TUTORATO DI ALGEBRA 1 1. RELAZIONI Esercizio 1.1. Nell

TUTORATO DI ALGEBRA 1
1. RELAZIONI
Esercizio 1.1. Nell’insieme I = {a, b, c}, sia ρ la relazione di grafo
{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c)}.
a) ρ é una relazione di equivalenza?
b) ρ é di ordine?
Esercizio 1.2. Dati l’insieme I = {0, 1, 2} e l’insieme X = I × I × I
delle sue terne ordinate, ossia X = {(x, y, z) : x ∈ I, y ∈ I, z ∈ I}, sia
σ la relazione cosí definita:
(x, y, z)σ(x0 , y 0 , z 0 ) ⇐⇒ {x, y, z} = {x0 , y 0 , z 0 }
Verificare che σ é una relazione di equivalenza e trovare la classe di
(0, 1, 0).
Esercizio 1.3. In I = N × N, sia σ cosí definita:
(a, b)σ(a0 , b0 ) ⇐⇒ ab = a0 b0
a) Provare che σ é una relazione di equivalenza
b) Descrivere N × N/σ e trovare l’unica classe di equivalenza infinita.
Esercizio 1.4. Studiare le seguenti relazioni definite nell’insieme N dei
numeri naturali:
a) xRy ⇐⇒ ∃k ∈ N / x + k = y, ∀x, y ∈ N
b) xRy ⇐⇒ x − y é multiplo di 5.
Esercizio 1.5. Studiare in Z la relazione:
xRy ⇐⇒ x − y é multiplo di 5.
Esercizio 1.6. Studiare le seguenti relazioni in R × R, costruendo se
possibile gli insiemi quozienti, o precisando se si ottengono relazioni di
ordine parziale o totale:
a) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x + y = x0 + y 0
b) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x2 + y 2 = x0 2 + y 0 2
c) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x ≤ y ∧ x0 ≤ y 0
d) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x < y ∨ (x = x0 ∧ y ≤ y 0 ).