Prove d`esame AA 2006-07

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova scritta dell’11 Dicembre 2006
1. Studiare la funzione
√
f (x) = e
|x2 +4x+3|
e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda).
Svolgere uno dei seguenti esercizi, a scelta del candidato
2. Data la funzione f : [1, 3] → R definita da

 3ex−2
se x ∈ [1, 2]
f (x) =
4(x + 1)
 2
se x ∈]2, 3]
x +x−2
determinare il valore della media integrale.
3. Determinare i valori di x ∈ R per i quali la serie
∞
X
|3x2 + 6x − 5|n
n=1
n2 + log n
diverge.
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col
proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più
di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
1
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Insegnamento di Matematica 1
c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali
Correzione della prova dell’11 Dicembre 2006
Esercizio 1
Per la determinazione del dominio di f abbiamo D = R.
Inoltre, decomponendo il valore assoluto si trova per la funzione l’espressione
 √ 2
x +4x+3

se x ∈] − ∞, −3] ∪ [−1, +∞[,
 e
f (x) =
√

2

e −x −4x−3 se x ∈] − 3, −1[.
Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo
√
lim f (x) = lim e
x→−∞
x2 +4x+3
x→−∞
= +∞,
in quanto l’esponente diverge a +∞ e cosı̀ anche la funzione;
√
lim f (x) = lim e
x→+∞
x2 +4x+3
x→+∞
= +∞,
in quanto l’esponente diverge a +∞ e cosı̀ anche la funzione. Dunque il
grafico non presenta asintoti orizzontali.
Possiamo quindi effettuare la ricerca degli eventuali asintoti obliqui; si ha
√
2
e x +4x+3
f (x)
= lim
=
lim
x→−∞
x→−∞ x
x
√
√
2
e x +4x+3
x2 + 4x + 3
= lim √
= (+∞)(−1) = −∞,
x→−∞
x
x2 + 4x + 3
dove il penultimo passaggio è conseguenza del confronto tra infiniti notevoli.
Alagomante
f (x)
lim
= +∞,
x→+∞ x
dunque il grafico non presenta asintoti obliqui.
Lo studio della derivata prima fornisce
 √
x+2
x2 +4x+3

