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Quel che vedo è sempre vero
Introduzione
Questa attività si colloca all'inizio del calcolo algebrico, quindi all'inizio del biennio (anche se
in alcuni casi la questione può essere affrontata negli anni immediatamente precedenti, e può
essere ripresa negli anni successivi). Sono prese in considerazione congetture semplici,
verificabili numericamente e dimostrabili algebricamente, in modo da giustificare
l'affermazione: Quel che vedo è sempre vero.
Come
vedremo
in
seguito,
entrano
in
gioco
due
punti
cruciali
dell'apprendimento:
- la formalizzazione (esprimere con lettere relazioni enunciate a parole);
- la differenza tra verifica in un numero finito di casi e dimostrazione in generale.
L'attività può essere introdotta quando gli studenti già sanno sia calcolare il valore di
un’espressione numerica e semplificare una semplice espressione letterale, sia usare il
foglio elettronico, per rendere più veloce la verifica di una congettura e la ricerca di eventuali
controesempi.
L'attività, che riguarda una situazione problematica (verifica di un'affermazione attraverso
l'implementazione nel foglio elettronico e dimostrazione della stessa), permette agli studenti di
affinare le capacità critiche nell’ambito delle forme di ragionamento, di consolidare le regole
per il calcolo del valore di un'espressione letterale e, inoltre, di acquisire consapevolezza
nell'uso degli strumenti di calcolo automatizzato.
Descrizione attività
Fase 1
L’insegnante dice:
"La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo precedente è sempre
un numero dispari?"
Vediamo insieme un esempio.
Il prof dice “Prova tu stesso a verificare la correttezza della mia affermazione! Completa la
tabella calcolando il quadrato dei numeri presenti nella prima colonna".
Completa la tabella calcolando il quadrato dei numeri presenti nella seconda colonna.
Il prof dice:
Calcola ora la differenza dei quadrati.
Tutti questi calcoli possono essere effettuati più velocemente attraverso l’utilizzo del
computer e soprattutto del foglio di calcolo, impostando l’operazione che si desidera.
Avrai capito quali sono le relazioni necessarie per fare i calcoli.
Per calcolare il numero precedente n devo applicare l’espressione n-1; invece per calcolare il
numero successivo ad n basterà applicare l’espressione n+1.
Con questo metodo non solo sarà possibile calcolare i valori corrispondenti a tanti numeri
contemporaneamente, ma anche a numeri molto alti.
Completa il file che ti proponiamo inserendo nelle colonne F, G e H le opportune espressioni.
Fase 2
L’insegnante:




Sollecita la riflessione su un aspetto del problema: Che cosa ci assicura che
l’affermazione "La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo
precedente è un numero dispari" è sempre vera?
Formalizza algebricamente l’espressione "differenza tra il quadrato di un numero
naturale e il quadrato del suo precedente" ed invita gli studenti a svilupparla: n 2–(n–
1)2 = n2–n2+2n–1 = 2n–1.
Prospetta l’espressione 2n come formula generatrice di un numero pari e quindi 2n–1
come formula generatrice dei numeri dispari.
Stimola gli studenti a ricercare la differenza tra verifica e dimostrazione in una
congettura e a giustificare l'espressione: Quel che vedo è sempre vero. Si tratta di
confrontare verifiche aritmetiche di un'affermazione in un numero limitato di casi con
una dimostrazione algebrica.
Nota: l’insegnante può fare osservare che la formalizzazione poteva anche essere espressa
come (n+1)2 – n2 = 2n+1 e che 2n+1 è ugualmente una formula generatrice di numeri
dispari.
Fase 3
Per consolidare l'esperienza, l'insegnante prospetta agli studenti altre situazioni in cui
intervengono scritture del tipo 2n+1, 2n e altre forme algebriche.
L'insegnante
propone
di
osservare,
verificare,
dimostrare
le
seguenti
affermazioni:
1. la somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari (e anzi è un multiplo di 4);
2. la somma di un numero pari con un numero dispari è un numero dispari;
3. la somma di due numeri pari è un numero pari;
4. il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari;
5. il prodotto di due numeri, di cui almeno uno è pari, è pari.
Indicazioni metodologiche
Difficoltà didattiche e superamento di esse
All’attività è legata l’acquisizione di varie abilità, fra cui soprattutto l'attenzione nella lettura, la
comprensione di enunciati matematici e la scoperta di regolarità negli insiemi numerici.
