Programma del corso di Matematica

Programma del corso di Matematica
Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. 2005/06
Docente: Corrado Marastoni
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Algebra
Insiemi e funzioni. Insiemi e sottoinsiemi; unione, intersezione, differenza, complemento. Prodotto cartesiano. Funzioni: immagine e antiimmagine, restrizioni, funzioni iniettive e suriettive;
composizione; funzioni biiettive e inversa.
Numeri reali. I reali come corpo commutativo totalmente ordinato e completo. Intervalli. Sottoinsiemi superiormente e inferiormente limitati, estremo superiore e inferiore e proprietà caratteristiche, massimo e minimo. Sottoinsiemi densi: i razionali e gli irrazionali sono densi nei reali.
Numeri complessi. I complessi come corpo commutativo algebricamente chiuso. Forma algebrica di un numero complesso. Piano di Gauss e interpretazione vettoriale di somma e prodotto
con numeri reali. Coniugazione. Modulo. Formula del reciproco. Radici quadrate. Teorema
Fondamentale dell’Algebra e risoluzione di equazioni algebriche a coefficienti complessi.
Algebra lineare. La struttura di spazio vettoriale di Rn (somme tra n-uple, e moltiplicazione per
costanti scalari); identificazione di R2 col piano cartesiano e di R3 con lo spazio cartesiano, tramite
i vettori geometrici. Il prodotto scalare euclideo in Rn e sua interpretazione geometrica. Proiezione
ortogonale. Spazio delle matrici di numeri reali, operazioni. Determinante di una matrice quadrata
e sue proprietà. Rango di una matrice e sua invarianza per trasformazioni elementari, permutazioni
o moltiplicazioni per scalari non nulli sulle sue righe o colonne. Forma ridotta di Gauss-Jordan.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari: teorema di Rouché-Capelli e struttura dello spazio
delle soluzioni, teorema di Cramer per i sistemi quadrati invertibili. Geometria affine ed euclidea
nel piano e nello spazio cartesiani: forma parametrica e forma cartesiana di rette e piani, prodotto
vettoriale e area del parallelogramma, prodotto misto e volume del parallelepipedo, distanze di
punti da piani e rette.
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Funzioni di una variabile reale
Generalità. Operazioni e ordine per le funzioni. Dominio naturale. Grafico nel piano cartesiano; grafico della funzione opposta, della funzione speculare e della funzione inversa. Calcolo
di immagine e antiimmagine, studio di iniettività e suriettività. Parità. Periodicità. Crescenza e
decrescenza, estremi e estremanti. Limitatezza.
Topologia della retta reale estesa. Intorni di un punto di R; intervalli centrati e famiglie
fondamentali di intorni. Punti di accumulazione ed isolati per un sottoinsieme. La retta estesa
e = R ∪ {−∞, +∞} e gli intorni di ±∞.
R
Limiti, continuità e comportamento locale. Limite di una funzione reale in un punto di
accumulazione del dominio, e descrizione dei casi particolari. Unicità del limite. Cambio di variabile. Limiti destro e sinistro. Limiti delle funzioni monotòne, permanenza del segno, confronto,
compatibilità con le operazioni. Funzioni continue e loro proprietà; immagini continue di intervalli
sono intervalli; immagini continue di intervalli compatti (ovvero chiusi e limitati) sono intervalli
compatti. Teorema di Weierstrass. Forme indeterminate speciali: limiti di funzioni razionali
fratte, di funzioni con esponenziali, logaritmi e potenze, limiti notevoli. Comportamento locale
delle funzioni: relazioni di trascurabilità e asintoticità. Principio di sostituzione nei limiti.
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Derivazione. Derivata in un punto e suo significato geometrico. Derivate destra e sinistra,
punti angolosi. Derivabilità implica continuità. Derivate delle funzioni elementari. Linearità della
derivazione, regola di Leibniz per il prodotto, regola della catena per la composizione, derivata
della funzione inversa. Derivabilità e crescenza, estremi ed estremanti locali. Derivata nulla e
costanza locale. Teorema di de l’Hôpital. Derivate successive, funzioni di classe C k e C ∞ . Formula
di Taylor.