√
se x ∈] − ∞, −3[∪] − 1, +∞[= D1 ,

 e
2

x + 4x + 3
f 0 (x) =

√

−x − 2

 e −x2 −4x−3 √
se x ∈] − 3, −1[= D2 .
−x2 − 4x − 3
Osserviamo che la derivata in x = −1 e x = −3 non esiste, infatti,
lim f 0 (x) = lim e
x→−3−
√
x2 +4x+3
x→−3−
2
√
x+2
= −∞,
+ 4x + 3
x2
in quanto l’esponenziale tende a 1 mentre la frazione è il rapporto fra una
quantità negativa ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva,
lim f 0 (x) = lim e
x→−3+
√
−x2 −4x−3
x→−3+
√
−x − 2
= +∞
−x2 − 4x − 3
in quanto l’esponenziale tende a 1 mentre la frazione è il rapporto fra una
quantità positiva ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva,
√
lim f 0 (x) = lim e
x→−1+
x2 +4x+3
x→−1+
√
x+2
= +∞
+ 4x + 3
x2
in quanto l’esponenziale tende a 1 mentre la frazione è il rapporto fra una
quantità positiva ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva,
lim f 0 (x) = lim e
x→−1−
√
−x2 −4x−3
x→−1−
√
−x − 2
= −∞
−x2 − 4x − 3
in quanto l’esponenziale tende a 1 mentre la frazione è il rapporto fra una
quantità negativa ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva.
Quindi per la ricerca di eventuali massimi e minimi abbiamo
C3 = {x ∈ D \ D◦ } = ∅, C2 = {x ∈ D◦ : @f 0 (x)} = {−3; −1},
C1 = {x ∈ D◦ : f 0 (x) = 0} = {−2}.
Studiamo ora il segno della derivata
√ 2 prima.
e |x +4x+3|
Osserviamo che, in D1 ∪ D2 p
è sempre positivo, quindi in D1
|x2 + 4x + 3|
il segno della derivata è dato da x + 2, mentre in D2 è dato da −x − 2.
Quindi f 0 (x) > 0 in ] − 3, −2[∪] − 1, +∞[ e f 0 (x) < 0 in ] − ∞, −3[∪] − 2, −1[.
Dunque, in conseguenza del Teorema di Lagrange, f è crescente in ] − 3, −2[
e in ] − 1, +∞[, decrescente in ] − ∞, −3[ e in ] − 2, −1[, ammette minimo in
x = −3 e in x = −1 e massimo in x = −2.
Il grafico quindi risulta
3
Esercizio 2
Per definizione di media integrale si ha
Z 3
1
f (x)dx.
f (c) =
3−1 1
Poiché f è una funzione continua, per determinare tale valore possiamo
calcolare l’integrale indefinito e poi fare ricorso alla formula di NewtonLeibnitz.
Per le proprietà di linearità dell’integrale abbiamo
Z 3
Z 2
Z 3
Z 2
Z 3
4(x + 1)
x−2
3e dx +
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx =
dx.
2
2 x +x−2
1
2
1
1
Calcoliamo i due integrali indefiniti
Z
Z
Z
4(x + 1)
x+1
x−2
3e dx;
dx = 4
dx.
x2 + x − 2
x2 + x − 2
Il primo è un integrale immediato
Z
3ex−2 dx = 3ex−2 + c.
Per quanto riguarda il secondo calcoliamo l’integrale
Z
x+1
dx
2
x +x−2
che è un integrale di una funzione razionale fratta con il denominatore di
secondo grado che si annulla nei punti x = −2 e x = 1. Quindi il denominatore si può scrivere come prodotto (x + 2)(x − 1) e dunque l’integranda
ammette una rappresentazione
x+1
A
B
=
+
,
(x + 2)(x − 1)
x+2 x−1
dove A e B si ricavano dal sistema
A+B =1
−A + 2B = 1.
1
2
Risolvendolo si trovano i valori A = , B = . Sostituendo tali valori nella
3
3
decomposizione dell’integranda, l’integrale si trasforma in
Z
Z
Z
x+1
1
1
2
1
dx =
dt +
dx
2
x +x−2
3
x+2
3
x−1
che è la somma di due integrali immediati, e nell’intervallo in considerazione
conduce a
Z
x+1
1
2
dx = log(x + 2) + log(x − 1) + c.
2
x +x−2
3
3
4
Pertanto si ha
2 4
1
8
3
x−2
(3e
+ c) +
f (c) =
log(x + 2) + log(x − 1) + c =
2
3
3
1
2
4
1
3(1 − e−1 ) + log 5 .
=
2
3
Esercizio 3
Osserviamo che la serie data è a termini positivi, quindi non può essere
indeterminata.
Tramite il Criterio del Rapporto Asintotico abbiamo che la serie sicuramente
diverge per |3x2 + 6x − 5| > 1. Infatti, indicato con an il termine generale
della serie, abbiamo
an+1
|3x2 + 6x − 5|n+1
n2 + log n
= lim
= |3x2 + 6x − 5|,
2
n→+∞ an
n→+∞ (n + 1) + log(n + 1) |3x2 + 6x − 5|n
lim
in quanto
n2 + log n
= 1,
n→+∞ (n + 1)2 + log(n + 1)
lim
essendo numeratore e denominatore due infiniti dello stesso ordine.
La disuguaglianza |3x2 + 6x − 5| > 1 risulta verificata in
#
√
√ "
i
h
√ h [ −3 − 21 −3 + 21 [ i
√
−∞, −1 − 3
,
−1 + 3, +∞ .
3
3
Osserviamo che per i punti in cui |3x2 + 6x − 5| = 1, punti in cui il Criterio
del Rapporto Asintotico non fornisce informazioni, la serie diventa
∞
X
n=1
Osserviamo che, per ogni n in N,
generalizzata
∞
X
n=1
n2
1
.
+ log n
n2
1
1
< 2 . Poiché la serie armonica
+ log n
n
∞
X
1
converge, per il Criterio del Confronto anche la serie
n2
n=1
1
converge.
n2 + log n
5
Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Anno Accademico 2005-06
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova teorica del 12 Dicembre 2006
Nome e Cognome .....................................................................................................
Rispondere ai seguenti quesiti:
1. Nell’equazione della parabola in figura, y = ax2 + bx + c
i. c = 0 e a e b sono discordi
ii. c = 0 e a e b sono concordi
iii. b = c = 0
iv. a < 0 e c > 0
(l’alternativa i è corretta)
2. log 2 e log
1
sono
2
i. opposti
ii. simmetrici
iii. reciproci
iv. uguali.
(l’alternativa i è corretta)
6
3. Se (an )n è una successione regolare e se bn = 3an an+1 è tale che
lim bn = lim an = `
allora è certamente falso che
i. ` = 0
ii. ` = +∞
iii. ` = −∞
iv. nessuna delle precedenti, tutte e tre le opzioni precedenti sono
possibili
(l’alternativa iii è corretta)
4. Dati p, q ∈ N, l’affermazione
qnp + p · sin n
=2
n→+∞ pnq + q · arctgn
lim
è vera solo se
i. p = 1, q = 2;
ii. p = 2, q = 1;
iii. p = q = 2;
iv. mai.
(l’alternativa iv è corretta)
5. La f : R → R definita da
3x − 7
se x ≤ xo
f (x) =
3x2 + 9x − 4 se x > xo
i. è continua se xo = 0
ii. è continua se xo = −1
iii. è continua per ogni scelta di xo
iv. non è mai continua
(l’alternativa ii è corretta)
7
6. La derivata destra della funzione il cui grafico è rappresentato in figura
i. esiste ed è positiva
ii. dove esiste è positiva
iii. non esiste
iv. nessuna delle precedenti alternative è corretta.
(l’alternativa ii è corretta)
7. L’applicazione
f (x) =
x2 + bx + 1 se x > 0
bx
se x ≤ 0
con b > 0
i. è derivabile ma non continua;
ii. è continua ma non derivabile;
iii. è derivabile e quindi continua;
iv. nessuna delle precedenti.
(l’alternativa iv è corretta)
8
8. Sia f : [a, b] → R una funzione convessa. Allora
i. Epif è convesso;
ii. Ipof è convesso;
iii. il grafico di f é convesso;
iv. nessuna delle precedenti;
(l’alternativa i è corretta)
I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a
loro scelta
1. Data f : [2, 3] → R definita da f (x) = 2x la funzione g(x) = x2 è
i. la funzione integrale
ii. la primitiva
iii. una primitiva
iv. l’integrale indefinito
(l’alternativa iii è corretta)
2. Il Teorema della media integrale discende
i. dalla Proprietà di linearità dell’integrale
ii. dalla Proprietà di monotonia dell’integrale
iii. dalla Proprietà di additività dell’integrale
iv dal Teorema di Torricelli-Barrow
(l’alternativa ii è corretta)
3. Data una funzione f : D → R, la serie
∞
X
(f (x))n
n=1
i. converge per ogni x ∈ D ;
ii. converge per ogni x ∈ D tale che f (x) < 1;
iii. converge per ogni x ∈ D tale che |f (x)| ≤ 1;
iv. nessuna delle precedenti.
(l’alternativa iv è corretta)
9
4. La serie
∞
X
a
√
2n + n
n=1
i. diverge per ogni a ∈ R;
ii. diverge per ogni a 6= 0 ;
iii. diverge per ogni a ≥ 0;
iv. diverge per ogni a > 0.
(l’alternativa ii è corretta)
10
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Matematica 1 (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova scritta del 26 Marzo 2007
1. Studiare la funzione
f (x) =
e2x−1
x2 − 3x − 6
e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda).
Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi
2. Calcolare l’espressione della funzione
|x|
f (x) = 1
k
0
log(x + 2)
1
3
0
1
determinare poi il valore di k in modo tale che
Z 1
f (x)dx = 0.
−1
3. Determinare il comportamento della serie
∞
X
n=1
6n
.
n2 + log n
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col
proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più
di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
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Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Anno Accademico 2006-07