Durante il primo ciclo di studi (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado) gli studenti
hanno acquisito familiarità con i numeri interi e con le operazioni con essi. Hanno compreso il
significato di numero primo (e imparato a riconoscerlo), di divisore e di multiplo. Hanno
anche individuato semplici regolarità di comportamento dei numeri naturali (ad esempio, ad un
numero pari segue sempre un numero dispari, e viceversa) e hanno verificato in casi
particolari proprietà elementari dei numeri.
L’attività proposta riguarda una semplice proprietà: essa consente di affrontare alcune
difficoltà di base che, per molti studenti, rappresentano ostacoli per un corretto procedere
nell’apprendimento matematico.
Una delle difficoltà che gli studenti incontrano, a tutti i livelli scolastici, è la traduzione delle
relazioni fornite da un contesto problematico in una formalizzazione; nel nostro caso, molti
studenti hanno difficoltà ad esprimere con le lettere le relazioni enunciate nel problema.
Gli errori più frequenti in algebra sono legati alla mancata comprensione del passaggio
dall'aritmetica all'algebra.
Il docente deve sempre far presente che l'aritmetica dà significato all'algebra, fornisce
esempi e permette un controllo. È perciò consigliabile un frequente riferimento a numeri, visti
come casi particolari di una proprietà generale espressa in termini letterali; in altre parole
occorre evitare che l'algebra sia vista come una pura manipolazione di simboli privi di
significato.
C'è poi una difficoltà specifica del primo biennio del secondo ciclo: la comprensione della
differenza concettuale tra verifica (la proprietà considerata è valida in un numero finito di casi,
anche altissimo, come sono quelli presenti nella tabella del foglio elettronico) e dimostrazione
(la proprietà è valida in ogni caso).
In altri termini: “Quel che vedo è sempre vero!”. Anche perché, mentre durante gli anni della
ex Scuola Media, si compiono generalmente solo attività di verifica di talune proprietà (ad
esempio la validità della relazione pitagorica è verificata attraverso il conteggio di quadretti per
particolari terne pitagoriche), nel primo biennio del secondo ciclo si affronta la dimostrazione.
A questo livello scolare non è detto che uno studente che dimostra correttamente teoremi di
geometria euclidea, abbia veramente compreso il significato concettuale della dimostrazione. A
proposito di dimostrazioni, sottolineiamo che l'attività proposta presenta una dimostrazione in
campo non geometrico: la dimostrazione riguarda tutti i settori della matematica.
L’attività proposta mira al superamento di tali difficoltà attraverso una metodologia definita
dell’apprendistato cognitivo, intesa come imitazione consapevole delle strategie scelte e
proposte dal docente: lo studente non si limita a riprodurre i comportamenti dell’esperto (il
docente), ma diviene consapevole dei motivi che portano l’esperto a scegliere certe strategie e
non altre. (Per ulteriori informazioni scarica l'allegato).
Nell’attività considerata l’insegnante fornisce alcuni suggerimenti. Inizia prospettando le
espressioni n–1 e n+1 come formule che esprimono il numero precedente e il successivo al
numero n; successivamente presenta l’espressione 2n come formula generatrice di un
numero pari e 2n+1 (ovvero 2n–1) come formula generatrice di un numero dispari.
L’acquisizione consapevole di tali formule da parte degli studenti li condurrà facilmente alla
dimostrazione algebrica dell’enunciato considerato.
Il processo fondamentale da attivare nella mente degli studenti è il passaggio dalla validità
dell’enunciato per i numeri presenti nella tabella del foglio elettronico (anche se sono tanti,
sono comunque in numero finito) alla validità generale (per ogni numero n) espressa dalle
uguaglianze algebriche dimostrate:
n2-(n-1)2 oppure (n+1)2- n2= 2n+1
Le formule precedenti non vanno proposte all'inizio dell'attività: è didatticamente più efficace
partire dall'esame di una tabella per una verifica numerica della congettura e successivamente
passare alla dimostrazione algebrica. Con questo tipo di attività si chiarisce il ruolo di esempi e
controesempi.
Spunti per un approfondimento disciplinare
Lo studio dei numeri naturali e delle sue proprietà ha occupato nel corso dei secoli un posto
rilevante nell’ambito della ricerca matematica.
Il settore concernente tali studi è normalmente chiamato Aritmetica.
