G. Ferrari
M. Cerini
D. Giallongo
Piattaforma
Piattaforma
Matematica
Informatica
TREVISINI EDITORE
Geometria 2
UNITÀ 8
UNITÀ 8
Informatica
EQUIESTENSIONE E AREA
DEI POLIGONI
1. Triangoli equiestesi
•Traccia un segmento verticale e rinominane gli estremi con E ed F;
•dai due estremi traccia le perpendicolari al segmento e rinomina r quella
superiore ed s quella inferiore;
•nascondi il segmento iniziale e i suoi estremi;
•disegna due nuovi punti A e B sulla retta s ed un punto C sulla retta r;
•usa il comando Poligono per individuare il triangolo ABC;
•usa il comando Distanza o lunghezza per misurare il perimetro di ABC: dopo
aver selezionato l’icona, clicca in un punto qualsiasi all’interno del triangolo;
•usa il comando Area nella stessa casella degli strumenti Angoli e misura
(8a icona) per misurare la superficie di ABC: dopo aver selezionato l’icona,
clicca in un punto qualsiasi all’interno del triangolo;
•seleziona il vertice C e tieni premuto il pulsante del mouse in modo che compaia la “mano che punta”;
• tenendo sempre premuto il pulsante del mouse, fa scorrere il vertice C sulla retta r;
• osserva l’area e il perimetro del triangolo che
di volta in volta ottieni.
Il perimetro cambia? .........................................
L’area cambia? ............ Per quale motivo l’area
non cambia? .......................................................
..............................................................................
• Fai scorrere ora il punto A oppure B sulla retta
s. Che cosa osservi? ...........................................
..............................................................................
NB: se si costruiscono le parallele con l’apposito comando, le rette stesse non si bloccano,
per cui la dimostrazione non è efficace.
2. Parallelogrammi equiestesi
• Traccia un segmento verticale e rinominane
gli estremi con E ed F;
• dai due estremi traccia le perpendicolari al
segmento e rinomina r quella superiore e s
quella inferiore;
• nascondi il segmento iniziale e i suoi estremi;
• disegna due nuovi punti A e B sulla retta s
ed un punto C sulla retta r poco più a destra
rispetto a B;
• disegna la retta passante per i punti B e C;
• traccia la parallela a questa retta passante per
il punto A;
2
Equiestensione e area dei poligoni - UNITÀ 8
Informatica
•con il comando Intersezione di due oggetti fissa il punto d’intersezione D
con la retta r;
•usa il comando Poligono per individuare il parallelogramma ABCD;
•usa il comando Distanza o lunghezza per misurare il perimetro di ABCD;
•usa il comando Area per misurare la superficie di ABCD;
•fai scorrere il punto D sulla retta r in modo da ottenere nuovi parallelogrammi.
Il perimetro di ABCD cambia? ............... E l’area? ............... Dai una spiegazione a questa situazione. ...................................................................................
.................................................................................................................................
..................................................................................................................................
•Usa il comando Angolo per misurare l’ampiezza dell’angolo A;
•fai scorrere ancora il punto D sulla retta r in modo che l’angolo A diventi
retto. Che parallelogramma hai ottenuto? ..................... Confronta la misura
del suo perimetro con quelle degli altri parallelogrammi che ottieni facendo
scorrere il punto D. Che cosa osservi? ...............................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
3. Rombi isoperimetrici
• Disegna un punto sulla vista grafica e fissalo;
• usa il comando Circonferenza della casella degli strumenti Circonferenza e
arco (6a icona) per tracciare una circonferenza di centro A e di raggio scelto
a piacere;
• usa il comando Nuovo punto per individuare un altro punto della circonferenza: rinominalo D;
• nascondi la circonferenza utilizzando il comando Mostra/Nascondi dell’Elenco oggetti;
• traccia una retta passante per i punti B e D;
• individua il simmetrico del punto A rispetto alla retta passante per i punti B e
D, usando il comando Simmetrico rispetto ad una retta della casella degli
strumenti Trasformazioni (9a icona). Rinomina questo punto con la lettera C;
• nascondi la retta passante per B e D utilizzando il comando Mostra/Nascondi;
• costruisci il poligono ABCD utilizzando il comando Poligono;
• misura l’ampiezza dell’angolo A utilizzando il comando Angolo (ricordati
sempre di cliccare i vertici in senso orario, quindi BAD);
• misura la lunghezza di un lato e il perimetro di ABCD utilizzando il comando
Distanza o lunghezza;
• determina l’area di ABCD con il comando Area;
• trasforma ABCD trascinando il vertice D e controlla di volta in volta la misura
del perimetro e l’area del rombo ottenuto. Il perimetro cambia? ............................
E l’area? ................ Dai una spiegazione a questa situazione;
• trasforma ABCD in modo che l’angolo in A diventi di 90°. Che figura hai
ottenuto?............................................. Confronta l’area di questo rombo con
quelle degli altri che ottieni effettuando la trasformazione, che cosa osservi?
.................................................................................................................................
• usa il comando Mostra/Nascondi per fare riapparire il cerchio e la retta utilizzati per la costruzione del rombo ABCD. Effettua le trasformazioni indicate
nei punti precedenti e osserva che cosa succede ai punti B e D.
3
Equiestensione e area dei poligoni - UNITÀ 8
Informatica
4. Equiestensione tra parallelogramma e triangolo
•Disegna un parallelogramma e indica i suoi vertici con le lettere A, B, C, D;
•individua il punto A’ simmetrico di A rispetto al punto B col comando Simmetrico rispetto a un punto;
• usa il comando Poligono per individuare il triangolo AA'D;
• individua il punto d’intersezione di
BC e DA' e rinominalo con O;
• usa il comando Area per misurare
la superficie del parallelogramma
ABCD e quella del triangolo AA'D.
Che cosa osservi? ...............................
..............................................................
..............................................................
..............................................................
• verifica la congruenza dei triangoli
DOC e BA'O misurando le lunghezze
dei lati corrispondenti (DC e BA', OB
e OC, OD e OA').
5. Equiestensione tra trapezio e triangolo
•Disegna un trapezio scaleno ABCD (nel disegnare i punti ricordati di farlo
in senso antiorario) ed evidenzialo col comando Poligono;
•misura la lunghezza della base minore DC;
• per disegnare un segmento BE congruente a DC e adiacente ad AB usa lo strumento Compasso: puntalo in uno dei due estremi di DC, ottenendo la circonferenza
di raggio DC; sposta la circonferenza facendo coincidere il centro con B; trova il
punto d’intersezione tra la circonferenza e il prolungamento della base maggiore
AB e nominalo E; nascondi la circonferenza e l’altro punto di intersezione;
•utilizza il comando Poligono per individuare il triangolo AED;
4
Equiestensione e area dei poligoni - UNITÀ 8
Informatica
•individua il punto d’intersezione dei segmenti DE e BC e rinominalo con la
lettera O;
•determina le aree di ABCD e AED. Che cosa osservi? .....................................
