Programmi e prerequisiti

Corsi di Analisi 1, 2, 3, 4
Il programma complessivo dei corsi è contenuto nella pagina del DIMA
http://www.dima.unige.it/_bis/CLMatem/aa2001_2/progr-y.pdf
Prerequisiti:
per Analisi 1 : nessuno (l'esame può essere sostenuto contestualmente a quello di Analisi
2)
per Analisi 2 : Analisi 1
per Analisi 3 : Analisi 1 e Analisi 2
per Analisi 4 :Analisi 1 e Analisi 2
[email protected]
Pirro Oppezzi
_____________________________________________________________________
Corsi di Laboratorio di Matematica e Istituzioni di Logica Matematica
Prerequisiti per Laboratorio di Matematica: nessuno.
Prerequisiti per Istituzioni di Logica Matematica: nessuno.
[email protected]
_____________________________________________________________________
Corso di Istituzioni di Analisi Superiore-I modulo
Prerequisiti: Analisi Matematica I e II, Algebra, Geometria II
Programma
1. Funzioni di variabile complessa.
Derivata complessa; condizioni di Cauchy Riemann. Olomorfia; formula
integrale di Cauchy; teorema di Morera. Analiticita', legami con
l'olomorfia; teorema della media. Principio di massimo. Teoremi di
Liouville, fondamentale dell'algebra, di Weierstrass. Singolarita', serie
di Laurent, residui. Integrale di alcune funzioni con il metodo dei
residui. Teorema della mappa aperta. Superficie di Riemann; sfera di
Riemann; trasformazioni conformi.
2. Spazi di Banach, di Hilbert e operatori.
Spazi normati, di Banach e loro duali continui. Operatori lineari;
operatori lineari e continui. Teorema di Hahn Banach. Lemma di Baire;
teoremi dell'uniforme limitatezza, della mappa aperta e del grafico chiuso
e conseguenze. Spazi di Hilbert; base; teorema di Riesz; teorema della
proiezione.
3. Teoria dell'integrazione.
Spazi Lp; approssimazione con funzioni continue. Convergenza in misura.
Confronti tra i vari tipi di convergenza. Variazione totale di una misura
complessa; assoluta continuita'; teorema di Radon-Nikodym e conseguenze.
Libri consigliati:
H. Brezis - Analyse Fonctionnelle, The'orie et applications - Masson 1983.
H. Cartan - Theorie elementaire des fonctions analitiques d'une ou
plusieurs variables complexes - Hermann 1964.
D.C. Lay, A.E. Taylor, Introduction to Functional Analysis - Wiley (1980).
W. Rudin - Real and Complex Analysis - McGraw-Hill 1970.
L. Schwartz - Cours d'Analyse II.
Nota: per gli studenti del NO non fanno parte del programma i seguenti
argomenti di Funzioni di variabile complessa:
Teorema della mappa aperta. Superficie di Riemann; sfera di Riemann;
trasformazioni conformi.
[email protected]
Gianfranco Bottaro
_____________________________________________________________________
Corso di Istituzioni di Analisi Superiore-II modulo
Prerequisiti: Analisi Matematica I e II, Algebra, Geometria II, Istituzioni
di Analisi superiore-I modulo
Programma
1. Teoria dell'integrazione.
Duali degli spazi L^p e dello spazio delle funzioni continue che tendono a
zero all'infinito; funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente
continue, densita' di una misura, teorema di cambiamento della variabile
per l'integrale rispetto alla misura di Lebesgue.
2. Spazi di Banach, di Hilbert. Teoria spettrale e operatori.
Topologia debole e debole stella, teorema di Alaoglu; spazi riflessivi.
Teorema di Ascoli Arzela'. Operatori aggiunti.
Operatore risolvente. Definizione dello spettro. Proprieta' spettrali.
Operatori lineari completamente continui ed esempi, teorema
dell'alternativa di Fredholm, teoria di Riesz-Schauder per operatori
completamente continui, teorema della mappa spettrale. Analisi spettrale
negli spazi di Hilbert: forme bilineari e quadratiche, teorema di Lax
Milgram, operatori autoaggiunti, teorema spettrale e sue applicazioni.