Gli sviluppi dell’aritmetica elementare (questioni riguardanti la divisibilità e i numeri primi, la
teoria delle congruenze, l’analisi indeterminata o diofantea, …) sono oggi indicati usualmente
con il nome di Teoria dei Numeri.
I problemi relativi ai numeri naturali sono numerosi e spesso possono essere enunciati in modo
estremamente semplice.
Alcuni di essi riguardano proprietà dei numeri facilmente verificabili e dimostrabili; altri,
invece, sono difficilissimi, nonostante l’apparenza semplice dell’enunciato, e non sono ancora
stati risolti.
Un classico esempio è rappresentato dalla congettura di Goldbach: “Ogni numero pari
maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi”.
L'attività proposta riguarda proprietà semplici da enunciare e di facile dimostrazione.
Essa tuttavia presenta legami con:
- la logica: si tratta di tradurre situazioni in un linguaggio simbolico, nel nostro caso il
linguaggio algebrico; il discorso rientra nei rapporti fra sintassi (calcolo con lettere) e
semantica (i numeri rappresentati da quelle lettere);
- l'informatica: un computer, o un semplice foglio elettronico, o perfino una calcolatrice
numerica, permettono verifiche veloci, anche con numeri grandi;
- alcuni concetti di teoria dei numeri, in particolare le congruenze; da proprietà elementari
dei numeri naturali (la somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari,
la somma di due pari è un numero pari, il prodotto di due dispari è dispari, ecc.) si passa
naturalmente a capire l'anello delle classi di resto modulo 2, cioè l'insieme con due elementi
{0, 1}, dove 1+1 = 0 ecc.
Elementi per prove di verifica
Nel seguente test vero/falso, si chiede di riconoscere le espressioni algebriche che possono
rappresentare certe somme, qualora si indichino in modo opportuno i numeri di partenza.
Ad esempio, nell'esercizio 1 sono vere la risposta a) (se i numeri dispari sono indicati con 2n+1
e 2n+3) e la risposta b) (se i numeri dispari sono indicati con 2n–3 e 2n–1), mentre sono false
le risposte c) e d), qualunque sia il modo di indicare i numeri di partenza.
L’insegnante può scegliere di richiedere o meno la motivazione delle affermazioni. In effetti, a
livello teorico, per dimostrare la falsità di certe affermazioni bisognerebbe introdurre opportune
congruenze; naturalmente nella pratica didattica è bene limitarsi a considerazioni (corrette)
basate sul buon senso o su opportuni esempi.
Per ogni affermazione indica se è vera o se è falsa.
1. La somma di due numeri dispari consecutivi si può indicare con la scrittura:
a) 4(n+1)
b) 4(n–1)
c) 4n+1
d) 4n–1
2. La somma di due numeri pari consecutivi si può indicare con la scrittura:
a) 4(n–2)
b) 4(n–1)
c) 4n–1
d) 4n–2
3. La somma di tre numeri pari consecutivi si può indicare con la scrittura:
a) 6(n–1)
b) 6n
c) 3n
d) 6n+8
e) 6n+4
4. La somma di tre numeri dispari consecutivi si può indicare con la scrittura:
a) 6(n–1)
b) 6n
c) 3n
d) 6n+8
e) 6n–3
Nella seguente proposta, invece, si vuole verificare se gli alunni hanno compreso il significato
di dimostrazione algebrica e il ruolo di esempi e controesempi.
Discuti le seguenti affermazioni e dimostra se sono vere o false:
• “La somma di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 3”.
• “La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari”.
• “Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è primo”.
• “La somma fra un numero e il suo quadrato è un numero dispari”.
Altre attività con gli studenti
L'attività può essere presentata autonomamente o, meglio, inserita in un percorso più
articolato che comprende le altre unità di Numeri e algoritmi in Matematica 2003:




"Diverse scritture per una formula"
"Non è vero che è sempre vero"
"Sarà vero ma non ci credo"
"Condizione necessaria ma non sufficiente"
Nell’ottica di un insegnamento-apprendimento sensato dell’algebra si può fare riferimento
anche ai materiali del pacchetto formativo multimediale Algebra fra tradizione e rinnovamento:



"Diverse scritture per un numero"
"Costruzione di formule"
"Numeri figurati"
Segnaliamo alcune osservazioni ed esercizi.
