TUTORATO DI ALGEBRA 1 1. RELAZIONI Esercizio 1.1. Nell’insieme I = {a, b, c}, sia ρ la relazione di grafo {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c)}. a) ρ é una relazione di equivalenza? b) ρ é di ordine? Esercizio 1.2. Dati l’insieme I = {0, 1, 2} e l’insieme X = I × I × I delle sue terne ordinate, ossia X = {(x, y, z) : x ∈ I, y ∈ I, z ∈ I}, sia σ la relazione cosí definita: (x, y, z)σ(x0 , y 0 , z 0 ) ⇐⇒ {x, y, z} = {x0 , y 0 , z 0 } Verificare che σ é una relazione di equivalenza e trovare la classe di (0, 1, 0). Esercizio 1.3. In I = N × N, sia σ cosí definita: (a, b)σ(a0 , b0 ) ⇐⇒ ab = a0 b0 a) Provare che σ é una relazione di equivalenza b) Descrivere N × N/σ e trovare l’unica classe di equivalenza infinita. Esercizio 1.4. Studiare le seguenti relazioni definite nell’insieme N dei numeri naturali: a) xRy ⇐⇒ ∃k ∈ N / x + k = y, ∀x, y ∈ N b) xRy ⇐⇒ x − y é multiplo di 5. Esercizio 1.5. Studiare in Z la relazione: xRy ⇐⇒ x − y é multiplo di 5. Esercizio 1.6. Studiare le seguenti relazioni in R × R, costruendo se possibile gli insiemi quozienti, o precisando se si ottengono relazioni di ordine parziale o totale: a) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x + y = x0 + y 0 b) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x2 + y 2 = x0 2 + y 0 2 c) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x ≤ y ∧ x0 ≤ y 0 d) (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇐⇒ x < y ∨ (x = x0 ∧ y ≤ y 0 ).