NOTIZIA CIRCA UNA NUOVA DIMOSTRAZIONE
RIGUARDANTE I NUMERI PRIMI GEMELLI
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show a recent new about a possible proof on twins
prime numbers, by Zhang Yitang
Riassunto
In questo breve lavoro riportiamo una recente notizia circa una
presunta dimostrazione che le coppie di numeri gemelli siano in
numero finito, da parte del matematico cinese Zhang Yitang, seguita
da un nostro commento
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Riportiamo dal web, sito
www.lescienze.it/news/2013/05/18/news/congettura_numeri...
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18 maggio 2013
Numeri primi, altro che solitudine
Creative Commons - cortesia renoir_girl
18/05/2013
Numeri primi, altro che solitudine
Esistono coppie infinite di numeri primi gemelli, ovvero di
numeri primi la cui differenza è due. La dimostrazione, in
corso di pubblicazione su una delle riviste di matematica più
prestigiose, conferma una congettura secolare, enunciata
addirittura da Euclide. In particolare, è stata dimostrata una
versione debole di questa congettura, stabilendo un limite
fissato e finito alla distanza fra numeri primi gemelli (red)
Con buona pace dell'accattivante titolo di un recente romanzo,
i numeri primi non vivono affatto in solitudine: esistono invece
infinite coppie di numeri primi gemelli, in base a una
congettura - detta appunto dei numeri primi gemelli enunciata già da Euclide nel III secolo a.C.
A dispetto della sua antichità, tuttavia la congettura non è
dimostrata, almeno fino ad ora: ad annunciare un teorema che
fa compiere un significativo passo in avanti verso la sua
dimostrazione è Yitang Zhang dell'Università dello New
Hampshire a Durham, che nel corso di un seminario alla
Harvard University ne ha delineato ai colleghi le linee
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fondamentali, in corso di pubblicazione sugli “Annals of
Mathematics”, una delle riviste più importanti del campo.
I numeri primi gemelli sono quei numeri primi (ovvero i
numeri naturali divisibili solo per 1 e per se stessi) la cui
differenza è 2: per esempio 3 e 5, o 11 e 13. La congettura
avanzata da Euclide afferma che esiste un numero infinito di
questi numeri primi gemelli. Purtroppo, come capita
abbastanza spesso nella teoria dei numeri, il fatto che
un'ipotesi sia semplice da formulare ha ben poco a che fare
con la facilità di dimostrarla o confutarla, e infatti anche la
congettura dei numeri primi gemelli finora ha resistito agli
assalti.
Di fronte a situazioni di questo tipo i matematici tentano
spesso di avvicinarsi alla soluzione passo passo, cercando di
dimostrare una congettura affine ma più “debole” - per
esempio quella che afferma l'esistenza di un'infinità di coppie
di numeri primi per i quali vi sia comunque un qualche limite
alla distanza che li separa, sia pure più grande di 2 - per poi
procedere a rafforzarla, ossia a rendere sempre più stringente
il limite.
Un primo risultato importante in questo senso è stato ottenuto
nel 2005 da Dan Goldston, della San Jose State University,
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Cem Yildirim, dell'Università di Istanbul, e Janos Pintz,
dell'Accademia delle scienze ungherese. Se si eccettuano i
numeri primi gemelli, in genere l'intervallo tra un numero
primo e il successivo aumenta via via che i numeri sono più
grandi. Goldston, Yildirim e Pintz riuscirono ianzitutto a
dimostrare che esiste un'infinità di numeri primi per i quali
quell'intervallo è piccolo rispetto alla media degli intervalli
precedenti. In seguito mostrarono che, assumendo come valida
una particolare ipotesi, deve esistere numero infinito di coppie
di primi che differiscono di non più di 16. L'ipotesi che
avevano fatto, però, si dimostrò essa stessa una congettura non
dimostrata!
© Images.com/Corbis
Ora Zhang sembra aver trovato una dimostrazione che evita il
ricorso a quell'ipotesi e a stabilire un chiaro limite alla
distanza fra primi gemelli, sia pure meno stringente di 16.
Questo limite è... 70.000.000.
Può sembrare un valore spropositatamente grande,
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ma in realtà il risultato è davvero notevole visto che si tratta
comunque di un valore fissato e finito, mentre il limite
precedentemente trovato da Goldston, Yildirim e Pintz faceva
riferimento a una media via via crescente. Detto in altri
termini, la differenza fra 2 e 70.000.000 è insignificante in
confronto a quella fra 70 milioni e l'infinito.
Adesso si tratta di aspettare che il rigoroso controllo della
comunità dei matematici assicuri che nella dimostrazione
proposta non si annidi ancora una volta qualche piccola
ipotesi indimostrata. Un lavoro, questo, che più di una volta –
come nel caso del teorema di Fermat o della congettura di
Poincaré - ha richiesto mesi di lavoro a un gran numero di
esperti.”
Nostro commento.