..................................................................................................................................
•Verifica la congruenza dei triangoli DOC e BEO misurando le lunghezze dei
lati corrispondenti.
6. Suddivisione del quadrato in parti congruenti
• Disegna un quadrato ABCD utilizzando il comando Poligono regolare;
• trova il centro del quadrato tracciando le diagonali e trovandone il punto
d’incontro e rinominandolo O (nascondi poi le diagonali);
• traccia una qualsiasi retta che passi per il centro
del quadrato, poi nascondilo (devi fissare un
punto E sul lato AB e usare il comando Retta
per due punti); indica l’altro punto d’intersezione con il lato del quadrato con la lettera F;
• usa il comando Poligono per individuare i poligoni EBCF e AEFD;
• usa il comando Area per misurare le superfici
dei due poligoni;
• usa il comando Distanza o lunghezza per verificare che i lati corrispondenti dei due poligoni
hanno uguale lunghezza;
• usa il comando Angolo per verificare che gli
angoli corrispondenti dei due poligoni hanno
uguale ampiezza; in base ai controlli effettuati
che cosa puoi affermare? ....................................
................................................................................
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UNITÀ 9
UNITÀ 9
Informatica
TEOREMA DI PITAGORA
E SUE APPLICAZIONI
1. Dimostrazione del teorema di Pitagora
•Visualizza la griglia nella Vista Grafica (dal menù Visualizza – Griglia) e, aiutandoti con le linee, costruisci col comando Poligono un triangolo rettangolo con
il cateto minore come base e con (cateto minore) = 2 e C (cateto maggiore) = 4;
•indica il cateto minore con c, il cateto maggiore con C e l’ipotenusa con i; per
farlo clicca col tasto destro, vai sulle Proprietà — Fondamentali e seleziona
per i tre lati del triangolo l’opzione Mostra etichetta — Nome e valore;
•costruisci due quadrati congruenti aventi la misura del lato uguale alla somma
delle misure dei due cateti del triangolo rettangolo: per fare questo, calcola
la somma, poi seleziona il comando Poligono regolare, fai il primo lato di
6 cm e digita 4, per il numero dei lati;
•riporta le misure dei due cateti su tutti i lati dei quadrati, usando il comando
Punto su oggetto, come indicato nelle figure che seguono; in corrispondenza di ogni segmento metti una casella di testo (strumenti Oggetti speciali
comando Inserisci testo, 10a icona) con scritto c o C (più velocemente puoi
scrivere una casella di testo e dal menù Modifica fare Copia e subito Incolla:
ti comparirà la casella di testo da posizionare dove vuoi. Ora per le altre puoi
dare solo il comando incolla. Ripeti anche per l’altra casella di testo);
•usa il comando Poligono per disegnare i quadrati illustrati nelle figure e
colorali selezionandoli col tasto destro e scegliendo la voce Proprietà —
Colore; per scurirli vai nell’opzione Stile e varia l’Opacità;
•ora osserva:
- il quadrato verde è equivalente alla somma dei quadrati giallo e azzurro?
Spiegane il motivo: .............................................................................................
.................................................................................................................................
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teorema di Pitagora e sue applicazioni - UNITÀ 9
Informatica
- il lato del quadrato verde a quale elemento del triangolo rettangolo di partenza è congruente? ............................................................................................
................................................................................................................................
- i lati dei quadrati giallo e azzurro a quali elementi del triangolo rettangolo
di partenza sono congruenti? ............................................................................
.................................................................................................................................
Puoi pertanto concludere che il quadrato costruito sull’.........................................
è equivalente alla ................................ dei quadrati costruiti sui .............................
In simboli: i2 = c2 + C2.
•Verifica questa equivalenza determinando le aree dei tre quadrati con il comando Area.
2. Verifica del teorema di Pitagora
• Costruisci due rette perpendicolari in A (comando Retta per due punti e
poi Retta perpendicolare);
• usa il comando Nuovo punto della casella degli strumenti Punto per fissare
un altro punto C sulla perpendicolare;
• disegna il triangolo rettangolo ABC utilizzando il comando Poligono;
• tratteggia le due rette perpendicolari (Proprietà — Stile — Stile tratto);
• costruisci il quadrato sull’ipotenusa BC procedendo nel seguente modo:
– traccia due rette perpendicolari all’ipotenusa passanti rispettivamente per
gli estremi B e C;
– traccia la bisettrice di ognuno dei due angoli retti individuati in B e C, utilizzando il comando Bisettrice e nascondi le perpendicolari che vengono
disegnate in automatico;
– usa il comando Intersezione di due oggetti per individuare i punti d’intersezione delle due bisettrici con le rette perpendicolari all’ipotenusa BC;
– utilizza il comando Poligono per costruire il quadrato avente per vertici B,
C e i due punti d’intersezione individuati;
– usa il comando Mostra/Nascondi per nascondere le rette perpendicolari
e le bisettrici utilizzate per la costruzione del quadrato;
7
teorema di Pitagora e sue applicazioni - UNITÀ 9
Informatica
• costruisci i quadrati aventi per lati i cateti AB e AC del triangolo rettangolo
ABC (se usi il comando Poligono regolare seleziona, nell’ordine, i vertici A
e C, B e A, altrimenti il quadrato verrà sovrapposto al triangolo);
• determina le aree dei tre quadrati utilizzando il comando Area della casella
degli strumenti Angoli e misura;
• somma le aree dei quadrati costruiti sui due cateti e confronta il risultato con
l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Che cosa osservi?
• Cambia più volte la forma del triangolo rettangolo ABC, spostando i vertici
B e C. In ogni triangolo rettangolo costruito vale la relazione di uguaglianza
individuata precedentemente? ................
Scrivi l’enunciato del teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo il
quadrato costruito sull’...............................è ............................... alla ..................... dei quadrati costruiti sui .....................................................................................
In simboli, indicando l’ipotenusa con la lettera c e i due cateti con le lettere
a e b, questa relazione si esprime: .......................................................................
................................................................................................................................