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova teorica del 26 Marzo 2007
Nome e Cognome .....................................................................................................
Rispondere ai seguenti quesiti:
1. L’insieme delle soluzioni della disequazione
x2 − 6x + 4 > 0
è
i. una coppia di semirette;
ii. l’insieme di due semirette;
iii. l’unione di due semirette;
iv. la somma di due semirette.
2. La funzione f : [0, +∞) → [0, +∞) definita da f (x) = [x] (parte intera
di x)
i. è positiva e crescente
ii. è non negativa e crescente
iii. è positiva e non decrescente
iv. è non negativa e non decrescente
3. Se A =]3, 5[ quale punto non appartiene ad A0 ?
i. 3
ii. 5
iii. 4
iv. nessuna delle precedenti opzioni è corretta
n2 + n − 2
per quali valori di ε > 0 la disequazione |an −
n2 − 1
1| < ε è verificata per tutti gli n ≥ 19?
4. Data an =
i. per ogni ε ∈]0, +∞)
1
ii. per ogni ε ∈
, +∞
20
12
1
iii. per ogni ε ∈ 0,
20
1
iv. per ogni ε ∈ 0,
20
5. Siano (an )n e (bn )n due successioni con (an )n divergente e (an bn )n
convergente. Qual è l’affermazione falsa?
i. (bn )n è regolare
ii. (bn )n è convergente
iii. (bn )n è infinitesima
iv. nessuna delle precedenti
6. Sia f : R → R un’applicazione derivabile in un punto xo interno al
dominio, e sia g l’applicazione definita da
f (x)
se x < xo
g(x) =
0
f (xo ) + f (xo )(x − xo ) se x ≥ xo .
Allora
i. g è continua ma non derivabile in xo ;
ii. g è derivabile ma non continua in xo ;
iii. g è continua e quindi derivabile in xo ;
iv. g è derivabile e quindi continua in xo .
7. Sia f : [a, b] → R una funzione continua e siano
m1 = min{f (x), x ∈ [a, b]}, m2 = min{|f (x)|, x ∈ [a, b]}
i minimi assoluti di f e di |f | (che esistono per il Teorema di Weierstrass). Qual é l’implicazione corretta?
i. f = |f | =⇒ m1 = m2 ma non viceversa;
ii. m1 = m2 =⇒ f = |f | ma non viceversa;
iii. f = |f | ⇐⇒ m1 = m2 ;
iv. nessuna delle precedenti.
8. Sia f : [a, b] → R una funzione convessa. Allora
i. Epif è convesso;
ii. Ipof è convesso;
iii. Epif ∩Ipo f è convesso;
iv. nessuna delle precedenti;
13
I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti
a loro scelta
1. Se f : [1, 5] → R è definita da f (x) = 2x3 allora g(x) =
x4
è
2
i. l’integrale
ii. la funzione integrale
iii. la primitiva
iv. nessuna delle precedenti
2. Data f : [a, b] → R, e detta P una primitiva di f , quale implicazione
si può inserire al posto dei puntini tra le affermazioni
f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b] .................... P è non decrescente in [a, b]?
i. =⇒ ma 6⇐=;
ii. ⇐= ma 6=⇒
iii. ⇐⇒;
iv. nessuna delle precedenti
3. Sia (an )n una successione in R e sia sn la successione delle somme
∞
X
parziali della serie
an . Quale tra le seguenti implicazioni può essere
n=1
correttamente inserita al posto dei puntini?
(sn )n è crescente ......... an > 0 per ogni n > 1
i. =⇒ ma 6⇐=;
ii. ⇐= ma 6=⇒;
iii. ⇐⇒;
iv. nessuna delle precedenti.
4. Quale criterio non si può applicare alla serie
∞ X
1 n n+1
log10
?
3
3n4 + n2
n=1
i. il Criterio di Leibnitz;
ii. il Criterio di convergenza assoluta;
iii. il Criterio del Rapporto;
iv. la Condizione sufficiente sul termine generale.
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Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Insegnamento di Matematica 1
c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali
Correzione della prova del 26 Marzo 2007
Esercizio 1
Per la determinazione del dominio di f abbiamo
D = R \ {x ∈ R : x2 − 3x − 6 = 0} = R \ {x1 , x2 },
√
√
3 − 33
3 + 33
dove x1 =
e x2 =
.
2
2
Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo
e2x−1
= 0,
x→−∞
x→−∞ x2 − 3x − 6
quindi il grafico presenta un asintoto orizzontale per x → −∞.
lim f (x) = lim
e2x−1
= +∞,
x→+∞
x→+∞ x2 − 3x − 6
in quanto la funzione è un rapporto fra due infiniti di cui il numeratore è di
ordine superiore rispetto al denominatore. Dunque il grafico non presenta
asintoti orizzontali per x → +∞.
Possiamo quindi effettuare la ricerca degli eventuali asintoti obliqui; si ha
lim f (x) = lim
f (x)
e2x−1
= lim
= +∞
x→+∞ x
x→+∞ x(x2 − 3x − 6)
lim
in quanto la funzione è un rapporto fra due infiniti di cui il numeratore è di
ordine superiore rispetto al denominatore. Dunque il grafico non presenta
asintoti obliqui.
Per gli eventuali asintoti verticali, si ha
lim
√
3− 33
2
x→
−
f (x) =
lim
√
x→
3− 33
2
−
e2x−1
= +∞,
x2 − 3x − 6
in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente
positivo ed il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il grafico
presenta un asintoto verticale x = x1 .
x→
lim
√
3− 33
2
+
f (x) =
lim
√
x→
3− 33
2
+
e2x−1
= −∞,
x2 − 3x − 6
in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente
negativo mentre il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il
grafico presenta un asintoto verticale x = x1 .
lim
√
x→
3+
33
2
−
f (x) =
lim
√
x→
3+ 33
2
15
−
e2x−1
= −∞,
x2 − 3x − 6
in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente
negativo mentre il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il
grafico presenta un asintoto verticale x = x2 .
x→
lim
√
3+ 33
2
+ f (x)
=
lim
√ +
x→ 3+2 33
x2
e2x−1
= +∞,
− 3x − 6
in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente
positivo ed il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il grafico
presenta un asintoto verticale x = x2 .
Il calcolo della derivata prima fornisce
f 0 (x) = e2x−1
2x2 − 8x − 9
.
(x2 − 3x − 6)2
Quindi per la ricerca di eventuali massimi e minimi, in virtù del Teorema di
Fermat, si ha
C3 = {x ∈ D \ D◦ } = ∅, C2 = {x ∈ D◦ : @f 0 (x)} = ∅,
C1 = {x ∈ D◦ : f 0 (x) = 0} = {x3 , x4 },
√
√
34
34
e x4 = 2 +
.
dove x3 = 2 −
2
2
Studiamo ora il segno della derivata prima. Osserviamo che questo è dato
e2x−1
dal segno di 2x2 − 8x − 9, essendo 2
sempre positivo. Pertanto
(x − 3x − 6)2
si ha f 0 (x) > 0 in ] − ∞, x3 [∪]x4 , +∞[ e f 0 (x) < 0 in ]x3 , x4 [.
Per il Teorema di Lagrange si ha che f cresce in ]−∞, x1 [, ]x1 , x3 [ e ]x4 , +∞[,
decresce in ]x3 , x2 [ e ]x2 , x4 [ ed ammette massimo relativo in x3 e minimo
relativo in x4 .
Quindi il grafico risulta
Esercizio 2
Dal calcolo del determinante otteniamo
f (x) = (|x| − 3k) log(x + 2) + 3
e in virtù della proprietà di additività dell’integrale abbiamo
Z 1
Z 0
Z 1
f (x)dx =
((−x−3k) log(x+2)+3)dx+
((x−3k) log(x+2)+3)dx.
−1
−1
0
Il calcolo dei due integrali indefiniti
Z
((−x − 3k) log(x + 2) + 3)dx;
Z
((x − 3k) log(x + 2) + 3)dx
16
fornisce negli intervalli considerati
Z
(x + 2)2 1
((−x−3k) log(x+2)+3)dx =
− log(x + 2) +(2+3k)(x+2)(log(x+2)−1)+3x+c
2
2
e
Z
(x + 2)2
1
((x−3k) log(x+2)+3)dx =
log(x + 2) − +(3k−2)(x+2)(log(x+2)−1)+3x+c.
2
2
Quindi
Z
1
f (x)dx =
−1
7
3
− 4 log 2 − log 3 − 3k(3 log 3 − 4),
2
2
pertanto si tratta di risolvere l’equazione in k
7
3
− 4 log 2 − log 3 − 3k(3 log 3 − 4) = 0
2
2
che fornisce
k=
7
3
1
− 4 log 2 − log 3
.
2
2
3(3 log 3 − 4)
Esercizio 3
Osserviamo che la serie data risulta a termini positivi, infatti, per ogni
n in N+ , 6n > 0 e n2 + log n > n2 > 0. Pertanto la serie non può essere
indeterminata, ma deve necessariamente convergere o divergere.
Osserviamo inoltre che
6n
= +∞,
n→+∞ n2 + log n
lim
17
in quanto rapporto di due infiniti con il numeratore di ordine superiore
rispetto al denominatore.
Pertanto, in virtù del criterio della condizione Necessaria per la convergenza
della seria, la serie data risulta essere divergente.
Lo schema delle risposte ai quesiti a risposta multipla è dato da
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
18
iii.
iv.
iv.
ii.
iv.
iv.
iii.
i.
iv.
iii.
iii.
iii.
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Matematica 1 (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali
Prova scritta del 12 Giugno 2007
1. Studiare la funzione
1
x − 2
2
e x+1
e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda).
Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi
2. Data la funzione f : [0, 2] → R definita da
f (x) =