1. Dopo avere svolto l'attività, si può notare che:
- la differenza dei quadrati di due numeri consecutivi non solo è sempre dispari, ma più
precisamente è la somma dei due numeri consecutivi considerati; per esempio:
72 - 62 = 13 = 6 + 7
142 - 132 = 27 = 13 + 14
e la dimostrazione corrispondente è una bella applicazione della scomposizione in fattori della
differenza di due quadrati:
(n+1)2
-
n2
=
(n
+
1
+
n)
(n
+
1-
n)
=
(n
+
1+
n)
è anche vero che ogni numero dispari è la differenza dei quadrati di due numeri consecutivi;
basta leggere le formule precedenti da destra verso sinistra:
2n + 1 = (n+1)2 - n2
un’applicazione della stessa formula a volte utile permette il calcolo del quadrato di un numero
noto il quadrato del numero precedente o successivo.
Per calcolare 512 si può fare:
502+50+51=2500+101=2601
Questo si spiega se si rilegge la formula come:
(n+1)2= n2 + 2n + 1 = n2 + n + (n+1)
Analogamente 492=502–50–49=2500–99=2401.
2. Risolvere e commentare il seguente problema.
Due persone sono nate in anni diversi, ma festeggiano il compleanno lo stesso giorno. Se la
somma delle loro età attuali è dispari, negli anni futuri la somma delle loro età sarà pari o
dispari? E il prodotto? Se il prodotto delle loro età attuali è dispari, negli anni futuri la somma
delle loro età sarà pari o dispari?
Risoluzione. Se la somma delle due età attuali è dispari, allora si tratta di un numero pari e
uno dispari. Anche negli anni futuri, una delle due età sarà espressa da un numero pari e l'altra
da un numero dispari. La somma sarà quindi sempre dispari e il prodotto sempre pari.
Se il prodotto delle due età attuali è dispari, allora si tratta di due numeri dispari. Negli anni
futuri, le due età saranno entrambe pari oppure entrambe dispari; in entrambi i casi, la somma
sarà pari.
3. Risolvere e commentare il seguente rompicapo.
Ciascuna delle persone che ha partecipato ad un ricevimento ha dato un certo numero di
strette di mano (non necessariamente a tutti; anzi, non si esclude nemmeno che due persone
si siano stretta la mano più volte). Dimostrare che il numero di quelli che ne hanno dato un
numero dispari, è pari.
Risoluzione. Se associamo ad ogni persona il numero delle strette di mano date, e poi
sommiamo tutti questi numeri, il risultato deve essere pari, perché ogni stretta di mano
coinvolge due persone. Abbiamo quindi una somma pari con molti addendi (le strette di mano
date dalle varie persone): fra questi addendi, alcuni possono essere pari, ma quelli dispari
sono in numero pari (altrimenti la somma sarebbe dispari).
Documentazione e materiali
MATERIALI DI SUPPORTO ALL'ATTIVITÀ
Da Matematica 2003:
"Diverse scritture per una formula"
"Non è vero che è sempre vero"
"Sarà vero ma non ci credo"
"Condizione necessaria ma non sufficiente"
“Abilità e conoscenze matematiche”
Da Algebra fra tradizione e rinnovamento:



"Diverse scritture per un numero"
"Costruzione di formule"
"Numeri figurati"
File excel
Bibliografia e sitografia
BIBLIOGRAFIA
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per
attività e prove di verifica. Scuola primaria. Scuola secondaria di I grado.
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
AAVV, Matematica 2003. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di verifica
per un nuovo curriculo di matematica. Ciclo secondario.
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
PISA 2003, Valutazione dei quindicenni a cura dell’OCSE, Roma, Armando Armando, 2004.
AAVV, Algebra fra tradizione e rinnovamento. Pacchetto formativo multimediale per docenti di
Scuola Superiore. M.I.U.R, Liceo Scientifico “Vallisneri”, U.M.I., 2005.
SITOGRAFIA
Sito dell'Unione matematica Italiana (UMI):
http://www.dm.unibo.it/umi
Sezione Didattica:
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
Matematica 2001:
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
Matematica 2003:
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
Dal sito INVALSI
OCSE-PISA 2006:
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/
Protocollo per la sperimentazione
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli sinteticamente
per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:




fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
esplicitare gli adattamenti necessari;
formulare il progetto didattico relativo;
preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative alla
situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di sperimentazione
vissuto in classe). L’insegnante dovrà elaborare un diario con l’esposizione dell’esperimento
svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta didattica, delle difficoltà incontrate in
particolare nel processo di costruzione di significato e di procedura di soluzione e di come sono
state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.