Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z)
Università di Roma ‘La Sapienza’
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 6/02/2017
NOME:
COGNOME:
MATRICOLA:
Esercizio 1
Nel gioco del lotto, sulla ruota di Roma, da un’urna contente 90 palline distinte se ne estraggono
5 senza rimbussolamento; calcolare
a) la probabilitá di fare ambo secco (cioé di indovinare due numeri su due numeri giocati)
b) la probabilitá di fare ambo (e non terno!) giocando tre numeri
c) la probabilitá di fare ambo giocando cinque numeri
N.B. tutti i passaggi devono essere giustificati, non é necessario dare risposta numerica
Soluzione:
a) Utilizziamo la regola casi favorevoli su casi possibili. Indichiamo con A l’evento ”ambo secco”
(88)
3
)
P (A) = (90
5
b) Indichiamo con B l’evento ”ambo giocando tre numeri”
(87)(3)
P (B) =
(3 90)2
5
c) Indichiamo con C l’evento ”ambo giocando cinque numeri”
(85)(5)
P (C) =
(3 90)2
5
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017
Esercizio 2
Sia (X, Y ) un vettore casuale distribuito uniformemente nel cerchio di centro l’origine e raggio 1.
a) Scrivere la densitá di probabilitá congiunta del vettore (X, Y )
√
b) Calcolare la probabilitá dell’evento A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1/2}
c) Determinare la marginale di X, fX (x)
d) X ed Y sono indipendenti?
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
a) Indichiamo con C = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} il cerchio di centro l’origine e raggio 1, allora la
funzione densitá di probabilitá risulta essere:
{
f(XY ) (x, y) =
1/π
0
x, y ∈ C
altrove
b) Usiamo considerazioni di tipo geometrico per valutate l’integrale doppio:
∫ ∫
1
dxdy = 1/4
P (A) =
π
A
c) La marginale di X la si ottiene nel seguente modo:
{ 2√
∫
∫ √1−x2
2
1
π 1−x
fX (x) = fX,Y (x, y)dy = √
dy =
0
− 1−x2 π
−1 < x < 1
altrove
d) Per considerazioni di tipo simmetrico ci aspettiamo che la Y risulti avere la stessa distribuzione
marginale e dunque la definizione di variabili indipendenti non é verificata esistendo almeno un
punto (x, y) in cui
f(XY ) (x, y) =
√
1
22 √
̸= 2 1 − x2 1 − y 2 = fX (x)fY (y)
π
π
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 6/02/2017
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Esercizio 3
Indichiamo con N il numero giornaliero di utenti che richiedono un determinato servizio.
Si assuma che la variabile casuale N sia di tipo Poisson di media 0.8 (cioé che il sistema di servizio
serva in media 0.8 clienti al giorno).
a) Calcolare la probabilitá che in un giorno il sistema di servizio non riceva richieste da parte di
utenti.
b) Calcolare la probabilitá che in una settimana (7 gg) il sistema di servizio non riceva richieste
da parte di utenti.
c) Se adesso si assume che la popolazione di utenti servita dal sistema sia composta da n = 1000
persone e che ciascuna di esse richiede il servizio in un giorno indipendentemente dalle altre con
probabilitá p = 0.0008, questa assunzione é in contrasto con la precedente? Cosa comporta ai fini
del calcolo della probabilitá richiesta al punto a) questa seconda assunzione?
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati.
Soluzione:
a) Per ipotesi N ∼ P oisson(0.8) si ha dunque P (N = 0) = exp(−0.8) = 0.4493.
b) Si hanno due modi per procedere; in un primo modo si definisce una seconda variabile casuale
di Poisson, Y , che conta il numero di utenti settimanali pertanto Y ∼ P oisson(5.6) e dunque
P (Y = 0) = exp(−5.6) = 0.0037, oppure l’evento ”non ci sono utenti in una settimana” lo si puó
riscrivere come l’intersezione dei sette eventi ”non ci sono utenti in un giorno” e per l’indipendenza
si giunge allo stesso risultato.
c) Le due assunzioni non sono in contrasto perché se X é la variabile casuale che descrive il numero
di utenti che richiedono il servizio in un giorno, per ipotesi di lavoro si ha X ∼ Bin(n, p). Per le
proprietá della Poisson si ha allora P (X = k) ≈ P (N = k) e pertanto la probabilitá al punto a)
puó anche essere valutata P (X = 0) = (1 − p)n = 0.99921000 = 0.4492.
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017
Domanda 1 Si dia la definizione di funzione di ripartizione (o cumulativa) di una variabile casuale e
si evidenzi la differenza nel caso di variabile casuale discreta e nel caso di variabile casuale continua.
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
Domanda 2 Si enunci il teorema del limite centrale.
ESAME DEL 6/02/2017
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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017
Domanda 3 Si dia la formula di un itervallo di confidenza per la media di una popolazione
gaussiana con varianza nota.