x log(x + 3) se x ∈ [0, 1]



 x−1
x+2
se x ∈]1, 2]
determinare l’espressione della funzione integrale.
3. Stabilire il comportamento della serie
∞ √
X
( π − 1)3n+1
n3 + 2
n=1
.
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col
proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più
di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
19
Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Anno Accademico 2006-07
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova teorica del 12 Giugno 2007
Nome e Cognome .....................................................................................................
Rispondere ai seguenti quesiti:
1. Se log10 1984 ∼
= 3, 29754 allora log10 19, 84 è uguale a
i. ∼
= 1, 29754 (cioè 3, 29754 − 2)
3, 29574
ii. ∼
)
= 0, 0329754 (cioè
100
iii. ∼
= −6, 59508 (cioè (−2) · 3, 29754)
iv nessuna delle precedenti risposte è corretta
2. Nella figura è rappresentata la parabola di equazione y = ax2 + bx + c.
Stabilire qual è l’affermazione corretta
i. abc > 0
ii. abc = 0
iii. abc < 0
iv. non si può stabilire nulla sul prodotto abc.
3. Dato D =]a, b[∪[b + 1, +∞) , allora
i. b ∈ D \ D0 ;
ii. b ∈ D0 \ D;
iii. b ∈ D ∩ D0 ;
20
iv. b ∈ D0 ∩ D.
4. Sia (an )n ⊂ [1, +∞) una successione tale che
lim an − an+1 = 0.
n→+∞
Quale delle seguenti affermazioni è impossibile?
i.
lim an = +∞ ;
n→+∞
ii.
lim an = 1;
n→+∞
iii.
lim an = 0;
n→+∞
iv. nessuna delle precedenti.
5. Quanto fa
lim
n→+∞
1
1−
n
n
?
i. e
ii. −e
1
iii.
e
1
iv −
e
6. La derivata sinistra della funzione il cui grafico é rappresentato in
figura
1
i. non esiste in x = ;
2
1
ii. è continua in x = ;
2
21
1
iii. è continua solo da destra in x = ;
2
1
iv. é continua solo da sinistra in x = .
2
7. Sia f : [a, b] → R una funzione derivabile. L’affermazione: se f 0 (x) ≥ 0
per ogni x ∈]a, b[ allora f è crescente in [a, b]
i. sussiste per il Teorema della Permanenza del Segno;
ii. sussiste per il Teorema di Lagrange;
iii. sussiste per il Teorema della Media;
iv. sussiste solo sotto ipotesi aggiuntive.
8. Data la funzione f : [0, +∞) → R definita da
√
ax se x ∈ [0, a]
√
f (x) =
a x se x ∈]a, +∞)
con 0 < a < 1, qual è l’affermazione falsa?
i. f è continua
ii. f è derivabile
iii. f è concava
iv nessuna, sono vere tutte e tre.
I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a
loro scelta
1. Sia (an )n una successione in ]0, +∞) tale che
∞
X
n=1
(sn )n la successione delle somme parziali, la serie
∞
X
sn
n=1
i. converge;
ii. diverge;
iii. è indeterminata;
iv. non si può stabilirne il comportamento.
2. La serie
∞
X
n=1
converge in virtù
22
n2
n4 + 1
an converge. Detta
i. del Criterio del Rapporto;
ii. del Criterio del Confronto;
iii. del Criterio di Leibnitz;
n2
iv. del fatto che lim 4
= 0.
n→+∞ n + 1
3. Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Allora ogni primitiva di f
soddisfa le ipotesi
i. del Teorema di derivazione dell’inversa
ii. del Teorema della Permanenza del Segno
iii. del Teorema di Rolle
iv. del Teorema della Media
Z 1
4. La successione n 7→
log xdx è
1
n
i. monotòna ma non regolare
ii. monotòna e convergente
iii. monotòna e divergente
iv nessuna delle precedenti
23
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Insegnamento di Matematica 1
c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali
Correzione della prova del 12 Giugno 2007
Esercizio 1
Per la determinazione del dominio di f abbiamo D = R \ {−1}.
Inoltre, decomponendo il valore assoluto si trova per la funzione l’espressione
 x−4

 e 2x+2 se x ∈ [4, +∞[,
f (x) =

4−x
 2x+2
e
se x ∈] − ∞, −1[∪] − 1, 4[.
Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo
4−x
1
lim f (x) = lim e 2x+2 = e− 2 ,
x→−∞
x→−∞
in quanto l’esponente risulta essere rapporto di due infiniti dello stesso
ordine;
x−4
1
lim f (x) = lim e 2x+2 = e 2 ,
x→+∞
x→+∞
in quanto l’esponente risulta essere rapporto di due infiniti dello stesso
ordine;
4−x
lim f (x) = lim e 2x+2 = 0,
x→−1−
x→−1−
in quanto l’esponente risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad
una quantità positiva, mentre il denominatore tende a 0 mantenendosi di
segno negativo, pertanto l’esponente tende a −∞ e quindi l’esponenziale a
0;
x−4
lim f (x) = lim e 2x+2 = +∞,
x→−1+
x→−1+
in quanto l’esponente risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad
una quantità positiva, mentre il denominatore tende a 0 mantenendosi di
segno positivo, pertanto l’esponente tende a +∞ cosı̀ come l’esponenziale.
Lo studio della derivata prima fornisce
 x−4
10

e 2x+2
se x ∈]4, +∞[= D1 ,



(2x + 2)2
f 0 (x) =

4−x

−10

 e 2x+2
se x ∈] − ∞, −1[∪] − 1, 4[= D2 .
(2x + 2)2
Osserviamo che la derivata in x = 4 non esiste, infatti,
4−x
lim f 0 (x) = lim e 2x+2
x→4−
x→4−
24
1
−10
=− ,
2
(2x + 2)
10
mentre
x−4
lim f 0 (x) = lim e 2x+2
x→4+
x→4+
10
1
= .
2
(2x + 2)
10
Osserviamo inoltre che la derivata non si annulla mai, quindi
C1 = {x ∈ D◦ : f 0 (x) = 0} = ∅, C2 = {x ∈ D◦ : @f 0 (x)} = {4},
C3 = {x ∈ D \ D◦ } = ∅,
inoltre banalmente f 0 (x) > 0 in D1 e f 0 (x) < 0 in D2 .
Dunque, in conseguenza del Teorema di Lagrange, f è crescente in ]4, +∞[
e decrescente in ] − ∞, −1[ e in ] − 1, 4[ ed ammette minimo in x = 4.
Il grafico quindi risulta
Esercizio 2 Osserviamo che la funzione data non è continua in x = 1,
infatti,
lim f (x) = lim x ln(x + 3) = ln 4,
x→1−
x→1−
lim f (x) = lim
x→1+
x→1+
x−1
= 0.
x+2
Per definizione di funzione integrale abbiamo
 Z x


t ln(t + 3)dt


Z x
 0
F (x) =
f (t)dt =
Z 1
Z

0



t ln(t + 3)dt +

0
1
25
se x ∈ [0, 1],
x
t−1
dt se x ∈]1, 2].
t+2
Calcoliamo separatamente gli integrali indefiniti
Z
Z
t−1
dt,
t ln(t + 3)dt.
t+2
Per il primo integrale si ha banalmente
Z
Z t−1
3
dt = t − 3 ln(t + 2) + c;
dt =
1−
t+2
t+2
mentre per il secondo
Z
Z
Z t2
9
t2 − 9
1
t2
t2
1
1
t ln(t+3)dt = ln(t+3)−
t−3+
dt =
dt = ln(t+3)−
ln(t+3)+ t
2
2
t+3
2
2
t+3
2
2
Quindi troviamo
 2
x
1
9
x −9