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UNITÀ 10
UNITÀ 10
Informatica
LE TRASFORMAZIONI
ISOMETRICHE
1. Traslazione
•Disegna due punti qualsiasi e rinominali M e N;
•usa il comando Vettore tra due punti della casella degli strumenti Rette per
tracciare un vettore di lunghezza (modulo), direzione e verso scelti a piacere
con estremi M e N;
• disegna un quadrilatero generico ABCD;
• fissa un punto interno al quadrilatero e indicalo
con la lettera P;
• scegli il comando Traslazione della casella degli
strumenti Trasformazione;
• esegui la traslazione cliccando prima su ABCD
e poi sul vettore (compare la scritta “di questo
vettore”). Esegui la traslazione anche del punto P;
• costruisci i segmenti AA', BB ', CC ', DD ' e PP ' e
tratteggiali usando il comando Stile tratto (clicca su un segmento col tasto destro, seleziona
Proprietà — Stile; gli altri segmenti selezionali
direttamente dall’elenco a sinistra nella finestra
Proprietà, il segmento selezionato viene evidenziato sulla figura);
• misura le lunghezze di questi segmenti usando
il comando Distanza o lunghezza e confrontale
con quella del vettore;
• verifica il parallelismo di questi segmenti, tra di
loro e con il vettore, usando il comando Parallelo.
Osservando i risultati di queste verifiche, puoi affermare che nella traslazione della figura considerata tutti i suoi punti si spostano sul piano lungo
la stessa ..........................., nello stesso ................. e
della ............................ lunghezza.
• Verifica la congruenza degli angoli corrispondenti
(A e A’, B e B’ ecc.) usando il comando Angolo.
Controlla anche l’orientamento degli angoli nelle
due figure (i vertici degli angoli seguono lo stesso
verso antiorario nelle due figure?);
• verifica la congruenza dei lati corrispondenti (AB,
A'B' ecc.) usando il comando Distanza o lunghezza
(eventualmente nascondi qualche misura precedente);
• verifica il parallelismo dei lati corrispondenti usando
il comando Retta parallela: anche senza disegnarla,
clicca sul comando e trascina la retta che compare
sul lato corrispondente verificandone la congruenza, poi, per farla scomparire, clicca su Esc;
• verifica l’equiestensione di ABCD e A'B 'C 'D '
usando il comando Area.
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Le trasformazioni isometriche - UNITÀ 10
Informatica
In base ai controlli effettuati puoi affermare che la traslazione considerata è
una trasformazione geometrica che:
– trasforma i segmenti in segmenti .......................................................... e paralleli;
– trasforma gli angoli in angoli ...................... e ne .......................... l’orientamento;
– mantiene l’ ....................................................................................... della figura;
– mantiene il ............................................... tra lati .................................................
2. Rotazione
• Disegna un triangolo generico ABC e fissa un suo punto interno rinominandolo P;
• fissa il punto intorno al quale dovrà avvenire la rotazione e indicalo con la lettera O;
•scegli il comando Rotazione della casella degli strumenti Trasformazione:
clicca sul triangolo ABC, poi nel centro O e infine scrivi 45° quando compare
la finestra dell’angolo di rotazione (in realtà già compare, puoi anche scegliere
il senso, orario o antiorario);
• procedi nello stesso modo per far ruotare il
punto P;
• usa il comando Segmento tra due punti per
congiungere A e A' con O, B e B ' con O, C e
C ' con O, P e P ' con O. Tratteggia i segmenti
ottenuti;
• usa il comando Relazione tra due oggetti della
casella degli strumenti Oggetti speciali (10a icona) per verificare che il centro di rotazione O è
equidistante dai punti corrispondenti A e A' (seleziona i segmenti corrispondenti, es. AO e A'O:
ti compare la relazione tra i due, in particolare
la prima frase ti specifica che sono due oggetti
distinti, la seconda se hanno lunghezza uguale).
Verifica che il punto O gode della stessa proprietà
anche rispetto alle altre coppie di punti corrispondenti. In base alle osservazioni fatte puoi dire che
la rotazione nel piano della figura considerata è
una trasformazione in cui ogni suo punto effettua
una rotazione della stessa ...................................
intorno al ........................ di ...............................
• Misura le ampiezze degli angoli dei triangoli
ABC e A'B 'C ' e controlla il loro orientamento
(i vertici degli angoli seguono lo stesso verso
nelle due figure?);
• misura le lunghezze dei lati dei due triangoli;
• misura le superfici dei due triangoli.
In base ai controlli effettuati puoi concludere
che la rotazione considerata è una trasformazione geometrica in cui:
– i segmenti sono trasformati in segmenti .............................................................................;
– gli angoli sono trasformati in angoli
....................... e mantengono l’ ..........................;
– si mantiene .................................. della figura.
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Le trasformazioni isometriche - UNITÀ 10
Informatica
3. Individuazione di centro e ampiezza
di una rotazione
• Disegna un segmento AB e determina la sua misura;
• dopo aver fissato un punto A’ (rinominalo tu così) in una posizione scelta
a piacere, usa il comando Compasso per tracciare il segmento A’B’ avente
la stessa lunghezza di AB: traccia la circonferenza di raggio AB, portane il
centro a coincidere su A’, traccia la circonferenza, scegli un punto qualsiasi
su essa, rinominalo B’, e traccia il segmento tra i due punti; infine nascondi
la circonferenza;
• traccia i segmenti AA’ e BB’ e poi tratteggiali;
• usa il comando Asse di un segmento (Rette speciali) per tracciare gli assi
dei segmenti AA’ e BB’;
• usa il comando Intersezione di due oggetti per individuare il punto d’intersezione dei due assi e rinominalo con la lettera O;
• traccia i segmenti AO, A’O, OB, OB’,
tratteggiali e cambiane il colore e usa
il comando Relazione tra due oggetti della casella degli strumenti Oggetti
speciali (10a icona) per stabilire l’equidistanza del centro O dai punti A e A’
e da B e B’;
• ora determina la loro lunghezza. Che
cosa osservi? ..........................................
..................................................................
..................................................................
• misura le ampiezze degli angoli AOA’ e
BOB’.
Hanno uguale ampiezza? ......................
Quindi il segmento AB è stato ...............
................................ di ...............................
intorno al punto .....................................
4. Simmetria centrale
•Disegna un quadrilatero generico ABCD (non molto grande);
•fissa un punto sul foglio non troppo lontano dal quadrilatero e indicalo con
la lettera O;
•scegli il comando Simmetria centrale della casella degli strumenti Trasformazione;
•clicca prima sul quadrilatero ABCD, poi sul punto O;
•congiungi i punti corrispondenti dei due quadrilateri usando il comando
Segmento tra due punti, cambiane il colore e tratteggiali;
•misura i due segmenti AO e A'O; come sono tra di loro? ...............................
Quindi O è il ...................................................... del segmento AA';
•verifica che O è il punto medio anche dei segmenti BB ', CC ' e DD '.
In base all’osservazione fatta puoi dire che la simmetria centrale considerata
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Le trasformazioni isometriche - UNITÀ 10
Informatica
è una trasformazione geometrica in cui ogni punto di una figura effettua un
ribaltamento intorno ............................................................................................
