Verifica del Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Verifica del Principio di
Indeterminazione di Heisenberg
∆x ∆vx ≈ cost
Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg e’ uno dei principi su cui si
fonda la Meccanica Quantistica (MQ)
La MQ e’ la teoria che descrive il mondo microscopico, il mondo delle
particelle
Noi lo verifichiamo con l’utilizzo di un laser
Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg e’ uno dei principi su cui si
fonda la Meccanica Quantistica (MQ)
La MQ e’ la teoria che descrive il mondo microscopico, il mondo delle
particelle
Noi lo verifichiamo con l’utilizzo di un laser
DOMANDA
il laser e’ luce, quindi un’onda elettromagnetica
Come facciamo a verificare con la luce un principio di una teoria che
descrive le particelle?
Ha la luce una natura corpuscolare?
Cerchiamo di rispondere a questa domanda
La natura corpuscolare della luce
La luce visibile e’ solo una porzione dello spettro delle onde elettromagnetiche
Raggi gamma
Raggi cosmici
Radioattivita’
Raggi X Ultravioletto Visibile
Microonde
Infrarosso
Onde radio
Anche i raggi X sono onde elettromagnetiche, non visibili all’occhio
Analizziamo in dettaglio una radiografia
La natura corpuscolare della luce
Risulta evidente come il fascio di raggi X possa essere visto come una
“grandinata” di “corpuscoli di luce”
La natura corpuscolare della luce
Importanti fenomeni segnano il percorso storico che porto’ ad individuare la
natura corpuscolare della luce:
Effetto fotoelettrico scoperto da Einstein che conio’ il termine di “quanto di
luce” per identificare gli effetti corpuscolari della luce
Effetto Compton che si spiega trattando la luce come composta da
particelle
Le particelle che compongono la luce si chiamano FOTONI
Recenti esperimenti di diffrazione eseguiti con singoli fotoni mostrano la
natura corpuscolare governata da una descrizione ondulatoria
La natura ondulatoria delle particelle
Anche le particelle fanno diffrazione
Diffrazione di elettroni
La diffrazione e’ un fenomeno ondulatorio
le particelle hanno dei comportamenti ondulatori
Dualismo onda-corpuscolo
La luce, che e’ un’onda elettromagnetica, mostra una natura corpuscolare
Da non confondere con l’interpretazione che ne dava Newton
• nell’ottica geometrica li considerava corpuscoli classici
Gli effetti ondulatori, come diffrazione e interferenza, si evidenziano quando gli
ostacoli sono “piccoli” e questi fenomeni non si spiegano con i corpuscoli classici di
Newton.
Le particelle hanno comportamenti ondulatori
da queste considerazioni nasce il Dualismo onda-corpuscolo
Spesso nella divulgazione della MQ si parla di dualismo onda-particella in questi
termini “le particelle si comportano a volte come onde a volte come particelle”
Sembra che a volte si possano considerare come palline, quindi interpretabili nell’ambito della
meccanica classica, mentre altre volte si possano considerare come onde.
SBAGLIATO!
Parliamo un po’ di Meccanica Quantistica e spieghiamo il perche’
La Meccanica Quantistica
La MQ descrive una particella associando a questa una Funzione
d’onda
La funzione d’onda e’ una funzione matematica di “forma” simile alla funzione che si
usa per descrivere un’onda
Dalla funzione d’onda si ottiene la probabilita’ che la particella si trovi in un
certo stato (posizione, velocita’, spin etc etc)
Funzione d’onda 
Probabilita’ di uno stato
La meccanica quantistica prevede il fenomeno in termini di
probabilita’
La Meccanica Quantistica
Vediamo l’esempio della
diffrazione (luce o particelle e’
indifferente)
Funzione d’onda al quadrato =
Probabilita’ del punto di
incidenza oltre la fenditura
Se c’e’ una sola particella
potete solo prevedere con
quale probabilita’ incidera’ in
un punto piuttosto che in un
altro. Come negli esperimenti
di singoli fotoni o singoli
elettroni
Fenditura
Fascio di
particelle
La Meccanica Quantistica
La meccanica quantistica prevede/descrive il fenomeno in termini
di probabilita’
Come facciamo sperimentalmente a verificare la MQ?
Facciamo un esempio: come facciamo a sperimentare se un dado e’ truccato o
no?
La teoria della probabilita’ dice che ogni faccia ha probabilita’ 1/6 di uscire.
Basta un solo lancio per verificare questo? NO
Abbiamo bisogno di eseguire tanti lanci, piu’ grande e’ il numero di lanci,
piu’ accurato sara’ il risultato
Per esempio su 600 lanci :
•
•
•
•
•
•
98 volte esce 1
102 volte esce 2
103 volte esce 3
97 volte esce 4
105 volte esce 5
95 volte esce il 6
• Possiamo dire con buona approssimazione che il dado non e’ truccato e
che la teoria della probabilita’ usata e’ valida.
La Meccanica Quantistica
In MQ si effettuano misure statistiche su grandi campioni di
particelle
Un fascio laser e’ un insieme di tanti fotoni
Un fascio di elettroni e’ un campione molto popolato di particelle
Man mano che il numero di particelle incidenti aumenta si viene a formare la
figura di diffrazione, che e’ la probabilita’ ottenuta dalla funzione d’onda
fotoni
elettroni
… Dualismo onda-corpuscolo
Riprendiamo il dualismo onda-particella
“le particelle si comportano a volte come onde a volte come particelle” e’
SBAGLIATO!