ln(x + 3) +
3 − x + ln 3 se x ∈ [0, 1],


2
2
2
2
F (x) =



 x − 3 ln(x + 2) − 4 ln 4 + 1 + 15 ln 3
se x ∈]1, 2].
4
2
Esercizio 3 Osserviamo che la serie data è a termini positivi, pertanto non
può essere indeterminata.
Inoltre, indicato con an il termine generale della
√
( π − 1)3n+1
serie, an =
, questo converge a 0,
n3 + 2
√
( π − 1)3n+1
lim an = lim
= 0,
n→+∞
n→+∞
n3 + 2
√
in quanto il numeratore tende a 0, essendo π − 1 < 1, mentre il denominatore tende a +∞.
Per il criterio del rapporto abbiamo
√
√
an+1
( π − 1)3n+4
n3 + 2
√
= ( π − 1)3 < 1.
lim
lim
3
3n+1
n→+∞ an n→+∞ (n + 1) + 2 ( π − 1)
quindi la serie risulta convergente.
26
27
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova scritta del 17 Luglio 2007
1. Studiare la funzione
f (x) = log
3x
2
x −2
e tracciarne il grafico.
Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi
2. Data la funzione f : [5, 6] → R definita da
2
x + 8x − 4
f (x) = log
x+2
determinare l’espressione dell’integrale indefinito.
3. Data la serie
∞
X
f (n)
n=2
dove f è la funzione dell’Esercizio 1,
- stabilire il segno del termine generale;
- determinarne il comportamento.
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col
proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più
di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
28
Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Anno Accademico 2006-07
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova teorica del 17 Luglio 2007
Nome e Cognome .....................................................................................................
Rispondere ai seguenti quesiti:
1. Nella figura è rappresentata la parabola di equazione y = ax2 + bx + c.
Stabilire qual è l’affermazione falsa
i. a > b
ii. b > c
iii. c > a
iv. nessuna delle precedenti
2. Nella tabella vengono rappresentate le classi di peso in funzione del
29
BMI (Body Mass Index) il cui valore individuale è dato dal rapporto
BMI =
P
h2
dove P è il peso dell’individuo espresso in Kg, e h l’altezza espressa in
metri. Se un individuo che pesa 70 kg si trova in sovrappeso secondo
la tabella del B.M.I. vuol dire che la sua altezza h è
r
r
14
70
i. −
<h<
5
29, 9
r
r
14
70
ii. −
<h<−
5
29, 9
r
r
70
14
iii. ±
<h<±
29, 9
5
r
r
70
14
<h<
iv
29, 9
5
3.
lim
n→+∞
sin n
n
i. è uguale a 0;
ii. è uguale a 1;
iii. non esiste;
iv. esiste ma non fa nè 0 nè 1.
4. Se lim
x→0
log(1 + x)
= 3 allora
sin αx
i. α = 3;
1
ii. α = ;
3
iii. α = −3;
iv. non è possibile che il limite faccia 3.
5. Qual è l’enunciato corretto?
i. Sia f : [a, b] → R derivabile. Se esiste xo ∈ [a, b] tale che f 0 (xo ) = 0
allora xo è di massimo o di minimo.
ii. Sia f : [a, b] → R derivabile. Se xo ∈ [a, b] è di massimo o di
minimo, allora f 0 (xo ) = 0.
iii. Sia f : [a, b] → R derivabile. Se esiste xo ∈]a, b[ tale che f 0 (xo ) = 0
allora xo è di massimo o di minimo.
iv. Sia f : [a, b] → R derivabile. Se xo ∈]a, b[ è di massimo o di
minimo, allora f 0 (xo ) = 0. .
30
6. Sia f : R → R una funzione derivabile e decrescente. Allora
g(x) = ef (log x)
i. è derivabile e decrescente in R;
ii. è derivabile e decrescente in ]0, +∞);
iii. è derivabile ma non decrescente, perchè l’esponenziale con base
e > 1 è crescente;
iv. non è detto che sia derivabile, perchè l’esponente non è derivabile
nel suo dominio.
7. Sia f : [0, 1] → R+
0 . Quale tra le seguenti implicazioni può essere
correttamente inserita al posto dei puntini?
f ammette un asintoto verticale ..................... f ([0, 1]) è illimitato superiormente
i. =⇒ ma 6⇐=;
ii. ⇐= ma 6=⇒;
iii. ⇐⇒;
iv. nessuna delle precedenti.
8. Siano f, g : R → R due funzioni, con f convessa e g concava. Allora
f − g è
i. convessa;
ii. concava;
iii. non è mai tutta convessa o tutta concava, ammette sempre almeno
un flesso;
iv. non si può stabilire, dipende da chi sono f e g.
I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a
loro scelta
1. Data una serie
∞
X
an convergente, se (bn )n è una successione in ]0, +∞)
n=1
∞
X
an
= 1 allora anche
bn converge. E’ vero?
n→+∞ bn
tale che lim
n=1
i. sı̀, per il Criterio asintotico del confronto
ii. no, il limite deve essere strettamente minore di 1
iii. non è detto, perchè non sappiamo se anche la prima serie è a
termini non negativi
iv nessuna delle alternative precedenti è corretta
31
2. Dat un numero reale a 6= 0, che comportamento ha la serie
∞
X
(−1)n a?
n=1
i. converge;
ii. diverge;
iii. è indeterminata;
iv. dipende dal segno di a.
3. P è una primitiva di f : [a, b] → R se
i. P 0 = f ;
ii. f 0 = P ;
Z b
f (x)dx;
iii. P =
a
iv. P (a) = 0.
4. Sia f : [0, 1] → R derivabile e tale che f (1) = 0. Allora qual è
l’uguaglianza corretta?
Z 1
Z 1
i.
f (x)dx =
xP (x)dx con P primitiva di f ;
0
0
1
Z
ii.
1
Z
f (x)dx =
0
Z
xf 0 (x)dx;
0
1
iii.
Z
0
f (x)dx =
0
Z
iv.
1
1
Z
f (x)dx =
0
xf 0 (x)dx;
1
xf (x)dx .
0
32
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Insegnamento di Matematica 1
c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali
Correzione della prova del 12 Giugno 2007
Esercizio 1
√
√
Per la determinazione del dominio di f abbiamo D =] − 2, 0[∪] 2, +∞[.
Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo
3x
lim√ f (x) = lim√ log
= +∞,
x2 − 2
x→− 2
x→− 2
in quanto l’argomento del logaritmo risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad una quantità negativa, mentre il denominatore tende a
0 mantenendosi di segno negativo, pertanto la frazione tende a +∞ e cosı̀
anche il logaritmo;
3x
lim
= +∞,
√ f (x) = lim
√ log
x2 − 2
x→ 2
x→ 2
in quanto l’argomento del logaritmo risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad una quantità positiva, mentre il denominatore tende a
0 mantenendosi di segno positivo, pertanto la frazione tende a +∞ e cosı̀
anche il logaritmo;
3x
= −∞,
lim f (x) = lim log
x→0
x→0
x2 − 2
in quanto l’argomento del logaritmo tende a 0;
3x
lim f (x) = lim log
= −∞,
x→+∞
x→+∞
x2 − 2
in quanto l’argomento del logaritmo risulta essere rapporto di due infiniti
con denominatore di ordine superiore.
√
√
Quindi f presnta tre asintoti verticali per x = − 2, x = 2 e x = 0, mentre
non presenta asintoti orizzontali.
Per la ricerca degli eventuali asintoti obliqui abbiamo
3x
log
f (x)
x2 −2
lim
= lim
= 0,
x→+∞
x→+∞ x
x