•Con il comando Distanza o lunghezza calcola le misure dei lati corrispondenti dei due quadrilateri;
• usa il comando Angolo per calcolare le ampiezze degli angoli corrispondenti. Controlla
anche l’orientamento (orario oppure antiorario) degli angoli nelle due figure;
• usa il comando Area per misurare le superfici dei due quadrilateri.
In base ai controlli effettuati puoi dire che la
simmetria centrale considerata è una trasformazione geometrica in cui:
– i segmenti .........................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
– gli angoli ..........................................................
...........................................................................
...........................................................................
– la superficie ......................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
5. Simmetria assiale
•Disegna un pentagono concavo (non molto grande) con il comando Poligono;
• usa il comando Retta per due punti per tracciare l’asse di simmetria nella posizione
che preferisci. Indica l’asse di simmetria con la lettera s e nascondi i due punti;
•scegli il comando Simmetria assiale della casella degli strumenti Trasformazione;
•clicca prima sul pentagono ABCDE, poi sulla retta s;
•usa il comando Segmento per due punti per congiungere i punti corrispondenti delle due figure e tratteggia questi segmenti;
•con il comando Intersezione di due oggetti individua i punti d’intersezione
dei segmenti AA', BB ', CC ', DD ', EE ' con l’asse di simmetria s. Indica i punti
con le lettere P, Q, R, S, T;
•verifica che i punti d’intersezione P, Q, R, S, T sono i punti medi dei segmenti AA',
BB ', CC ', DD ', EE ': puoi misurare la distanza tra i segmenti AP-PA', BQ-QB '...
oppure usare il comando Punto medio o centro e verificare che i punti medi
coincidono con i punti di intersezione (poi cancella i punti medi o nascondili);
•usa il comando Relazione tra due oggetti della casella degli strumenti Oggetti
speciali (10a icona) per verificare la perpendicolarità dei segmenti AA', BB '
etc. rispetto all’asse di simmetria s (seleziona per es. AA' e la retta s e compare
una finestra che rivela se sono perpendicolari; ripeti per gli altri segmenti);
•con lo stesso comando, verifica la congruenza dei lati corrispondenti dei due
poligoni;
12
Le trasformazioni isometriche - UNITÀ 10
Informatica
•verifica la congruenza degli angoli corrispondenti dei due poligoni, misurandoli. Controlla inoltre l’orientamento delle lettere che contrassegnano i
vertici delle due figure. Che cosa osservi?
•Misura le superfici delle due figure simmetriche.
In base ai controlli effettuati puoi dire che la simmetria assiale considerata
è una trasformazione geometrica in cui:
– i segmenti si trasformano in ............................................ di ............................
........................ lunghezza;
– gli angoli si trasformano in ............................................... di ........................
ampiezza, ma ................................... l’orientamento;
– la superficie ..........................................................................................................
...............................................................................................................................
13
UNITÀ 11
UNITÀ 11
Informatica
TRASFORMAZIONI
NON ISOMETRICHE
1. Triangoli simili
•Disegna un triangolo generico ABC;
•visualizza il foglio di calcolo dal menù Visualizza — Vista foglio di calcolo;
•dall’elenco degli oggetti della Vista algebra seleziona il primo lato a, clicca col
tasto destro e seleziona Registra sul foglio di calcolo; compare una finestra
col nome del segmento a, verifica che sia inserito anche nella prima cella A1,
poi chiudi la finestra. Clicca sulla seconda cella B1, clicca sul segmento b e fai la
stessa procedura di a; inserisci spostandoti sulla cella C1 anche il segmento c;
•determina le misure dei lati e del perimetro di ABC con il comando Distanza
o lunghezza;
•misura la superficie di ABC con il comando Area;
•registra tutte le misure ottenute sulla tabella secondo l’ordine con cui sono
indicate: puoi inserirle manualmente copiando i dati dall’elenco oggetti oppure, per i segmenti, digitare gli estremi corrispondenti (es. per segmento a
digiti BC e nella casella compare la misura; devi verificare la corrispondenza
tra la figura e l’elenco oggetti); per rendere più definita la tabella puoi cliccare
sulla freccia dell’intestazione del foglio di calcolo, così da fare comparire le
icone della formattazione (clicca sull’icona dei bordi);
•misura le ampiezze degli angoli di ABC e trascina le misure ottenute all’esterno del triangolo, senza però registrarle sulla tabella;
•disegna un nuovo punto che sarà il centro della trasformazione, usa il comando Omotetia della casella degli strumenti Trasformazione per creare un
triangolo simile a quello di partenza: clicca sul triangolo, sul punto e digita
il rapporto di similitudine.
La forma del triangolo è cambiata? .................... Le ampiezze degli angoli sono
cambiate? ......................................................................................................
Le misure dei lati, del perimetro e l’area sono cambiate? ................................
•Misura le ampiezze degli angoli di A'B 'C ' e trascina le misure ottenute all’esterno del triangolo, senza però registrarle sulla tabella; le ampiezze degli angoli
sono cambiate?......................................................................................................
•Registra sulla tabella le misure del nuovo triangolo (nello stesso ordine seguito precedentemente);
•Verifica i rapporti tra le misure dei lati del triangolo trasformato e le corrispondenti misure dei lati del triangolo di partenza (nell’esempio: A'B '/AB...): seleziona una casella vuota, clicca nella barra degli strumenti del foglio di calcolo
l’icona delle Funzioni fx e digita l’operazione che vuoi eseguire nella riga di
inserimento (3.6/1.8) e dai l’invio; nella cella di destinazione comparirà il rapporto tra i due segmenti. Ripeti l’operazione per le altre due coppie di lati.
Che cosa osservi?...................................... Il valore calcolato è la costante di
similitudine dei due triangoli considerati che avevi scelto.
•Calcola ora il rapporto tra le misure dei perimetri dei due triangoli. Che cosa
osservi? ..................................................................................................................
•Calcola infine il rapporto tra le aree dei due triangoli e confronta il valore trovato con il quadrato della costante di similitudine. Che cosa osservi?
...................................................................................................................................
