dette soluzioni del sistema.
In base al numero di soluzioni un sistema si dice:
 determinato, se ammette un numero finito di soluzioni
 indeterminato, se ammette un numero infinito di soluzioni
 impossibile, se non ammette alcuna soluzione
Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione
Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.
Quindi un sistema può essere di primo grado solo se entrambi le equazioni sono di primo grado. Le
equazioni di primo grado sono anche dette lineari, quindi un sistema di primo grado è anch’esso
detto sistema lineare.
Per il momento tratteremo solo sistemi lineari
SISTEMI LINEARI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si dice in forma normale quando entrambe le
equazioni che lo compongono sono scritte in forma normale,, cioè del tipo:
𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 = 𝒄𝟏
𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 = 𝒄𝟐
I valori 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 , 𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 indicano numeri reali; 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑎2 , 𝑏2 sono i coefficienti delle incognite
e 𝑐1 , 𝑐2 sono i termini noti.