Perche’ le particelle sono entita’ che mostrano una natura corpuscolare, ma il
loro comportamento si puo’ descrivere solo con una matematica basata sulla
funzione d’onda (carattere ondulatorio).
Non si deve pensare alle particelle come palline classiche dai comportamenti
strani
La Misura in Meccanica Quantistica
La misura statistica spesso implica dover fare una Misura Selettiva
Su un campione si misura una grandezza limitata entro un certo
intervallo
Si ripetono le misure su intervalli diversi
Esempio di scattering
Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Quando si esegua una misura su un sistema quantistico, si disturba
inevitabilmente il sistema
Per sondare un atomo su usano altre particelle come proiettili, che
inevitabilmente urtano l’atomo stesso
Per misurare la posizione si mettono delle barriere selettive
Etc etc
Nel processo di misura, dall’interazione con il sistema stesso emerge il
principio di indeterminazione.
Il principio di indeterminazione, in generale, proibisce di misurare, quindi
conoscere, simultaneamente con estrema precisione due grandezze fra di
loro incompatibili.
Nel nostro esempio due grandezze incompatibili sono la posizione e la
velocita’
Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg
∆x ∆vx ≈ cost
Errore misura posizione della
particella lungo la direzione x
Errore misura velocita’ della
particella lungo la direzione x
Vale il Principio di Indeterminazione per le coppie:
y – vy
z – vz
Non vale il Principio di Indeterminazione per le coppie
y – vx
x – vy
….
Il Principio di Indeterminazione in laboratorio
Il fascio laser e’ un insieme di fotoni che
viaggiano paralleli alla velocita’ della luce c lungo la direzione y
Vx = 0 Vy = c
sono distribuiti spazialmente su una superficie circa circolare
ortogonale a y
Noi ci limitiamo alla distribuzione spaziale lungo la direzione x
x
y
Il Principio di Indeterminazione in laboratorio
x
d
-- x0
Misura selettiva
y
Interporre sul fascio una fenditura di larghezza d nella posizione x0 equivale
a selezionare una porzione di fotoni con posizione
x0 – d/2 ≤ x ≤ x0 + d/2
con x = x0 ± d/2
Supponiamo di misurare senza fenditura Intensita’ = 100
Con fenditura Intensita’ = 20
Possiamo dire di avere un 20% di fotoni del fascio laser con posizione con x = x0 ± d/2
Il Principio di Indeterminazione in laboratorio
La fenditura fa una misura selettiva della posizione x dei fotoni
Ma cosa succede al fascio dopo la fenditura?
x
y
Prima della fenditura Vx = 0
Dopo la fenditura
Vx ≠ 0
Il Principio di Indeterminazione in laboratorio
Prima della fenditura conoscevamo con certezza che Vx = 0, ma non
sapevamo nulla sulla posizione x
La fenditura fornisce una misura di x
Ma il principio di indeterminazione ci vieta di continuare a conoscere Vx
con certezza come prima
Infatti dopo la misura di x, abbiamo Vx ≠ 0 o meglio Vx = 0 ± ∆Vx
c
+∆Vx
Vy
c
x
y
-∆Vx
Il Principio di Indeterminazione in laboratorio
La larghezza della fenditura equivale all’incertezza sulla misura di x
∆x
La larghezza del picco centrale della figura di diffrazione e’ proporzionale
all’incertezza sulla componente x della velocita’
∆Vx
Il picco di luce contiene xx% dell’intensita’ di tutta la figura di diffrazione
Eseguendo le misure di ∆vx per diversi valori di ∆x possiamo verificare se il
prodotto e’ costante come indicato dal principio di indeterminazione
∆x ∆vx ≈ cost
Esecuzione dell’esperienza
Calibrazione della fenditura
Si chiude la fenditura con l’apposito pomello graduato
La si apre contando il numero di giri fino ad ottenere un’apertura di
qualche mm
Si misura con il calibro l’apertura ottenuta e si determina a quale
apertura equivale una tacca del pomello graduato, che corrisponde
all’errore sulla misura dell’apertura
Si posiziona lo schermo per la visualizzazione della figura di diffrazione.
Si posiziona la fenditura davanti al laser e si regola l’apertura fino ad
ottenere la figura di diffrazione, tenendo conto del numero di giri.
Si misura la larghezza del picco centrale della figura di diffrazione per
diverse regolazioni della fenditura. L’errore sara’ dato dallo strumento
usato e dalla capacita’ di distinguere i limiti del picco centrale.
Raccolta ed elaborazione dei dati
Riportare i dati usati per la calibrazione
Riportare in tabella i valori misurati di
d = apertura della fenditura
D = larghezza del picco della figura di diffrazione
E i corrispondenti errori ∆d e ∆D
Calcolare il prodotto P = d×D
Calcolare l’errore sul prodotto ∆P
Riportare in un grafico su carta millimetrata tutti i valori di P e ∆P per
verificare la costanza di P
• d e’ proporzionale ∆x
• D e’ proporzionale ∆vx
• Quindi per verificare il principio di indeterminazione basta verificare la
costanza del prodotto P.