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Trasformazioni non isometriche - UNITÀ 11
Informatica
2. Verifica del teorema di Talete
• Disegna un fascio di rette parallele: a, b, c, d, partendo da una Retta per due
punti e rinominando tutti i punti che ti servono per la costruzione con lettere
a partire da M e nascondendoli;
• disegna due rette trasversali: r, t: disegna la prima con il comando Retta per
due punti, scegliendo due punti A e B sulle prime due parallele, trova i punti
di intersezione con le altre due parallele (C e D). Applica le stesse procedure
alla seconda trasversale t e nomina i punti di intersezione con le lettere A’, B’,
C’, D’ corrispondenti ai punti precedentemente trovati sulla stessa parallela;
• indica i punti d’intersezione della trasversale r con le rette parallele a, b, c,
d rispettivamente con le lettere A, B, C, D e quelli della trasversale t con le
stesse rette parallele con A’, B’‚ C’‚ D’;
• visualizza il Foglio di calcolo e crea una tabella con sei colonne e intestale
nel seguente modo:
• misura AB, A’B’‚ BC‚ B’C’‚ CD‚ C’D’. Inserisci valori trovati nella tabella;
• calcola i rapporti tra le misure dei segmenti corrispondenti (AB e A’B’‚ BC e
B’C’...). Seleziona una casella vuota, clicca nella barra degli strumenti del foglio di calcolo l’icona delle Funzioni fx e digita l’operazione che vuoi eseguire
nella riga di inserimento (1.69/1.97) e dai l’invio; nella cella di destinazione
comparirà il rapporto tra i due segmenti. Ripeti l’operazione per le altre due
coppie di segmenti. Che cosa osservi? ..............................................................
.................................................................................................................................
Essendo uguali i rapporti tra le misure dei segmenti corrispondenti,
si ha che i segmenti individuati sulla retta r sono proporzionali ai segmenti corrispondenti individuati sulla retta t; quindi si può scrivere
AB : A’B’ = BC : B’C’ = CD : C’D’.
• Sposta le rette r e t in altre posizioni spostando i punti A e A’ e registra le
nuove misure dei segmenti AB, A’B’‚ BC‚ B’C’‚ CD‚ C’D’ sulla tabella. Calcola
i rapporti tra le misure dei segmenti corrispondenti. Che cosa osservi? Ripeti
questa operazione un’altra volta. Che cosa osservi? ...........................................
....................................................................................................................................
Scrivi l’enunciato del teorema di Talete: un fascio di rette ................................
individua su due ....................................................................................................
classi di segmenti ..................................................................................................
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Trasformazioni non isometriche - UNITÀ 11
Informatica
3. Suddivisione di un segmento in parti uguali
Il teorema di Talete ha un’applicazione che permette di suddividere un segmento in un dato numero di parti uguali. Ad esempio, per dividere un segmento in 7 parti uguali, procedi nel seguente modo:
• traccia un segmento AB;
• traccia una semiretta r col comando Semiretta per due punti, uscente da A e
non coincidente con AB; rinomina la semiretta e nascondi il punto C su di essa;
• col comando Punto su un oggetto fissa sulla semiretta r un punto qualsiasi
Q (rinominalo) non coincidente con A;
• usa il comando Simmetria centrale
per riportare sulla semiretta r il segmento AQ 6 volte di seguito a se stesso;
• rinomina i punti ottenuti con: R, S,
T, U, V, Z;
• congiungi i punti Z e B;
• traccia per tutti gli altri punti individuati sulla semiretta r le parallele al
segmento ZB;
• individua i punti d’intersezione di
queste rette con il segmento AB;
• verifica con il comando Distanza o
lunghezza che il segmento AB è stato
diviso in 7 parti congruenti.
4. Interpretazione geometrica del 1° teorema di
Euclide
•Disegna un triangolo rettangolo ABC: per disegnarlo traccia una circonferenza con raggio a piacere, unisci con una semiretta il centro e il punto della
16
Trasformazioni non isometriche - UNITÀ 11
Informatica
circonferenza che viene definito automaticamente, definisci il punto di intersezione tra circonferenza e semiretta (ottieni così il diametro). Nella parte
superiore della circonferenza definisci un punto a caso col comando Punto
su oggetto e unisci col comando Poligono i tre punti della circonferenza.
Verifica che l’angolo opposto al diametro è retto. Nascondi tutto ciò che è
servito per la costruzione, centro della circonferenza compreso. Rinomina i
punti del rettangolo in modo da avere l’ipotenusa BC;
•traccia l’altezza (AH ) relativa all’ipotenusa BC (nascondi la perpendicolare e
rinomina il piede dell’altezza);
•costruisci il quadrato sul cateto AB, col comando Poligono regolare, selezionando i vertici in ordine alfabetico e specificando 4 lati;
•costruisci il rettangolo avente come dimensioni l’ipotenusa BC e la proiezione BH: con il comando Compasso traccia la circonferenza di raggio BH e
centro in B, poi traccia una retta perpendicolare a BC passante per il punto
B e su questa retta evidenzia l’altezza del rettangolo, poi traccia le parallele
per definire i lati mancanti. Definisci il poligono con il comando Poligono e
infine nascondi tutti gli elementi usati per la costruzione;
•misura la superficie del quadrato costruito sul cateto AB;
•misura la superficie del rettangolo avente come dimensioni BC e BH;
• modifica la grandezza del triangolo ABC trascinando il vertice A; nei casi considerati l’equivalenza tra il quadrato e il rettangolo è sempre verificata? ................
Puoi quindi scrivere: AB · AB = BC · BH e ricordando la proprietà fondamenBC : AB = AB : BH
tale delle proporzioni si ha
Ovvero il cateto AB è ........................ proporzionale tra l’.......................................
e la .......................................... di AB sull’...................................................................
PS: se costruisci diversamente il triangolo rettangolo, verifica cosa succede alle
due aree quando sposti il vertice A: sono ancora equivalenti?....................................
Verifica la misura dell’angolo in A: è ancora retto? Cosa puoi quindi concludere?...................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
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Trasformazioni non isometriche - UNITÀ 11
Informatica
5. Interpretazione geometrica del 2° teorema di
Euclide
•Disegna un triangolo rettangolo ABC e traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC;
•costruisci il quadrato sull’altezza AH;
•costruisci il rettangolo avente come dimensioni le proiezioni dei due cateti
sull’ipotenusa, BH e CH: dopo aver individuato il segmento CH usa il comando
Compasso per riportare la lunghezza di
CH sulla retta perpendicolare usata per disegnare l’altezza AH e procedi come nell’esercizio precedente (nascondi ciò che ti è
servito per la costruzione);
• misura le superfici del quadrato costruito su AH e del rettangolo avente come
dimensioni BH e CH;
• modifica la grandezza del triangolo ABC
trascinando il vertice A; nei casi considerati l’equivalenza tra il quadrato e il
rettangolo è sempre verificata? ...........
..................................................................
Puoi quindi scrivere la seguente uguaglianza: AH · AH = BH · CH e ricordando
la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha
BH : AH = AH : CH
Ovvero: l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC è ............................... proporzionale
tra...............................................................
.................................................................