in quanto rapporto di due infiniti di cui il denominatore di ordine superiore.
Quindi la funzione non ammette asintoti obliqui.
Il calcolo della derivata prima fornisce, per ogni x in D,
f 0 (x) =
−x2 − 2
,
x(x2 − 2)
33
C1 = {x ∈ D◦ : f 0 (x) = 0} = ∅, C2 = {x ∈ D◦ : @f 0 (x)} = ∅, C3 = {x ∈ D\D◦ } = ∅.
Per ciò che concerne il segno della derivata prima osserviamo che per ogni
x in D x(x2 − 2) > 0, e che −x2 − 2 < 0. Quindi f 0 (x) < 0 per ogni x in
D e√per le conseguenze
del Teorema di Lagrange f risulta decrescente in
√
] − 2, 0[ e in ] 2, +∞[.
Il grafico quindi risulta
Esercizio 2 Osserviamo che
Z
Z
Z
x2 + 8x − 4
f (x)dx = log
= (log(x2 + 8x − 4) − log(x + 2))dx =
x+2
Z
√
√
= (log(x + 4 + 2 5) + log(x + 4 − 2 5) − log(x + 2))dx
da cui segue
Z
√
√
√
√
f (x)dx = (x+4+2 5)(log(x+4+2 5)−1)+(x+4−2 5)(log(x+4−2 5)−1)−(x+2)(log(x+2)−1)+
!
√
5
4
√ −(x+2) log(x+2)−x−6+c.
= (x+4) log(x2 +8x−4)+2 5 log 1 +
x+4−2 5
√
Esercizio 3 Osserviamo che
√
3x
3 ± 17
3x
log
= 0 ⇐⇒ 2
= 1 ⇐⇒ x =
.
x2 − 2
x −2
2
Quindi f (n) < 0 per ogni n ≥ 4 quindi la serie risulta definitivamente
negativa e pertanto non può essere indeterminata.
Inoltre per quanto studiato nell’Esercizio 1
lim f (n) = lim f|N f (x) = −∞,
n→+∞
x→+∞
quindi la serie, non potendo convergere nè essere indeterminata, risulta
divergente.
34
Soluzione della prova teorica:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
35
i.
iv.
i.
ii.
iv.
ii.
i.
i.
i.
iii.
i.
iii.
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Matematica 1 (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova scritta del 10 Settembre 2007
1. Studiare la funzione
1
f (x) = 2x+ x
e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda).
Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi
1
in
2. Tra tutte le primitive della funzione f (x) =
x(1 + log x)
determinare quella che vale 1 in x = 1.
1
, +∞
2
3. Stabilire il comportamento della serie
∞
X
1
2
n − n + n2
(−1) 2
.
n=1
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col
proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più
di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
36
Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Anno Accademico 2006-07
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova teorica del 10 Settembre 2007
Nome e Cognome .....................................................................................................
Rispondere ai seguenti quesiti:
1. Dal confronto tra i due grafici in figura si deduce che g : [a, a + 1] → R
è definita da
A. g(x) = f (x) + a
B. g(x) = f (x + a)
C. g(x) = f (x) + 1
D. g(x) = f [x − (a + 1)]
2. La funzione f (x) = ax2 + 2x + 1
A. è monotòna solo se a > 0
B. è monotòna solo se a = 0
C. è monotòna solo se a < 0
D. non è mai monotòna
np + 3n2 + 4
= 1 qual è l’unica possibilità?
n→+∞ np+q + np + 2
3. Se p > 2 e lim
A. p = q
B. p = −q
C. q = 0
D. n = 1
37
4. Se an ≥
sin n
, allora
2n
A. lim an ≥ 0
B. se esiste lim an allora è ≥ 0
1
C. se esiste lim an allora è ≥
2
D. se esiste lim an allora è ≥ 1
5. Se f : R → R è definita da
f (x) =
ax2 se x < 0
bx se x ≥ 0
quale tra le seguenti implicazioni può essere correttamente inserita al
posto dei puntini tra le affermazioni
x = 0 punto di minimo ........ ab ≥ 0?
i. =⇒ ma 6⇐=;
ii. ⇐= ma 6=⇒;
iii. ⇐⇒;
iv. nessuna delle precedenti.
6. Quante sono le soluzioni dell’equazione
f 0 (x) =
f (b) − f (a)
b−a
nel caso della funzione rappresentata nel grafico?
A. solo 1
38
B. 2
C. 3
D. infinite
7. Sia f : R → R derivabile, e sia g(x) = arcotgef (x) . Qual è l’affermazione falsa?
A. g è positiva
B. g è derivabile
C. g è non decrescente
D. g è definita in tutto R
8. Se nel grafico seguente è rappresentata la derivata seconda f 00 , qual è
il grafico di f ?
39
I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti
a loro scelta
1. Se lim a2n = 0 e lim a2n+1 = 3 allora la serie
∞
X
an
n=1
A. converge
B. diverge
C. è indeterminata
D. non lo si può stabilire
2. Per quali valori di t la serie
∞ n
X
t
converge?
n2
n=1
A. solo per t > 0
B. per nessun valore di t
C. per qualsiasi valore di t
D. nessuna delle affermazioni precedenti è corretta
Z 1
Z
3. Se f : [0, 1] → R è continua, e
f (x)dx = 3 quanto fa
0
− 12
f (2x + 2)dx?
−1
A. 3
B. 6
3
C.
2
D. non fa niente, perchè la scrittura non ha senso, dato che il dominio
di f è [0, 1], non [2, 4].
4. Se P è una primitiva di ef (x) allora
A. P 0 (x) = ef (x)
B. P 0 (x) = f (x)ef (x)−1
C. P 0 (x) = ef
0 (x)
D. P 0 (x) = f 0 (x)ef (x)
40
Correzione della prova scritta del 10 Settembre 2007
Esercizio 1. Il dominio della funzione è (−∞, 0[∪]0, +∞).
x2 +1
La funzione può equivalentemente scriversi come f (x) = 2 x .
Per la determinazione di eventuali asintoti del grafico, osserviamo che si ha
lim f (x) = 0 in quanto l’esponente tende a −∞; si tratta infatti del rapx→−∞
porto tra due polinomi, di cui il numeratore è di grado superiore al denominatore. Quindi l’asse x è un asintoto orizzontale per il grafico quando
x → −∞.
Anche lim f (x) = 0 perchè anche in questo caso l’esponente diverge a −∞;
x→0−
infatti il denominatore tende a 0 mantenendosi negativo, mentre il numeratore tende a 1. Invece lim f (x) = +∞ perchè in questo caso, con un rax→0+
gionamento analogo al precedente, l’esponente tende a +∞. Dunque l’asse
y è un asintoto verticale per il grafico della funzione.
Infine lim f (x) = +∞ perchè anche in questo caso l’esponente diverge a
x→+∞
+∞ in virtù di considerazioni analoghe a quelle relative al limite in −∞.
Per determinare l’eventuale presenza di asintoti obliqui, calcoliamo il limite
f (x)
lim
. E’ sufficiente trasformare la funzione come
x→+∞ x
2
x2 +1
x
=e
log 2
x2 +1
x
=e
x2 +1
x
log 2
.
Moltiplicando e dividendo per l’esponente, e ricordando che l’esponenziale
è sempre di ordine superiore al proprio esponente si trova
x2 +1
x2 + 1 e x log 2
log 2 lim
· 2
= +∞
x→+∞
x
x +1
log 2
x
in quanto prodotto di due infiniti.
Pertanto la funzione non ha asintoti obliqui.
Il calcolo della derivata prima fornisce
f 0 (x) = log 2 · 2
x2 +1
x
·
x2 − 1
x2
che è definita in tutto il campo di esistenza della funzione. Quindi, grazie
al Teorema di Fermat, i massimi e i minimi possono trovarsi solo tra gli zeri
della derivata prima.
Poichè un’esponenziale non è mai nulla, la derivata prima si annulla solo se
