4a P

LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di BOLZANO
VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 4a P- FILA A
15/04/2014- Tempo: 60'
Tutte le risposte vanno opportunamente motivate, pena la loro esclusione dalla valutazione.
1.
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche (obbligatori l'1.a e almeno uno tra l'1.b e l'1.c)
log2  x 1  4
Le condizioni di esistenza si ottengono ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di 0
C.E.
x 1  0 x>1
Applicando la definizione di logaritmo si ha: x-1=24, da cui x=24+1=17, soluzione accettabile
perché rispetta le condizioni di esistenza.
1.b) log2  x   log2  x 1  0
Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema
x  0
 x  0 .........................0_________________

 x 1

 x  1  0 x>1.......................................1____________
1.a)
Risolvendo l'equazione si ha log2 x  log2  x 1 da cui x=x-1 e quindi 0=-1, che evidentemente
è impossibile, e pertanto l'equazione non ha soluzioni.
1.c)
log  x 1  log  x  3  log8
Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema
x 1  0
 x  1...........................1_____________

x3

 x  3  0  x  3..........................................3 ______
log  x  1   x  3   log 8
x2  4 x  3  8
Risolvendo l'equazione si ha x 2  4 x  5  0
Di queste solo la prima è accettabile.
4  16  20 4  6

5
2
2
46
x
 1
2
x
1
log3 x
2
Le C.E. sono equivalenti a quelle dell'1.b e quindi x>1
2
Moltiplicando per 2 ambo i membri si ha : 2  log3  x 1  log3 x e quindi log 3  x  1  log 3 x
1.d)
log3  x  1 
 x  1
2
x
x 2  3x  1  0
e pertanto x  3  9  4  3  5 .
2
2
3 5
x
2
Di queste solo la prima è accettabile in quanto è maggiore di 1.
2.
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche (obbligatori l'2.a e almeno uno tra l'2.b e l'2.c)
2.a) log 2 x  1
La condizione di esistenza è x>0.
Risolvendo la disequazione si ha log 2 x  log 2 21 e da questo si ricava x<1/2; a questo punto si
risolve il sistema tra la condizione di esistenza e il risultato ottenuto:
 x  0.........................0 _______________
che ha come soluzione 0<x<1/2.

 x  1/ 2 __________________1/ 2...............
2.b) log  x  2  log  x 1  log5
Troviamo le condizioni di esistenza:
 x  1  0................1________________
Il sistema ha la seguente soluzione: x>2

 x  2  0..............................2 _________
x 1
x 1
Risolvendo la disequazione si ha: log
 log 5 da cui
 5 e, moltiplicando ambo i
x2
x2
membri per x-2 si ha: x-1<5   x  2  e quindi x-1<5x-10 -4x<-9 e x>9/4; mettendo a sistema la
 x  2....................2 _________________
condizione di esistenza con il risultato si ha 
da cui
 x  9 / 4............................9 / 4 _________
x>9/4.
2.c) log1/4  x 2  6   log1/4  x  3  1
Troviamo le condizioni di esistenza
 x 2  6  0  x   6 v x> 6 ________  6..................... 6 ________________


x  3  0
 x  3..........................................................................................3 ______ da cui x>3
1
 x2  6 
1
Risolvendo la disequazione si ha log1/4 
  log1/4   da cui
4
 x 3 
x2  6
x2  4x  6  0
 4, essendo la base del logaritmo inferiore a 1 . Si ha x2  6  4   x  3 e
x 3
  16  24  8
e quindi la disequazione non ha soluzioni, in quanto la parabola non interseca l'asse delle
ascisse e volge la concavità verso l'alto; pertanto essa è positiva per ogni x e quindi la
disequazione non è mai negativa.
3.
Ho comprato un BFP dal valore di 2000 € al tasso d'interesse medio del 3%; sapendo che la sua
scadenza è di 20 anni, posso ritirare almeno 3000 € a scadenza? In caso affermativo stabilisci il
numero minimo di anni per cui è possibile ritirare tale somma. Determina gli interessi maturati a
scadenza e la loro percentuale rispetto al capitale iniziale.
Il BFP è uno strumento finanziario a capitalizzazione composta . Per rispondere al primo
t
20
quesito utilizziamo la formula del capitale al tempo t (t=20) C20  C0  1  i  =2000  1, 03
=3612,22, che è superiore a 3000 €. Per stabilire il numero minimo di anni per cui è possibile
ritirare la somma di 3000 euro utilizziamo la formula inversa della capitalizzazione composta
 3000 
log 

 2000   13, 72  13a8m19 g . Gli interessi maturati a scadenza si ottengono per
t=
log1, 03
1612, 22
sottrazione I=3612,22-2000=1612,22, che rappresentano
 0,81  81% del capitale
2000
iniziale.
LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di BOLZANO
VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 4a P- FILA B
15/04/2014- Tempo: 60'
Tutte le risposte vanno opportunamente motivate, pena la loro esclusione dalla valutazione.
1.
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche (obbligatori l'1.a e almeno uno tra l'1.b e l'1.c)
log3  x 1  4
Le condizioni di esistenza si ottengono ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di 0
C.E.
x 1  0 x>1
Applicando la definizione di logaritmo si ha: x-1=34, da cui x=34+1=82, soluzione accettabile
perché rispetta le condizioni di esistenza.
1.a)
1.b) log3  x 1  log3 1  x   0
Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema
 x  1  0  x  1 ...................................1_________________

