Programma del corso di Matematica

Programma del corso di Matematica
Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. 2004/05
Docente: Corrado Marastoni
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Algebra
Insiemi, relazioni e funzioni. Insiemi e sottoinsiemi; unione, intersezione, differenza, complementare. Insieme delle parti e prodotto cartesiano. Relazioni, equivalenze e ordini. Funzioni:
immagine e antiimmagine, restrizioni, funzioni iniettive e suriettive; funzioni biiettive e inversa,
composizione. Operazioni binarie su un insieme, strutture di gruppo, anello e corpo.
I numeri reali. I numeri reali come corpo commutativo totalmente ordinato e completo. Intervalli.
Sottoinsiemi superiormente e inferiormente limitati, estremo superiore e inferiore e loro proprietà
caratteristiche, massimo e minimo. Sottoinsiemi densi: i razionali e gli irrazionali sono densi nei
reali.
I numeri complessi. I numeri complessi come corpo commutativo algebricamente chiuso. Forma
algebrica di un numero complesso. Piano di Gauss e interpretazione vettoriale di somma e
prodotto con numeri reali. Coniugazione. Modulo. Formula del reciproco. Teorema fondamentale
dell’algebra e risoluzione di equazioni algebriche a coefficienti complessi.
Algebra lineare. La struttura di spazio vettoriale di Rn : identificazione di R2 col piano cartesiano
e di R3 con lo spazio cartesiano, rappresentazione tramite i vettori geometrici. Il prodotto scalare
euclideo in Rn e sua interpretazione nel piano e nello spazio cartesiani. Proiezione ortogonale.
Spazio delle matrici di numeri reali, operazioni. Determinante di una matrice quadrata e sue
proprietà. Determinante, matrice aggiunta e invertibilità. Rango di una matrice e sua invarianza
per trasformazioni elementari, permutazioni o moltplicazioni per scalari non nulli sulle sue righe o
colonne. Forma ridotta di Gauss-Jordan. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari: teorema di
Rouché-Capelli e struttura dello spazio delle soluzioni, teorema di Cramer per i sistemi quadrati
invertibili. Geometria affine ed euclidea nel piano e nello spazio cartesiani: forma parametrica e
forma cartesiana di rette e piani, prodotto vettoriale e area del parallelogramma, prodotto misto
e volume del parallelepipedo, distanze di punti da piani e rette.
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Funzioni di una variabile reale
Generalità. Operazioni e ordine per le funzioni. Dominio naturale. Grafico nel piano cartesiano; grafico della funzione opposta, della funzione speculare e della funzione inversa. Calcolo
di immagine e antiimmagine, studio di iniettività e suriettività. Parità. Periodicità. Crescenza e
decrescenza, estremi e estremanti. Limitatezza.
La topologia della retta reale, della retta reale estesa e degli spazi affini. Intorni di un
punto di R; intervalli centrati e famiglie fondamentali di intorni. Punti di accumulazione ed isolati
e = R ∪ {±∞} e gli intorni di ±∞.
per un sottoinsieme. La retta estesa R
Limiti, continuità e comportamento locale. Definizione di limite di una funzione reale in un
punto di accumulazione del dominio e descrizione dei casi particolari. Unicità del limite. Cambio di
variabili. Limiti destro e sinistro. Limiti delle funzioni monotòne, permanenza del segno, confronto,
compatibilità con le operazioni. Funzioni continue e loro proprietà; immagini continue di intervalli
sono intervalli, e di compatti sono compatti. Teorema di Weierstrass. Forme indeterminate speciali:
limiti di funzioni razionali fratte, di funzioni con esponenziali, logaritmi e potenze, limiti notevoli.
Comportamento locale delle funzioni: relazioni di trascurabilità (o piccolo) e asintoticità. Principio
di sostituzione nei limiti. Sviluppi asintotici più importanti all’intorno di zero.