si annulla il terzo fattore, cioè solo se x = ±1.
Anche per lo studio del segno della derivata prima si riduce allo studio del
segno del numeratore dell’ultimo fattore; ora x2 − 1 > 0 per x < −1 e per
x > 1; quindi, per il Teorema di Lagrange, la funzione risulterà crescente
41
nella semiretta (−∞, −1] e nella semiretta [1, +∞), mentre sarà crescente
negli intervalli [−1, 0[ e ]0, 1]. In conclusione in x = −1 si ha un massimo
locale ed in x = 1 un minimo locale.
Infine il grafico della funzione sarà
1
Esercizio2. Effettuando la sostituzione t = 1 + log x, dt = dx ci si
x
riconduce al’integrale immediato
Z
Z
1
1
dx =
dt = log |t| + c = log(1 + log x) + c
x(1 + log x)
t
(si osservi che 1 + log x è positiva nell’intervallo considerato, quindi non vi
è più bisogno del modulo). Poichè la funzione integranda è continua, ricordando il Teorema di Torricelli-Barrow, l’integrale indefinito fornisce tutte le
primitive dell’integranda.
Rimane da determinare c in modo tale che la corrispondente primitiva
assuma valore 1 in x = 1, cioè occorre risolvere l’equazione in c
log(1 + log 1) + c = 1
cioè c = 1 − log 1 = 1. Pertanto la primitiva richiesta è P (x) = log(1 +
log x) + 1.
Esercizio 3. Poichè il fattore esponenziale è comunque di segno positivo, la serie è a segni
alterni.
Ricordando lo studio di funzione dell’E
− n2 +
sercizio 1, risulta 2
1
n2
= f (−n2 ). Poichè
42
lim −n2 = −∞, risulta
n→+∞
lim f (−n2 ) = 0, ed inoltre la successione è decrescente, perchè segue l’an-
n→+∞
damento del grafico di f per valori che divergono a −∞. In conclusione sono
verificate entrambe le condizioni del Criterio di convergenza di Leibnitz e
dunque la serie converge.
In alternativasi puòstudiare la convergenza assoluta della serie, osservando
− n2 +
che |an | = 2
1
n2
e che
2n
|an |
= 2 1.
1
2n 2 n
n
2
Quindi
|an |
=0
1
2n
e dato che la serie geometrica a denominatore converge (perchè di ragione
∞
X
1
< 1), per il Criterio del Confronto, converge anche la serie
|an | il che
2
n=1
equivale a dire che la serie assegnata converge anche assolutamente.
lim
Infine le risposte corrette alle domande a risposta multipla sono
43
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Matematica 1 (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova scritta del 18 Settembre 2007
1. Studiare la funzione
f (x) =
x3
|x2 − 1|
e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda).
Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi
√
Z
2.
3
Stabilire qual è il più grande tra i numeri log
√
Z
1
3
log
1
x
x2 + 1
x
dx
2
x +1
!
e
dx.
3. Stabilire il comportamento della serie
∞
X
n=1
"
log
n + sin n1
n2
!#2n
.
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col
proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più
di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
44
Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Anno Accademico 2006-07
Matematica 1 (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali)
Prova teorica del 18 Settembre 2007
Nome e Cognome .....................................................................................................
Rispondere ai seguenti quesiti:
1. Il grafico in figura rappresenta la funzione g(x) = ax3 + c. Qual è
l’affermazione corretta?
A. a > 0 e c > 0
B. a > 0 e c < 0
C. a < 0 e c > 0
D. a < 0 e c < 0
2. Data la funzione f : R → R definita da
ax2 se x > 0
f (x) =
bx2 se x < 0
quale tra le seguenti affermazioni può essere correttamente inserita al
posto dei puntini tra le seguenti affermazioni
f ha un flesso in x = 0 ..... ab < 0
45
?
i. =⇒ ma 6⇐=;
ii. ⇐= ma 6=⇒;
iii. ⇐⇒;
iv. nessuna delle precedenti.
3. Se I è un intervallo di estremi a < b (non importa se è aperto o chiuso),
e se 0 ∈ I 0 qual è l’affermazione impossibile?
A. a = 0
B. a > 0
C. b = 0
D. b > 0
4. Se (an )n e (bn )n sono due successioni, con lim an = 0 e lim bn = +∞
quale tra le seguenti successioni non può convergere a 0?
A. il prodotto an bn
B. la somma an + bn
an
C. il quoziente
bn
D. nessuna delle precedenti opzioni è accettabile, perchè possono convergere a 0 tutte e tre
5. Dati due numeri reali α e β, se
1
sin α +
n
lim
=1
1
n→+∞
β+
n
allora è impossibile che
A. α = 0 e β 6= 0
B. α 6= 0 e β 6= 0
C. α = β = 0
D. nessuna delle opzioni precedenti è impossibile perchè il limite fa
per forza 1
6. Se f : R → R ammette la derivata in xo allora
A. f è continua solo in xo
B. f è continua almeno in xo
C. f è continua in un intorno di xo
D. f è continua in tutto R perchè le funzioni derivabili sono continue
46
7. Data una funzione f : R → R che ammette due asintoti orizzontali,
quale di queste condizioni non assicura la limitatezza del codominio di
f?
A. f è continua
B. f è derivabile
C. f è monotòna
D. nessuna delle precedenti, sono tutte e tre sufficienti
8. L’applicazione f (x) = |x| nell’intervallo [-1,1] soddisfa le ipotesi di
quale di questi teoremi?
A. Teorema di Fermat
B. Teorema di Rolle
C. Teorema di Lagrange
D. nessuno dei precedenti
I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a
loro scelta
1. Se lim a2n = 0 e lim a2n+1 = 3 allora la serie
∞
X
|an |
n=1
A. converge
B. diverge
C. è indeterminata
D. non lo si può stabilire
2. Se
∞
X
xn
n=1
n
converge alla somma S, detta S 0 la somma della serie
∞
X
xn
n=1
n2
si ha
1
1
≤ 2 per ogni n ∈ N
n
n
B. S < S 0 certamente perchè la seconda serie diverge a +∞ (é il
prodotto di una serie convergente per una divergente a +∞)
xn
xn 1
C. S 0 = 0 perchè 2 =
→0
n
n n
D. non si può stabilire nessun confronto, perchè dipende dal segno di
xn .
A. S 0 ≤ S perchè
3. In quale di questi casi la funzione f (x) =
integrabile in [a, b]?
A. a > 0
47
x2
x+π
è certamente
+ 3x + 2
B. a < 0
C. b > 0
D. b < 0
4. Se f : [0, 1] → R è una funzione continua, F è la sua funzione integrale
e P una sua primitiva, qual è l’affermazione errata?
Z 1− 1
Z 1
n f (x)dx converge a
A. lim
f (x)dx
n→+∞ 1
0
2n
Z 1− 1
n f (x)dx converge a P (1) − P (0)
B. lim
1
n→+∞
2n
Z 1− 1
n f (x)dx converge a F (1)
C. lim
n→+∞ 1
2n
D. nessuna delle precedenti affermazioni è errata
48
Correzione della prova scritta del 18 Settembre 2007
Esercizio 1. Il dominio della funzione è (−∞, −1[∪] − 1, 1[∪]1, +∞).
La funzione può equivalentemente scriversi come