18
UNITÀ 12
UNITÀ 12
Informatica
CIRCONFERENZA, CERCHIO
E LORO PARTI
1. Retta tangente a una circonferenza in un
punto dato
•Traccia una circonferenza di centro e raggio scelti a piacere: puoi usare i
comandi Circonferenza dati il centro e un punto o Circonferenza dati il
centro e il raggio (in questo caso devi specificarne la lunghezza) della casella degli strumenti Circonferenza e arco. Indica il centro
con la lettera O;
• fissa un punto A sulla circonferenza;
• traccia il raggio OA con il comando Segmento
tra due punti;
• traccia la retta r perpendicolare al raggio OA
passante per il punto A: la retta r è la tangente
alla circonferenza nel punto A;
• sposta il punto A lungo la circonferenza e osserva
che cosa succede alla retta r.
2. Posizione di una retta rispetto a una
circonferenza
•Disegna una circonferenza di centro O e raggio scelto a piacere, rinomina
con H il punto sulla circonferenza;
•traccia una retta r passante per il centro O e per H (devi rinominare la retta);
• misura la lunghezza del segmento OH. Sposta la misura all’esterno della circonferenza;
•fissa un punto su OH e indicalo con la lettera T;
•traccia una retta e rinominala s perpendicolare a r e passante per il punto T.
Individua i punti d’intersezione della retta s con la circonferenza (A e B);
•misura la lunghezza di OT (distanza della retta s dal centro O della circonferenza). Questa misura è maggiore o minore di quella del raggio?
•allontana il punto T dal centro O della circonferenza facendolo scorrere sulla
retta r. Che cosa succede ai punti A e B allontanando T da O? Quando la
lunghezza di OT diventa uguale a quella del raggio OH, in che posizione si
trovano i punti A, B, H, T?
•Allontana ancora T da O in modo che diventi esterno alla circonferenza. La
retta s interseca ancora la circonferenza?
La lunghezza di OT è ora maggiore o minore di quella del raggio OH?
In generale, si ha che:
– una retta è secante una circonferenza quando ha con essa .............. punti in
comune e la sua distanza dal centro è .................................. del .......................
– una retta è tangente ad una circonferenza quando ha .......................... punto
19
Circonferenza, cerchio e loro parti - UNITÀ 12
Informatica
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in comune con essa e la sua distanza dal centro è ......................................... al
................................................................................................................................ ;
– una retta è esterna ad una circonferenza quando ...........................................
..............................................................................................................................;
•riporta la retta s nella posizione di tangenza e fissa su essa il punto P;
•traccia una retta m passante per P ed O;
•effettua la simmetria assiale del punto T (per non selezionare gli altri punti
coincidenti puoi nasconderli) rispetto alla retta m;
•traccia una retta n passante per P e T ';
•congiungi con un segmento il centro O con T ';
•usa il comando Relazione tra due oggetti per verificare la perpendicolarità
di OT ' e n (se non risulta perpendicolare, la tua costruzione non è precisa: è
opportuno rifarla!). Anche la retta n è quindi tangente la circonferenza? ........
In conclusione, puoi affermare che da un punto esterno ad una circonferenza
si possono condurre ...................................................................tangenti ad essa.
3. Posizione reciproca di due circonferenze
•Disegna due circonferenze c e c ' con centro e raggio scelti a piacere. Rinomina i centri con le lettere O e O ', le circonferenze con c e c ', e nascondi gli
altri punti necessari per la costruzione;
•congiungi i due centri O e O ' (usa il comando Segmento tra due punti);
• evidenzia i due raggi OA e O 'A' (individua il punto A sul segmento OO ' con il comando Intersezione di due oggetti, usa poi il comando Segmento tra due punti,
procedi allo stesso modo per il raggio O 'A', rinominando il punto di intersezione);
•misura i due raggi OA e O 'A' (usa il comando Distanza o lunghezza);
•misura il segmento OO ';
•predisponi una tabella a tre colonne: dal menù Visualizza scegli il comando
Vista Foglio di calcolo, clicca col tasto destro sulla prima casella di testo con
le misure delle distanze (es OA), scegli Registra sul foglio di calcolo; per
inserire O 'A' e OO ' posizionati nella finestra che è comparsa clicca il segno
+ e seleziona le altre caselle di testo;
•inserisci nella tabella la lunghezza del raggio OA, quella del raggio O 'A' e
quella di OO’;
Circonferenza, cerchio e loro parti - UNITÀ 12
Informatica
•somma le lunghezze dei raggi: seleziona una cella vuota, clicca l’icona della
sommatoria ∑ e seleziona, trascinandole tenendo premuto il tasto sinistro
del mouse, le due celle con le misure dei raggi, rilascia il tasto e nella casella
comparirà la somma dei raggi.
Confronta la somma con la lunghezza del segmento OO ': OA + O 'A' = .........
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
•cosa osservi? ..........................................................................................................
................................................................................................................................
•Le due circonferenze hanno punti in comune? ................................................
Le due circonferenze sono quindi ........................................................................
• avvicina la circonferenza c alla circonferenza c' (clicca sulla circonferenza c col
tasto sinistro fino a che compare la manina e quindi spostala fino a che i due punti
A e A' coincidono – Attenzione! Se invece sposti il centro, il raggio può variare!);
•riporta i valori ottenuti nella tabella; (se nel tuo lavoro la somma delle lunghezze non è uguale alla misura di OO ' fai coincidere meglio A e A');
•somma le lunghezze dei raggi e confronta la somma con la lunghezza del
OA + O 'A' = .........................................................................
segmento OO '
•cosa osservi? ..........................................................................................................
.................................................................................................................................
•le due circonferenze hanno punti in comune? .............................. Le due circonferenze sono quindi ........................................................................................
21
Circonferenza, cerchio e loro parti - UNITÀ 12
Informatica
•Sposta ancora la circonferenza fino a quando le due circonferenze c e c ' si
intersecano in due punti;
•osserva i valori numerici e inseriscili nella tabella;
•somma le lunghezze dei raggi e confronta la somma con la lunghezza del
OA + O 'A' = ........................................................................
segmento OO'
•cosa osservi? .........................................................................................................
..................................................................................................................................
•Quanti punti hanno in comune le due circonferenze? ........................... Le due
circonferenze sono quindi ...................................................................................
•Sposta ancora la circonferenza c in modo che sia interna a c' e abbia un punto
in comune con essa;
•osserva i valori numerici e inseriscili nella tabella; (N.B. le misure dei due
raggi non cambiano, anche se non vengono più tabulate)
•calcola la differenza tra le lunghezze dei raggi e confrontala con la lunghezza
O 'A' – OA = .......................................................................................
di OO '
•cosa osservi? .........................................................................................................
..................................................................................................................................
•quanti punti hanno in comune le due circonferenze? .....................................
Le due circonferenze sono quindi ........................................................................
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Circonferenza, cerchio e loro parti - UNITÀ 12
Informatica
•Sposta ancora la circonferenza c in modo che sia interna a c ' e i due centri
O e O ' coincidano;
•osserva i valori numerici e inseriscili nella tabella;
•quanto misura la distanza tra i centri? ...............................................................