Studio dell’andamento di una funzione. Studio dettagliato dell’andamento di una funzione di
una variabile reale (dominio, periodicità, parità, regolarità, limiti notevoli, limitatezza, intersezioni
del grafico con gli assi coordinati, studio del segno, asintoti, derivabilità e calcolo della derivata,
studio della crescenza e determinazione di estremanti ed estremi locali, derivabilità ulteriore e
calcolo della derivata seconda, studio della convessità e determinazione dei punti di flesso).
Integrazione. L’integrale indefinito, ovvero l’insieme delle primitive (antiderivate) di una funzione; proprietà fondamentali e integrali immediati. Integrazione per sostituzione e per parti.
Integrazione delle funzioni razionali.
L’integrale definito (alla Riemann), ovvero il calcolo di aree; funzioni semplici (o a scalino), funzioni integrabili su un intervallo compatto. Proprietà fondamentali dell’integrale definito: linearità,
isotonı̀a, disuguaglianza fondamentale. Funzioni localmente integrabili e integrale su un intervallo
orientato. Teorema di Torricelli. Teorema Fondamentale del Calcolo. Integrazione per sostituzione
e per parti. Calcolo di aree di regioni limitate di piano delimitate da grafici di funzioni. Cenni di
integrazione generalizzata.
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Funzioni di più variabili reali e equazioni differenziali
Funzioni di due o più variabili reali. Generalità sulle funzioni di due variabili reali: dominio,
segno e rappresentazione del grafico nello spazio tridimensionale. Nozioni di limite e continuità,
discussione dei casi dubbi. Derivate parziali in un punto, funzioni derivate parziali. Funzioni di
classe C 1 . Nozione di differenziabilità per funzioni di una e di due variabili. Differenziale e funzione
lineare affine tangente. Differenziabilità implica continuità ed esistenza delle derivate parziali. Teorema del Differenziale Totale. Curve derivabili nel piano, vettori tangenti, formula della lunghezza;
derivata della funzione composta f (x(t), y(t)). Derivate seconde, teorema di Schwarz.
Equazioni differenziali scalari. Generalità: integrale generale, ordine, forma normale, equazioni
autonome, equazioni lineari. Il problema di Cauchy (assegnazione di un’equazione differenziale con
prescritte condizioni iniziali sulle derivate di ordine inferiore); sull’esistenza e unicità della soluzione
di un problema di Cauchy. Analisi a priori di crescenza e convessità delle soluzioni a partire dalla
forma normale y 0 = f (x, y). Risoluzione delle equazioni del primo ordine a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari: struttura dello spazio delle soluzioni. Risoluzione delle equazioni
lineari del primo ordine. Risoluzione delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti,
con esempi di applicazione alla dinamica newtoniana del punto materiale con un grado di libertà.
Prerequisiti. La frequenza del corso richiede: (1) la conoscenza delle principali proprietà dei numeri naturali, interi, razionali, reali e delle loro operazioni; (2) la padronanza del calcolo letterale; (3) la conoscenza
delle proprietà fondamentali e dell’andamento delle funzioni elementari (potenze reali, esponenziale, logaritmo, modulo, funzioni goniometriche ossia seno, coseno, tangente e cotangente), compresa la risoluzione
di equazioni e disequazioni in cui esse compaiano; (4) la conoscenza dei principali luoghi geometrici nel
piano cartesiano, ed in particolare delle rette e delle coniche (ellissi, parabole, iperboli) di forma particolare,
nonché di come risolvere problemi elementari di geometria analitica.
Testo di riferimento: Note del docente, pubblicate sulla pagine web del corso di Matematica per la
laurea in Biotecnologie A.I. nel server della Facoltà di Scienze (www.scienze.univr.it).
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