x3



 x2 − 1 per x ∈ (−∞, −1[∪]1, +∞)
f (x) =

3


 x
per x ∈] − 1, 1[.
1 − x2
Per la determinazione di eventuali asintoti del grafico, osserviamo che si ha
lim f (x) = −∞
x→−∞
in quanto rapporto tra due polinomi, di cui il numeratore è di grado superiore
al denominatore. Inoltre
f (x)
x3
= lim 3
=1
x→−∞ x
x→−∞ x − x
lim
stavolta perchè si tratta del rapporto tra polinomi aventi lo stesso grado, ed
infine
x3 − x(x2 − 1)
lim f (x) − x = lim
=0
x→−∞
x→−∞
x2 − 1
perchè si riduce al rapporto tra due polinomi di cui il numeratore di grado
inferiore al denominatore.
In conclusione la retta y = x è un asintoto obliquo per il grafico della
funzione quando x → −∞; e per ragioni di simmetria, gli stessi ragionamenti
sussistono nella ricerca degli asintoti quando x → +∞, ovvero y = x è un
asintoto obliquo per il grafico anche per x → +∞.
Studiamo il comportamento in prossimità dei punti x = −1 e x = 1; ancora per ragioni di simmetria è sufficiente studiare solo il comportamento della funzione in prossimità di uno solo dei due, per l’altro varrà un
comportamento speculare.
Consideriamo quindi il limite
lim f (x) = −∞
x→−1
in quanto il denominatore tende a 0 mantenendosi positivo (ricordiamo che
nella scrittura originaria, a denominatore era presente un valore assoluto...),
mentre il numeratore tende a -1; quindi si tratta di una funzione che per
x < 0 assume valori negativi, e poichè il denominatore tende a 0, essa
diverge, ma con segno negativo.
Pertanto le rette x = −1 e x = 1 sono due asintoti verticali per il grafico
della funzione.
49
Il calcolo della derivata prima fornisce
 2 2
x (x − 3)


se x ∈ (−∞, −1[∪]1, +∞)

 (x2 − 1)2

0
f (x) =


x2 (x2 − 3)


 − 2
se x ∈] − 1, 1[
(x − 1)2
che è definita in tutto il campo di esistenza della funzione. Quindi non vi
sono punti di non derivabilità e, grazie al Teorema di Fermat, i massimi e i
minimi possono trovarsi solo tra gli zeri della derivata
√ prima.
√
L’equazione f 0 (x) = 0 fornisce le tre soluzioni x = − 3, x = 0, x = 3
Anche lo studio del segno della derivata prima si riduce allo studio del
segno del numeratore per entrambe le espressioni, perchè il quadrato a
denominatore è sempre positivo.
√
√
Le soluzioni della disequazione f 0 (x) > 0 sono le x ∈ (−∞ − 3[∪] 3 + ∞)
per la prima espressione, mentre la seconda legge è di segno positivo in tutto
]-1,1[.
√
√
Pertanto la funzione
√ è crescente in (−∞
√ − 3], in ] − 1, 1[ ed in [ 3 + ∞),
e decrescente in [− √3, −1[ ed in ]1, 3].
√
Se ne deduce che − 3 è un punto di massimo locale, e 3 di minimo locale,
mentre il punto x = 0 non è nè di massimo nè di minimo, e poichè in esso
la derivata si annulla, si tratta di un punto di flesso a tangente orizzontale.
Infine il grafico della funzione sarà
50
Esercizio 2. Dobbiamo intanto calcolare i due integrali indefiniti
Z
Z
x
x
dx.
dx, log
x2 + 1
x2 + 1
Il primo è un integrale che si risolve con l’immediata sostituzione t = x2 +
1, dt = 2xdx: Pertanto
Z
Z
Z
x
1
2x
1
1
1
1
dx
=
dx
=
dt = log |t| + c = log(x2 + 1) + c
x2 + 1
2
x2 + 1
2
t
2
2
(si noti che x2 +1 è sempre positivo, e quindi non è più necessario considerare
il modulo). Il secondo integrale si riconduce, tramite un’applicazione della
Regola di integrazione per parti, all’integrale di una funzione razionale fratta
Z
Z
x
1 − x2
x
dx
=
x
log
−
log
dx.
x2 + 1
x2 + 1
1 + x2
Ora l’integrale a ultimo membro può decomporsi come
Z
Z
Z
Z
1 − x2
2 − (x2 + 1)
1
dx =
dx = 2
dx− dx = 2arcotgx−x+c.
1 + x2
1 + x2
1 + x2
In conclusione
Z
log
x
2
x +1
dx = x log
x
2
x +1
− 2arcotgx + x + c.
Per effettuare la scelta richiesta, occorre ora calcolare gli integrali definiti
√
Z
3
1
√
x
dx,
x2 + 1
Z
3
log
1
x
x2 + 1
dx.
Applicando la Formula di Newton-Leibnitz si ha
√
Z
1
3
x2
√
x
1
1
dx = log 4 − log 2 = log 2.
+1
2
2
Pertanto
√
Z
log
1
3
x
dx
2
x +1
!
= log(log
√
2).
Invece, sempre con la Formula di Newton-Leibnitz, si trova che
√ !
Z √3
√
x
3
π √
1 π
π √
log
dx
=
3
log
−2
+
3−log
+2
−1
=
−
+ 3 log
x2 + 1
4
3
2
4
6
1
Si può infine effettuare il confronto utilizzando una calcolatrice tascabile, e si
trova che il primo numero è negativo (come d’altronde si può rilevare senza
51
√ !
√
3
+log 2+ 3−1.
4
bisogno della calcolatrice), il secondo è positivo, e quindi è il più grande dei
due.
Esercizio 3. Si tratta di una serie a termini positivi, in quanto l’esponente
2n è sempre pari.
Vista l’espressione del termine generale, in cui compare n all’esponente,
risulta conveniente applicare il Criterio della Radice
√
n
"
n + sin n1
n2
an = log
!#2
.
Per calcolare il limite, osserviamo che per l’argomento del logaritmo si ha
n + sin n1
1
1
1
= lim
+ 2 sin = 0
2
n→∞
n→∞ n
n
n
n
lim
e quindi
lim log
n→∞
n + sin n1
= −∞
n2
da cui
lim
n→∞
√
n
an = +∞
e dunque la serie diverge.
52