Testo

Numeri irrazionali
E' un numero irrazionale ogni numero (positivo o negativo) la cui rappresentazione
decimale è illimitata e non periodica.
Esempi:
•
√ 2 , √ 5 o, in generale √ n in cui n non è un quadrato perfetto
• π=3,1415...
E' un numero reale ogni numero razionale o irrazionale
L'insieme dei reali si indica con R
Considera un numero reale, per esempio il numero √ 2 , e costruisci gli insiemi A e B
costituiti, rispettivamente, dalle approssimazioni per difetto e per eccesso del numero:
A={1; 1,4; 1,41; 1,414;...}
B={2; 1,5; 1,42; 1,415;...}
Nota che:
• ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B: gli insiemi sono separati;
• è sempre possibile determinare un elemento di B e uno di A, la cui differenza sia
piccola quanto si vuole. Per esempio se vogliamo che la differenza sia 0,01 basta
scegliere 1,42 e 1,41. I due insiemi sono indefinitamente ravvicinati. Formalmente si
scrive:
scelro un ε (si legge “epsilon”) > 0 piccolo a piacere, possiamo trovare due elementi, a ϵ
A e b ϵ B tali che:
b−a≤ϵ
•
Ogni coppia di insiemi A e B di numeri reali che, come quelli considerati poco fa,
sono separati e indefinitamente ravvicinati, viene detta coppia di classi contigue di
numeri reali.
Vale la seguente proprietà di completezza di R:
Per ogni coppia di classi contigue A, B di numeri reali esiste un unico numero reale s,
detto eleemnto separatore di A e B, tale che:
a≤s≤b per ogni a ϵ A, b ϵ B
Le potenze a esponente irrazionale
Cosa può significare 2√ 3 ?
√ 3 è un numero irrazionale e le sue approssimazioni per difetto ed eccesso sono:
Approssimazioni 1
per difetto
1,7
1,73
1,732
1,7320
Approssimazioni 2
per eccesso
1,8
1,74
1,733
1,7321
e le potenze che hanno base 2 ed esponente
√ 3 sono:
Potenze di 2 che
hanno come
esponenti le
approssimazioni
di √ 3 per
difetto
21
21,7
21,73
21,732
21,7320
Potenze di 2 che
hanno come
esponenti le
approssimazioni
di √ 3 per
eccesso
22
21,8
21,74
21,733
21,7321
Dobbiamo cercare ora un numero x che sia maggiore di tutte le potenze di 2 che hanno esponenti
razionali che approssimano per difetto √ 3 e minore di tutte le potenze di 2 che hanno esponenti
razionali che approssimano per eccesso √ 3 .
Dovrà essere:
21<x<22
21,7<x<21,8
21,73<x<21,74
21,732<x<21,733
Le due successioni costituite dalle potenze di 2 con esponenti razionali che
approssimano √ 3 rispettivamente per difetto ed eccesso, individuano uno e un solo
numero x che, per definizione, chiamiamo potenza di 2 con esponente √ 3 e indichiamo
con 2√ 3
Varie definizioni di potenza
Potenza
Definizione
a 0=1
a 1=a
a m=a∙ a ∙a ∙...
con esponente intero un
numero m non negativo
per ogni a ϵR con a≠ 0
per ogni a ϵ R
per ogni a ϵR ,con m>1
m volte
1 m
a =( )
a
con esponente un
numero intero negativo
−m
m
n
con esponente un
numero razionale
n
a =√a
−
a
m
n
m
1 mn
=( )
a
per ogni a ϵ R , con a≠0
e mϵ
Z+
per ogni a ϵ R , con a≥0 , m ϵ N, n ϵ N-{0}
per ogni a ϵ R , con a>0 , m ϵ N, n ϵ N-{0}
ax
con esponente un
numero irrazionale
per ogni a ϵ R , con a≥0 , per ogni x irrazionale positivo
è definito come elemento separatore della coppia di classi contigue costituite
dalle potenze di a con esponenti razionali che approssimano x
rispettivamente per difetto e per eccesso
1 x
a =( )
a
−x
per ogni
a ϵ R , con a>0 , per ogni x irrazionale positivo
Restano non definite:
•
le potenze con base 0 ed esponente nullo o negativo: 0 0, 0-2, 0−√5
•
le potenze aventi come base un numero negativo e come esponente un numero razionale o
irrazionale:
3
4
(−2)
, (−3)√ 5
Quindi:
•
se la base è variabile e l'esponente è costante irrazionale positivo la potenza ha
significato se la base è positiva o nulla.
Esempio: (x−2)√ 2 ha significato per x≥2
•
se la base è variabile e l'esponente è costante irrazionale negativo la potenza ha
significato se la base è positiva.
Esempio: (x−2)−√ 2 ha significato per x>2