•Quanti punti hanno in comune le circonferenze?.......................................................
•Cosa hanno in comune le due circonferenze? ...................................................
•Le due circonferenze sono quindi .......................................................................
4. Relazione tra un angolo al centro e angoli alla
circonferenza che insistono sullo stesso arco
•Traccia una circonferenza con centro e raggio scelti a piacere. Indica il centro
con la lettera O;
•disegna un angolo con vertice nel punto O e ampiezza scelta a piacere (usa il
comando Semiretta per due punti e fai passare una semiretta per il punto
B di costruzione);
•evidenzia l’arco corrispondente all’angolo al centro disegnato con il comando
Arco di circonferenza dati il centro e due punti e coloralo di rosso (Proprietà);
•fissa un punto C sulla circonferenza (Punto su oggetto);
•disegna l’angolo che ha il vertice nel punto C della circonferenza e che insiste
sull’arco AB (sempre con Semiretta per due punti);
•misura le ampiezze dell’angolo al centro AOB e dell’angolo alla circonferenza
ACB. Con la calcolatrice (normale o del pc) calcola il doppio dell’ampiezza
dell’angolo ACB. Che relazione intercorre tra i due angoli? ...........................
.................................................................................................................................
•Trascina il punto C lungo la circonferenza. Gli angoli che ottieni hanno sempre la stessa ampiezza?..........................................................................................
Insistono sempre sull’arco AB?.................................... Quanti sono gli angoli
alla circonferenza che corrispondono all’angolo al centro AOB? ...................
..................................................................................................................................
23
Circonferenza, cerchio e loro parti - UNITÀ 12
Informatica
•Modifica l’ampiezza dell’angolo al centro AOB spostando uno dei suoi lati e
in modo che diventi di 100°.
La relazione tra angolo al centro e angolo alla circonferenza è cambiata?............
•Sposta i due lati dell’angolo al centro in modo che diventino adiacenti (per
verificare che siano esattamente adiacenti puoi aiutarti visualizzando la griglia
(menù Visualizza — Griglia).
Qual è l’ampiezza dell’angolo al centro? ............................................................
Qual è l’ampiezza dell’angolo alla circonferenza? .............................................
Classifica il triangolo ABC rispetto agli angoli: .......................................................
5. Proprietà di corde parallele
• Traccia una circonferenza di centro O e raggio scelto a piacere;
• fissa un altro punto A (Punto su oggetto) sulla circonferenza;
• congiungi A e B con un segmento;
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Circonferenza, cerchio e loro parti - UNITÀ 12
Informatica
• traccia l’asse della corda AB e, dopo aver individuato i punti d’intersezione
dell’asse con la circonferenza, rinominali con P e Q;
Il centro O è equidistante da P e Q? ........................................................... Controlla l’esattezza della risposta con il comando Distanza o lunghezza;
• modifica più volte la posizione e la lunghezza della corda AB trascinando
l’estremo A lungo la circonferenza (se trascini B, che è servito per la costruzione della circonferenza, si modifica il raggio della circonferenza stessa).
Gli assi delle corde che di volta in volta si ottengono passano sempre per il
centro della circonferenza? ..................................................................................
• Traccia ora una retta parallela alla corda AB (fissando un punto sul segmento PQ) e, dopo aver individuato i punti d’intersezione con la circonferenza,
indicali con M e N;
• verifica che l’asse della corda AB è anche asse della corda MN (usa i comandi
Relazione tra due oggetti e Distanza o lunghezza per misurare i segmenti
MC e CN).
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Circonferenza, cerchio e loro parti - UNITÀ 12
Informatica
6. Proprietà di archi e corde
• Traccia una circonferenza di centro O (rinominalo) e raggio scelto a piacere;
• fissa un altro punto A sulla circonferenza e congiungili con un segmento;
• misura la lunghezza della corda AB;
• fissa un nuovo punto C sulla circonferenza;
• traccia un’altra corda che abbia la stessa lunghezza di AB: crea con il comando
Compasso una circonferenza di raggio AB e fai coincidere il centro di essa
con il punto C; individua le intersezioni di questa seconda circonferenza con
la prima, evidenzia la corda che non si interseca con AB e rinomina l’estremo
D (ottieni la corda CD); nascondi l’altra intersezione e la circonferenza di
costruzione; verifica la congruenza tra le corde AB e CD misurandole;
• congiungi con il centro O sia i punti A e B che i punti C e D. Tratteggia questi
segmenti;
• con il comando Arco di circonferenza dato il centro e due punti individua
i due archi AB e CD (seleziona gli estremi dell’arco in ordine alfabetico) e
colorali;
• misura le ampiezze degli angoli AOB e COD. Che cosa osservi? .......................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
• verifica la relazione tra gli archi AB e CD col comando Relazione tra due
oggetti. Che cosa osservi? .......................................................................
• Cambia la lunghezza della corda AB trascinando il punto B oppure A lungo
la circonferenza. Cambia anche la lunghezza della corda CD? .....................
...................................................... E le lunghezze degli archi corrispondenti?
(controlla la loro lunghezza nell’Elenco oggetti della vista Algebra, li riconosci
perché sono colorati del colore che hai scelto) .................................................
.................................................................................................................................
Che cosa succede alle ampiezze degli angoli al centro corrispondenti? ........
................................................................................................................................
In base alle osservazioni fatte puoi affermare che a corde congruenti corrispondono archi ....................................e angoli al centro .................................
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UNITÀ 13
UNITÀ 13
Informatica
POLIGONI INSCRITTI
E CIRCOSCRITTI
1. Triangoli inscritti
•Traccia una circonferenza utilizzando il comando Circonferenza dati il centro e un punto della casella degli strumenti Circonferenza e arco; rinomina
il centro con O;
•fissa altri 2 punti sulla circonferenza col comando Punto su oggetto e individua il triangolo avente per vertici A, B, C;
•individua il circocentro del triangolo tracciando gli assi di due lati del triangolo
(ricordati di fissare il punto d’incontro utilizzando il comando Intersezione di
due oggetti).
In che relazione è con il centro della circonferenza? .....................................................
Verifica col comando Relazione tra due oggetti selezionando il centro O e
il punto D del circocentro dall’Elenco oggetti della vista Algebra a sinistra.
•Unisci i vertici col centro e usa il comando Relazione tra due oggetti per
verificare che il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo;
• modifica la forma del triangolo ABC
trascinando uno dei suoi vertici lungo
la circonferenza. I triangoli che ottieni
sono sempre inscritti nella circonferenza? ............................................................
Il circocentro esiste sempre? .....................
Il circocentro è sempre un punto interno
al triangolo? .............................................
Il circocentro coincide sempre con il
centro della circonferenza circoscritta?
