Prova scritta di Probabilità e Statistica 1 Agosto 2013

Prova scritta di Probabilità e Statistica
1 Agosto 2013
1. Le quotazioni della borsa di Milano di un titolo azionario in 10 sedute successive sono: 12.8; 13;
13.4; 13.4; 13.6; 13.5; 13.7; 14.1; 13.8; 13.2. Costruire il box-plot dei dati e commentarlo
opportunamente.
2. In un processo di controllo industriale si assume che il peso di una confezione di pasta sia una
variabile aleatoria normale con media pari a 500 gr e varianza pari a 25gr. Se il peso della
confezione è inferiore a 490 gr oppure superiore a 510 gr la confezione viene rifiutata. Si determini
la probabilità che in un campione di 100 confezioni al più 10 siano rifiutate e almeno 80 siano
accettate.
3. Un ricercatore vuole stimare la media di una popolazione normale con deviazione standard non
nota. L’obiettivo è quello di ottenere con probabilità 95% una stima che non differisca rispetto alla
media della popolazione e in valore assoluto per più del 5% della deviazione standard. Si determini
l’ampiezza del campione che assicura tale risultato.
4. I dipendenti di una casa di cura sono stati classificati secondo il peso corporeo e lo stato della
pressione sanguigna ottenendo la seguente tabella a doppia entrata, dove sono riportate le
frequenze relative:
Stato pressione
Iperteso
Non iperteso
Totale
Sovrappeso
0.08
0.14
0.22
Normopeso
0.12
0.52
0.64
Sottopeso
0.03
0.11
0.14
Totale
0.23
0.77
1.00
a) Si determini la probabilità che una persona estratta a sorte da questo gruppo sia ipertesa.
b) Si calcoli la probabilità che una persona estratta a sorte dal gruppo sia sovrappeso ed ipertesa.
c) Una persona estratta a sorte dal gruppo è risultata sovrappeso. Qual è la probabilità che essa
sia anche non ipertesa?
5. Assegnata la seguente tabella, verificare se la distribuzione della popolazione da cui il campione è
stato estratto è di Poisson:
Modalità
0
1
2
3
4
>4
Frequenze
3
10
15
6
3
1
Soluzioni
1. I quartili sono 13.2000, 13.4500, 13.7000. Il minimo dei dati è 12.8000, il massimo è 14.1000. Il
box-plot dunque risulta
14
13.8
13.6
13.4
13.2
13
12.8
1
2. Sia X la v.a. che restituisce il peso di una confezione di pasta. X è una variabile aleatoria normale
con media pari a 500 gr e varianza pari a 25gr. Pertanto la probabilità che la confezione di pasta sia
rigettata al controllo è P(X<490)+P(X>510). Questa probabilità vale p = 1 - P(X<490<X<510).
Standardizzando i valori 490 e 510 ed usando le tavole si ha p=0.0445. Sia Y la v.a. che restituisce il
numero di confezioni di pasta rigettate su 100 esaminate. La v.a. Y è binomiale di parametri 100 e
p=0.0445. Bisogna calcolare P(Y≤10) e P(Y<20). Nonostante la media E[Y]=np= 4.55 sia inferiore a
5, conviene usare l’approssimazione gaussiana della v.a. binomiale, considerando che D[Y]=
2.0840. Pertanto si ha P(Y≤10) = 0.9955 e P(Y<20) = 1.
3. Si tratta di calcolare quel valore di n tale che X − μ ≤ 0.05σ=0.95, ossia standardizzando
/
√
≤ 0.05√=0.95. Pertanto bisogna calcolare n imponendo che
Siccome . = 1.96 allora n=1.5366e+003.
. = 0.05√ .
4. La probabilità che una persona estratta a sorte da questo gruppo sia ipertesa è 0.23. La probabilità
che una persona estratta a sorte dal gruppo sia sovrappeso ed ipertesa è 0.08. Sia A l’evento ‘una
persona estratta a sorte dal gruppo è ipertesa’, sia B l’evento ‘una persona estratta a sorte dal
gruppo è in sovrappeso’. Si tratta di calcolare P(A|B), ossia ( ⋂ ")/("). Pertanto la probabilità
cercata risulta essere 0.14/0.22.
5. Bisogna effettuare un test chi-quadrato. A questo scopo è necessario stimare il parametro a della
v.a. di Poisson, ossia calcolare la media campionaria. Per l’ultima classe possiamo scegliere come
valore rappresentativo 5. Pertanto si ha a=1.97. La tabella con le frequenze attese è:
Modalità
0
1
2
3
4
>4
Frequenze
3
10
15
6
3
1
Freq.attese
5.2799
10.4208
10.2837
6.7656
3.3383
1.9118
Stat. test
1.7326
0.0177
1.4829
0.0977
0.0381
0.8314
La statistica test risulta 4.2004, inferiore al quantile di una chi-quadrato con 4 gradi di libertà.
Pertanto l’ipotesi di distribuzione di Poisson non si rigetta.