Libri consigliati:
H. Brezis - Analyse Fonctionnelle, The'orie et applications - Masson 1983.
N. Dunford, J.T. Schwartz - Linear Operators. Part I: General Theory Interscience 1957.
W. Rudin - Real and Complex Analysis - McGraw-Hill 1970.
D.C. Lay, A.E. Taylor, Introduction to Functional Analysis - Wiley (1980).
[email protected]
Gianfranco Bottaro
_____________________________________________________________________
Corso di Geometria 1 (NO)
i prerequisiti sono:
Algebra 1, Analisi Matematica 1, Geometria Analitica.
PRESENTAZIONE
La Topologia Generale tratta lo studio degli "spazi topologici" e delle applicazioni
continue tra queste. La nozione di continuità è nota dai corsi di Analisi
Matematica, nell'ambito delle funzioni reali di una o più variabili reali. Ma risulta utile
estenderla ad insiemi arbitrari, muniti di una "struttura topologica" che
consente di individuare gli "intorni" dei punti; un insieme munito di questa struttura si
dice spazio topologico. La struttura topologica può essere prodotta da
una distanza, come avviene per gli spazi euclidei Rn: la loro topologia usuale è
determinata dalla distanza euclidea.
Tra le proprietà più importanti degli spazi topologici ci sono la connessione e la
compattezza; alcuni aspetti di queste, nell'ambito delle funzioni reali
continue, sono già noti agli studenti attraverso il Teorema degli Zeri ed il Teorema di
Weierstrass. Altro problema importante in Topologia, spesso non banale,
è distinguere gli spazi a meno di "omeomorfismo": due spazi si dicono "omeomorfi" se
esiste tra questi un'applicazione continua, biiettiva, la cui inversa sia
continua.
Ad esempio, il Teorema di Invarianza della Dimensione dice che gli spazi euclidei Rm
ed Rn sono omeomorfi solo se m = n; questo risultato è alla base
della nozione topologica di dimensione. La dimostrazione è abbastanza semplice per m =
1 o n = 1, ma richiede strumenti più complessi per il caso generale.
Si può effettuare con metodi di Topologia Algebrica, che riconducono problemi
topologici (il precedente e molti altri) a problemi algebrici, spesso più
elementari e risolubili; questi metodi potranno essere accennati nel corso ma saranno
sviluppati in corsi successivi (Geometria 2, Topologia Algebrica).
PROGRAMMA
0. Introduzione. Continuità e omeomorfismi negli Rn, esempi.
1. Spazi metrici. Generalità; la metrica euclidea; funzioni continue e omeomorfismi;
funzioni uniformemente continue e Lipschitziane, isometrie.
2. Spazi topologici. Definizione; la topologia indotta da una metrica, la topologia
euclidea; confronto di topologie; sottospazi; basi di aperti e sistemi
fondamentali di intorni; assiomi di numerabilità.
3. Sottoinsiemi di uno spazio. Chiusi; interno, esterno e frontiera; chiusura, parti dense,
spazi separabili; limiti delle successioni; punti di accumulazione.
4. Funzioni continue. Generalità; il caso metrico; omeomorfismi; applicazioni aperte e
chiuse.
5. Sottospazi. Generalità; sottospazi notevoli di Rn; continuità su sottospazi e
ricoprimenti.
6. Prodotti cartesiani. Prodotto di spazi e proprietà universale; relazioni con: continuità,
basi di aperti, chiusi, sottospazi, intorni, limiti di successioni,
metriche. La topologia della convergenza puntuale.
7. Quozienti. La topologia quoziente, la proprietà universale; fattorizzazione canonica di
un'applicazione; relazioni tra quozienti e sottospazi, quozienti e
prodotti. Alcuni quozienti del rettangolo: toro, sfera, nastro di Möbius, bottiglia di Klein,
piano proiettivo. Cenni alle varietà topologiche.
8. Proprietà di separazione. Gli spazi T2. Cenni agli spazi T1, T0, regolari e normali.
9. Connessione. Generalità; i connessi di R; prodotto di spazi connessi; le componenti
connesse di uno spazio; distinzione di spazi non omeomorfi;
connessione locale; connessione per archi.