..................................................................
Scrivi le tue considerazioni sulla inscrittibilità dei triangoli: ................................
....................................................................
....................................................................
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Poligoni inscritti e circoscritti - UNITÀ 13
Informatica
2. Quadrilateri inscritti
•Traccia una circonferenza col comando Circonferenza dati il centro e un
punto e indica il suo centro con la lettera O;
•individua altri 3 punti sulla circonferenza (oltre a quello di costruzione) utilizzando il comando Punto su oggetto;
•congiungi i quattro punti utilizzando il comando Poligono;
•misura i quattro angoli del quadrilatero e verifica che quelli opposti sono
supplementari;
•verifica che gli assi dei quattro lati del quadrilatero hanno come punto d’intersezione (circocentro) il centro della circonferenza;
•unisci i vertici col centro, tratteggiali e usa il comando Relazione tra due
oggetti per verificare che il circocentro è equidistante dai quattro vertici del
quadrilatero (oppure misurali);
•riporta le misure dei quattro angoli su una tabella;
•modifica più volte la forma del quadrilatero trascinando i suoi vertici lungo la
circonferenza;
•di volta in volta registra le misure dei quattro angoli sulla tabella.
Gli angoli opposti sono sempre supplementari? ....................... Gli assi dei lati
s’intersecano sempre nel centro della circonferenza? ........................ Il circocentro è sempre equidistante dai vertici del quadrilatero? ..............................
Scrivi le tue considerazioni sull’inscrittibilità dei quadrilateri: .......................
..................................................................................................................................
3. Triangoli circoscritti
•Disegna un triangolo generico ABC;
•individua l’incentro tracciando le bisettrici degli angoli (ne bastano due).
Indica l’incentro con la lettera I;
•nascondi le bisettrici tracciate;
•per ogni lato traccia la retta perpendicolare passante per l’incentro I e tratteggiala.
Individua con il comando Intersezione di due oggetti i punti d’intersezione delle
perpendicolari con i lati del triangolo; indica poi i tre punti con le lettere P, Q, R;
•traccia la circonferenza avente il centro nel punto I e il raggio uguale a IP;
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Poligoni inscritti e circoscritti - UNITÀ 13
Informatica
•verifica che i tre punti P, Q, R sono equidistanti dal centro I (misurandone la
distanza);
•trasforma più volte il triangolo ABC trascinando i suoi vertici. I triangoli ottenuti
sono sempre circoscritti alla circonferenza?............................................................
L’incentro I è sempre equidistante dai punti P, Q, R? .......................................
L’incentro è sempre un punto interno al triangolo? .........................................
Scrivi le tue considerazioni sulla circoscrittibilità dei triangoli: .....................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
4. Relazione tra l’altezza di un triangolo
equilatero, il raggio della circonferenza
inscritta e quello della circoscritta
• Disegna un triangolo equilatero utilizzando il comando Poligono regolare.
Indica il suo centro con la lettera O. Fissa il punto medio del lato AB ed indicalo con la lettera H. Con il comando Segmento tra due punti individua
i segmenti OH, OA e CH.
• Usa il comando Circonferenza dati il centro e un punto per tracciare la circonferenza inscritta e quella circoscritta al triangolo equilatero e colorale diversamente.
Che cosa è OH rispetto alla circonferenza inscritta? ........................................
Che cosa è OA rispetto alla circonferenza circoscritta? ..................................
• Con il comando Distanza o lunghezza misura i segmenti OH, OA e CH e
poi trascina le misure fuori dal disegno;
• visualizza il Foglio di calcolo, segna le misure dei tre segmenti (per l’intestazione scrivi nella riga della funzione “Testo OH”), e nelle celle contigue calcola
il rapporto tra CH e OH, tra CH e AO e tra AO e OH, scrivendo l’operazione
nella barra di comando della funzione Fx;
• selezionando le prime due righe del foglio di calcolo, clicca col tasto destro
del mouse e seleziona il comando Crea — Tabella: verrà visualizzata una
prima tabella sulla Vista grafica.
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Poligoni inscritti e circoscritti - UNITÀ 13
Informatica
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• Ingrandisci il triangolo equilatero trascinando uno dei suoi vertici e riporta
sul foglio di calcolo le nuove misure, nello stesso ordine seguito precedentemente: crea una nuova tabella e mettila sotto alla prima.
• Rimpicciolisci il triangolo equilatero e tabula i nuovi valori, seguendo sempre
lo stesso procedimento.
Completa le seguenti frasi: in qualsiasi triangolo equilatero il rapporto tra l’altezza
e il raggio della circonferenza inscritta (apotema) è sempre uguale a .....................
Il rapporto tra l’altezza e il raggio della circonferenza circoscritta è invece
sempre uguale a .............................., mentre il rapporto tra i raggi delle due circonferenze, circoscritta e inscritta, è sempre uguale a ............................................
5. Quadrilateri circoscritti
•Disegna il quadrilatero ABCD avente i lati delle seguenti misure: AB = 4 cm,
BC = 6 cm, CD = 5 cm, AD = 3 cm (vedi “costruzioni di quadrilateri con Geogebra);
•con il comando Mostra/Nascondi nell’Elenco oggetti per nascondere gli elementi utilizzati nella costruzione;
•traccia le bisettrici degli angoli e individua il loro punto d’intersezione I;
Poligoni inscritti e circoscritti - UNITÀ 13
Informatica
• nascondi le bisettrici;
• per ogni lato del quadrilatero traccia la retta ad esso perpendicolare passante per I;
• individua i punti d’intersezione delle perpendicolari con i lati del quadrilatero e indicali con le lettere P, Q, R e S;
• nascondi le perpendicolari;
• dopo aver verificato l’equidistanza del centro I dai punti P, Q, R e S, traccia la circonferenza inscritta nel quadrilatero;
• verifica che la somma dei lati AB e CD (lati
opposti) è uguale alla somma di BC e AD
(lati opposti);
• trasforma il quadrilatero ABCD trascinando i vertici B e C. I quadrilateri che ottieni
sono sempre circoscritti alla circonferenza?...................................................................
Perché? ...........................................................
..........................................................................
..........................................................................
• Su un altro foglio costruisci ora un quadrilatero generico abcd (usa il comando
Poligono);
• traccia le bisettrici dei quattro angoli. S’intersecano in un unico punto? ......................
........................................................................
È possibile in questo caso inscrivere una circonferenza nel quadrilatero? ........................
..........................................................................
• Misura le lunghezze dei quattro lati del
quadrilatero.
La somma delle misure di AB e CD (lati
opposti) è uguale alla somma delle misure
di BC e AD (lati opposti)? ............................
Scrivi le tue considerazioni sulla circoscrittibilità dei quadrilateri: .................................
.........................................................................
31