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Derivazione. Definizione di derivata in un punto e suo significato geometrico. Derivate destra e
sinistra, punti angolosi. Derivabilità implica continuità. Derivate delle funzioni elementari. Linearità della derivazione, regola di Leibniz per il prodotto, regola della catena per la composizione,
derivata della funzione inversa. Derivabilità e crescenza, estremi ed estremanti locali. Teoremi di
Rolle e Lagrange. Derivata nulla e costanza locale. Teorema di de l’Hôpital. Derivate successive,
funzioni di classe C k e C ∞ . Formula di Taylor.
Studio dell’andamento di una funzione. Studio dettagliato dell’andamento di una funzione
(dominio, periodicità, parità, continuità, limiti notevoli, limitatezza, intersezioni del grafico con
gli assi coordinati, studio del segno, asintoti, derivabilità e calcolo della derivata, studio della
crescenza e determinazione di estremanti ed estremi locali, derivabilità seconda e calcolo della
derivata seconda, studio della convessità e determinazione dei punti di flesso).
Integrazione. L’integrale indefinito, ovvero l’insieme delle primitive (antiderivate) di una funzione; proprietà fondamentali e integrali indefiniti immediati. Integrazione indefinita per sostituzione e per parti. L’integrale definito (secondo Riemann), ovvero il calcolo di aree; funzioni
semplici e semplici a supporto compatto, definizione di funzione integrabile. Proprietà fondamentali dell’integrale definito: linearità, isotonı̀a, disuguaglianza fondamentale. Funzioni integrabili su
un sottoinsieme; funzioni localmente integrabili e integrale su un intervallo orientato. Teorema di
Torricelli e teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione definita
per sostituzione e per parti. Calcolo di aree di regioni limitate di piano delimitate da grafici di
funzioni. Cenni di integrazione generalizzata.
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Funzioni di più variabili reali e equazioni differenziali
Funzioni di due variabili reali. Generalità: dominio e rappresentazione del grafico nello spazio
tridimensionale. Limite in un punto di accumulazione del dominio e continuità, discussione dei
casi dubbi. Derivate parziali in un punto, funzioni derivate parziali. Funzioni di classe C 1 . Differenziabilità per funzioni di una variabile e di due variabili. Differenziale e funzione lineare affine
tangente. Differenziabilità implica continuità ed esistenza delle derivate parziali. Teorema del
differenziale totale. Curve derivabili nel piano e caso particolare del teorema di differenziazione
di funzioni composte per la funzione f (x(t), y(t)). Derivate seconde e teorema di Schwarz. Forme
differenziali chiuse ed esatte.
Equazioni differenziali scalari. Generalità sulle equazioni differenziali: integrale generale, ordine, forma normale, equazioni lineari. Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali di ordine n. Studio di crescenza e convessità delle soluzioni a partire dalla forma normale y 0 = f (x, y).
Risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili. Risoluzione delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a
coefficienti costanti con esempi di applicazione alla dinamica del punto materiale con un grado di
libertà.
Prerequisiti. La frequenza del corso richiede: (1) la conoscenza delle principali proprietà dei numeri naturali, interi, razionali, reali e delle loro operazioni; (2) la padronanza del calcolo letterale; (3) la conoscenza
delle proprietà fondamentali e dell’andamento delle funzioni elementari (potenze reali, esponenziale, logaritmo, modulo, funzioni goniometriche ossia seno, coseno, tangente e cotangente), compresa la risoluzione di
equazioni e disequazioni in cui esse compaiano; (4) la conoscenza dei principali luoghi geometrici nel piano
cartesiano, ed in particolare delle rette e delle coniche (ellissi, parabole, iperboli) di forma particolare,
nonché di come risolvere problemi elementari di geometria analitica.
Modalità di esame: Prova scritta.
Testo di riferimento: Note del docente, pubblicate sulla pagine web del corso di Matematica per la
laurea in Biotecnologie A.I. nel server della Facoltà di Scienze (www.scienze.univr.it).
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