10. Compattezza. Generalità; il teorema di Tychonoff (dimostrato solo nel caso finito); i
compatti di Rn; spazi localmente compatti e sottospazi relativamente
compatti; compattificazioni; il compattificato di Alexandroff; spazi numerabilmente
compatti e sequenzialmente compatti.
11. Complementi sugli spazi metrici. Prodotti numerabili; completezza e completamento;
cenni alle caratterizzazioni degli spazi metrici compatti; numero di
Lebesgue di un ricoprimento aperto di un compatto metrico.
Complementi.
(Temi al di fuori del programma, che possono essere trattati in modo informale negli
Esercizi o in seminari facoltativi).
Gruppi topologici. Varietà topologiche ed orientabilità. Il gruppo fondamentale. Il
Lemma di Zorn, sue applicazioni in algebra (ad es.: ideali massimali, basi
degli spazi vettoriali) e in topologia (il teorema di Tychonoff nel caso infinito).
Contrazioni e punti fissi negli spazi metrici.
TESTI DI CONSULTAZIONE
E. Carletti, Dispense di Topologia Generale, Dipartimento di Matematica dell'Università
di Genova, 2002/03.
E. Sernesi, Geometria 2, Bollati-Boringhieri, 1994.
V. Checcucci - A. Tognoli - E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Feltrinelli,
1968.
[email protected]
Marco Grandis
_____________________________________________________________________
Corso Matematiche Elementari da un punto di vista superiore
il programma di MEPVS per il NO e`:
- elementi di geometria iperbolica e ellittica
- trasformazioni nel piano
- esercitazione su temi didattici
PREREQUISITI
-geometria e analisi del primo e secondo anno
[email protected]
Fulvia Furinghetti
_____________________________________________________________________
Corso di Istituzioni di Geometria Superiore
CORSO DI IGS (I modulo)
Prerequisiti: Algebra (vecchio ordinamento ) o i corsi di Algebra del nuovo
Titolo : Teoria di Galois e applicazioni
Programma:
- Nota storica su risoluzioni di equazioni algebriche, problemi con riga e compasso,
determinazione di particolari numeri primi.
- Il gruppo di Galois di una estensione algebrica
-Applicazioni al caso delle equazioni algebriche di 3 e 4 grado
-Le estensioni ciclotomiche. Gruppo di Galois e cenni sull'aritmetica degli interi di una
estensione ciclotomica.Applicazioni alla risoluzione di equazioni a coefficienti interi
-Cenni sulle equazioni sui corpi finiti e le applicazioni alla teoria dei codici
-Risolubilita' per radicali delle equazioni a coefficienti razionali
-Divisione della circonferenza in n parti equali e primi di Fermat.
[email protected]
Claudio Pedrini
_____________________________________________________________________
corso di Programmazione per Matematica N.O. A.a. 2002-2003
Docente: Gabriella Dodero (e Vittoria Gianuzzi)
Esercitatore: Anna Bigatti
Il corso prevede sei crediti ed ha come obiettivo l'insegnamento di elementi di
programmazione utilizzando il linguaggio C. Per questo scopo si utilizzera' il laboratorio
Mac (Aula 712).
Organizzazione del corso: tre ore settimanali di teoria in aula - due ore settimanali di
esercitazioni in laboratorio.
Prova intermedia in laboratorio da effettuarsi nella "sospensione".
Prova finale in laboratorio, ed esame orale.
Non sono previsti prerequisiti.
Verra' seguito principalmente il libro di testo "Introduzione al linguaggio C" di Delores
M.Etter, in edizione italiana (Ed. Apogeo 2001, prezzo Euro 12,39), integrato con
appunti per i pochi argomenti ivi non trattati.
Programma di massima:
1. Introduzione alla soluzione di problemi con il computer
i sistemi di elaborazione
approccio alla soluzione di problemi
terminologia
2. Programmazione di base in C
struttura di un programma
costanti e variabili
istruzioni di assegnazione
operazioni di input ed output
espressioni matematiche
3. Strutture di controllo e file di dati
Sviluppo di algoritmi
espressioni condizionali
istruzioni di selezione
cicli
file di dati
4. Programmazione modulare e funzioni
Programmi modulari
definizione di funzioni
5. Array
definizione ed uso di array
Array come parametri di funzione
6. Dati di tipo carattere
Calcolo con dati di tipo carattere
funzioni per la gestione di caratteri
7. Caratteristiche di programmazione avanzate (cenni)
Uso di indirizzi statici
Parametri indirizzo
Strutture dinamiche
Ricorsione
[email protected]
Gabriella Dodero
_____________________________________________________________________
corso ELETTROMAGNETISMO ED OTTICA
previsto al 2 sem del 2 anno del NO.
