Statistica Matematica

STATISTICA MATEMATICA
SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL 17/2/2003
Esercizio 1
Si indichi con Oi l’evento “la i-esima confezione estratta scade oggi” e con. Di l’evento
“la i-esima confezione estratta scade domani” (i=1,2).
(1.1) La probabilità che le due confezioni estratte abbiano la medesima scadenza è
data dalla somma
P(O1O2)+P(D1D2)=49/99,
essendo
P(O1O2)=P(O2|O1)P(O1)=(24/44)(25/45)=10/33
e analogamente
P(D1D2)=P(D2|D1)P(D1)=(19/44)(20/45)=19/99.
(1.2) Estratta una confezione che scade domani, la probabilità che una seconda
confezione scelta a caso scada domani è pari a P(D2|D1)=19/44.
Esercizio 2
Sia Y la v.c. Geometrica di parametro =1/6 che rappresenta il numero di lanci falliti
prima del primo successo.
(2.1) P(Y=5) = (1/6)(5/6)5 = 0.067.
(2.2) P(Y=11|Y6) = P(Y=5) per la proprietà dell’assenza di memoria.
(2.3) La v.c. Z che fornisce il numero di lanci necessari per ottenere il primo successo
è legata alla v.c. Y dalla relazione Z=Y+1.
Esercizio 3
(3.1) L(;x1,...,xn)=(1/)nexp(-xi/) è la funzione di verosimiglianza e la media
campionaria T=Xi/n costituisce lo stimatore di massima verosimiglianza per il
parametro .
(3.2) IX()=Var(-1/+X/2)=Var(X)/4=1/2 rappresenta l’informazione di Fisher.
(3.3) Poiché E(T)=E(X)= e Var(T)=Var(X)/n=2/n=1/[nIX()], lo stimatore T risulta
corretto ed efficiente.
Esercizio 4
(4.1) Si accetta l’ipotesi nulla H0:=500 (al livello 0.05) perché la media campionaria
pari a 494 supera il valore critico dato da 500-t16;0.95(681/17) = 488.95.
(4.2) Per rifiutare H0:=0 in favore di H1:<0 (al livello ) non basta che la media
campionaria sia inferiore a 0, ma occorre che non superi il valore critico
0-tn-1;1-(s2/n).
(4.3) Se 2=681 e H1: =1=450, allora la potenza del test è data da
1- = P[rifiutare H0 | H1] = P[Xi/n  0-z1-(2/n) | =1]
= P[Z  (0-1)/(2/n)-z1-] = (6.26) = 1.