S   e quindi la disequazione

1  x  0 x<1 __________________1...................................
è impossibile.
log  x  2  log  x  1  log8
Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema
 x  2  0  x  2.................................................2 ______

x2

x 1  0
 x  1................................1_______________
1.c)
log  x  1   x  2    log 8
x 2  3x  2  8
Risolvendo l'equazione si ha x 2  3 x  6  0
Di queste solo la prima è accettabile
3  9  24 3  33

.
2
2
3  33
x
0
2
x
in quanto è maggiore di 2.
1.d)
log 3 1  x  
1
log 3   x 
2
1  x  0  x  1_________________1.........................


 x  0
 x  0 _________ 0........................................
Le C.E. sono
e quindi x<0.
Moltiplicando per 2 ambo i membri e applicando la proprietà relativa al logaritmo della
2
potenza si ha 1  x    x  1  2 x  x 2   x  x 2  x  1  0
  0 e pertanto l'equazione è impossibile.
2.
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche (obbligatori l'2.a e almeno uno tra l'2.b e l'2.c)
2.a) log3 x  1
La condizione di esistenza è x>0.
Risolvendo la disequazione si ha log 3 x  log 3 31 e da questo si ricava x<1/3; a questo punto si
risolve il sistema tra la condizione di esistenza e il risultato ottenuto:
 x  0.........................0 _______________
che ha come soluzione 0<x<1/3.

 x  1/ 3 __________________1/ 3...............
2.b) log  x  3  log  x  2  log5
Troviamo le condizioni di esistenza:
 x  3  0..........................................3 _______
Il sistema ha la seguente soluzione: x>3

 x  2  0..............................2 _____________
x 3
x3
Risolvendo la disequazione si ha: log
 log 5 da cui
 5 e, moltiplicando ambo i
x2
x2
membri per x-2 si ha: x-3<5   x  2  e quindi x-3<5x-10 -4x<-7 e x>7/4; mettendo a sistema la
 x  2....................2 _________________
condizione di esistenza con il risultato si ha 
da cui
 x  7 / 4........7 / 4 ___________________
x>7/4. Mettendo a sistema questo risultato con le condizioni di esistenza si ha
 x  7 / 4...................7 / 4 __________________
da cui x>3, che è la soluzione della

 x  3..................................................3 ________
disequazione.
2.c) log1/3  x 2  5   log1/3  x  3  1
Troviamo le condizioni di esistenza:
 x   5 v x> 5 ______  5............ 5 _______
 x2  5  0 
che ha come soluzione x>3.


 x  3............................................................3 ____
x  3  0

Risolvendo la disequazione si ha:
 x2  5 
x2  5
1
 3 ; moltiplicando per 3 ambo i membri si ha
da
cui
log1/3 

log
1/
3



1/3
x 3
 x 3 
x 2  5  3   x  3
da cui x 2  3x  4  0....... =9-16=-7<0 ; poichè la parabola volge la concavità
x  5  3x  9
verso l'alto e non tocca l'asse delle ascisse, è sempre positiva e quindi non sarà mai negativa;
pertanto la disequazione è impossibile.
2
3.
Ho comprato un BFP dal valore di 3000 € al tasso d'interesse medio del 3%; sapendo che la sua
scadenza è di 20 anni, posso ritirare almeno 4500 € a scadenza? In caso affermativo stabilisci il
numero minimo di anni per cui è possibile ritirare tale somma. Determina gli interessi maturati a
scadenza e la loro percentuale rispetto al capitale iniziale.
Il BFP è uno strumento finanziario a capitalizzazione composta . Per rispondere al primo
t
20
quesito utilizziamo la formula del capitale al tempo t (t=20) C20  C0  1  i  =3000  1, 03
=5418,33, che è superiore a 4500 €. Per stabilire il numero minimo di anni per cui è possibile
ritirare la somma di 4500 euro utilizziamo la formula inversa della capitalizzazione composta
 4500 
log 

 3000   13, 72  13a8m19 g . Gli interessi maturati a scadenza si ottengono per
t=
log1, 03
2418,33
 0,81  81% del capitale
sottrazione I=5418,33-3000=2418,33, che rappresentano
3000
iniziale.
Risultati prova scritta di Matematica 4a P
L.B.
V.B.
S.B.
G.B.
A.C.
S.E.
M.F.
A.G.
S.G.
I.I.
C.M.
M.M.
S.M.
L.P.
F.P.
A.P.
L.R.
S.R.
A.V.
S.V.
6+
6
7
6
65,5
6
6
87+
7
5
79+
86966,5
6