Prerequisiti :
corsi di analisi matematica 1 , 2, 3 e meccanica e termodinamica.
A livello di contenuti è opportuno che gli studenti conoscano:
- dinamica del punto materiale, energia e lavoro
- calcolo differenziale in 1 e 2 variabili (operatori differenziali)
Programma:
ELETTROMAGNETISMO ED OTTICA
1) Elettromagnetismo. Legge di Coulomb. Principio di sovrapposizione. Conservazione
della carica.
Quantizzazione della carica. Campo elettrico da distribuzioni discrete e continue di
carica. Potenziale del
campo elettrostatico. Equazione di Laplace con applicazioni. Elementi della teoria dei
circuiti in continua.
Eetto Joule. Elementi della teoria dei dielettrici omogenei isotropi e lineari. Vettore
induzione magnetica
B. Ferromagnetismo. Legge di Faraday-Neuman. Impedenza di un circuito in corrente
alternata. Equazioni
di Maxwell . Dipolo oscillante ed emissione delle onde elettromagnetiche.
2) Ottica. Onda piana e relativa propagazione. Interferenza e dirazione di onde piane.
Onda piana in
un mezzo trasparente. Lente sottile. Immagine di una sorgente puntiforme.
[email protected]
Corrado Boragno
_____________________________________________________________________
Corso di Calcolo delle Probabilita' e Statistica Matematica
il programma e' in rete alla pagina:
http://www.dima.unige.it/_bis/CLMatem/aa2001_2/progr-y.pdf
i prerequisiti sono:
Operazioni tra insiemi e loro proprieta'.
Coefficienti binomiali. Funzione esponenziale.
Estremo inferiore e superiore. Successioni.
[email protected]
Franco Fagnola
_____________________________________________________________________
Corso di Istituzioni di Fisica Matematica 1
Prerequisiti per il corso di
Istituzioni di Fisica Matematica 1
Algebra Lineare, Algebra 1, Analisi Matematica 1, Laboratorio di
Matematica, Analisi Matematica 2, Geometria Analitica,
Meccanica e Termodinamica, Analisi Matematica 3, Geometria 1,
Analisi Matematica 4, Sistemi Dinamici e Meccanica Analitica.
Programma del corso di
Istituzioni di Fisica Matematica 1
I. Preliminari di geometria differenziale
1. Varieta' differenziabili, applicazioni differenziabili, curve.
2. Spazio tangente e cotangente. Differenziale e codifferenziale di
un'applicazione. Fibrato tangente e cotangente.
3. Campi vettoriali e loro curve integrali. Flusso locale di un campo
vettoriale. Commutatore di due campi vettoriali.
4. Algebra tensoriale ed algebra esterna di uno spazio vettoriale. Campi
tensoriali. Forme differenziali. Differenziale esterno. Derivata di
Lie di un campo tensoriale.
5. Varieta' riemanniane. Connessione di Levi-Civita, derivata
covariante e trasporto parallelo. Geodetiche. Varieta' riemanniane piatte.
6. Integrazione su varieta': orientabilita', integrazione di una forma
differenziale di grado massimo, varieta' con bordo, teorema di Stokes
e suoi casi particolari.
II. Cinematica dei sistemi continui
1. Sistemi continui e decrizione dei loro moti.
2. Cinematica della deformazione.
3. Velocita' di deformazione e vorticita'.
III. Dinamica dei sistemi continui
1. Equazioni di bilancio.
2. Tensore degli sforzi e forma locale delle equazioni di bilancio.
3. Temperatura ed equazioni costitutive.
IV. Dinamica dei fluidi
1. Fluidi perfetti: teorema di Bernoulli, moti irrotazionali.
2. Fluidi viscosi: equazione di Navier-Stokes, numero di Reynolds.
3. Propagazione del suono e del calore.
[email protected]
Marco Pedroni