Noi abbiamo già dimostrato che le coppie di numeri primi gemelli
sono infinite (Rif.1, gemelli e Sophie Germain)), senza ricorrere a
numeri come 70 000 000 come massimo gap possibile tra due coppie di
primi gemelli, Tra due numeri primi consecutivi, pn e pn +1 il gap
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massimo consentito dalla congettura di Cramer - Shank , da noi pure
dimostrata (rif.2,Solar CNR) è di ln (pn)^2, valore che potrebbe
anche essere superiore a 70 000 000. Un gap così grande si presenta
dopo numeri primi di grandezza 10^n/2, (da non confondere n
esponente di 10 a n di pn, che in questo caso è un indice).
Per un gap (differenza tra due numeri primi consecutivi, minimo 2 nei
numeri primi gemelli) in questo caso 70 000 000, il numero primo pn
deve essere quindi dell’ordine di 10^35 000 000, e tale presunto gap di
di 70 000 000 si presenterà infinite volte a partire da tale enorme pn, e
rarissime volte prima, come per tutti gli altri numeri pari.
Il massimo gap possibile a questi livelli numerici è dell’ordine di
ln( 10^35 000 000)^2, e quindi (non potendo calcolare tale logaritmo
con la calcolatrice scientifica) e usando il logaritmo decimale o Log,
uguale al doppio dell’esponente, abbiamo almeno (essendo il
logaritmo naturale superiore a 2n
(2*35 000 000)^2 = 70 000 000^2 = 4 900 000 000 000 000, numero
molto più grande di 70 000 000 (ne è il quadrato)
Se fosse dimostrata l’esistenza di un gap maggiore di tale enorme
numero 4 900 000 000 000 000, sarebbe stato trovato un contro
esempio della ex congettura di Cramer –Shang, e allora la cosa sì che
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sarebbe stata interessante; ma da solo il numero 70 000 000 non ci dice
proprio nulla ( dovremmo però leggere la dimostrazione del
matematico cinese), e comunque non ci fidiamo molto di numeri limite
così grandi.
Per esempio, per la congettura debole di Goldbach, si sono presi come
limiti inferiori affinché un numero dispari fosse la somma di tre
numeri primi, i numeri 3^14 348 907 e ≈ 2*10^1346
Da Wikipedia, parzialmente:
Congettura debole di Goldbach
La congettura non è stata dimostrata, ma sono stati ottenuti
risultati molto vicini. Nel 1923, Hardy e Littlewood
mostrarono che, assumendo vera una certa generalizzazione
dell'ipotesi di Riemann, la congettura è vera per tutti i numeri
dispari sufficientemente grandi. Nel 1937 un matematico russo,
Ivan Vinogradov, fu in grado di eliminare la dipendenza
dall'ipotesi di Riemann e dimostrò direttamente che ogni
numero dispari abbastanza grande può essere espresso come
somma di tre primi. Nonostante Vinogradov non fosse in
grado di dire quando un numero fosse abbastanza grande, il
suo allievo K. Borodzin dimostrò che 314,348,907 è un limite
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inferiore sufficiente. Questo numero ha più di sei milioni di
cifre, pertanto verificare ogni numero dispari fino a quel
limite è praticamente impossibile. Fortunatamente, nel 1989
Wang e Chen abbassarono questo limite superiore a 1043,000;
nel 2002 il limite fu ulteriormente abbassato da Liu Ming-Chit
. Se si controllasse quindi
e Wang Tian-Ze a circa
la congettura per tutti i numeri dispari minori di questo
numero, essa sarebbe effettivamente dimostrata; tuttavia il
controllo al computer ha raggiunto solamente 1018, ed è quindi
molto distante…”
Le nostre dimostrazioni, però, portano ad un limite inferiore
di 7, poiché ogni numero pari o dispari può scriversi come
somma di k primi, e il limite inferiore è uguale a 2k se k è pari
e 2k+1 se k è dispari. Ecco perché il limite inferiore per la
congettura forte (k=2) è 4 = 2k =2*2, e per la congettura
debole, in cui k = 3, il limite inferiore è 2k+1 = 2*3+1= 7, senza
scomodare questi grandi numeri (Rif. 3 (Estensione di
Goldbach a k primi)* , con esempi e tabelle.
Ecco perché non ci fidiamo di tali enormi limiti inferiori. Un
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altro caso del genere sono i numeri di Sierpinski e di Riesel,
con presunti numeri più piccoli dell’ordine di qualche
migliaio e decina di migliaia, invece dimostrano che sono solo
5 e 7 (Rif. 4 Sierpinski e Riesel)
Commento sui presunti sviluppi crittografici, accennati su un articolo
del IL SOLE - 24 ORE del 19.5.2013.
“Dimostrazione ad Harvard : i numeri primi non sono più soli”
“ I numeri primi molto, molto grandi sono oro per le società di
crittografia”.
Commento: finora i numeri RSA più grandi usati in crittografia
hanno circa un migliaio di cifre (tuttavia si cerca di aumentarne
ancora il numero di qualche centinaio per maggiore sicurezza, che i
numeri fino a 500 cifre non hanno quasi più) , ma i numeri primi con
differenza di 70 000 000 di unità hanno un numero di cifre di circa
10^35 000 000, cioè di qualcosa come almeno 35 000 000 di cifre ,
attualmente molto difficili da manipolare, figuriamoci poi di
fattorizzare i loro prodotti. Quindi ci sembra prematuro parlare di
sviluppi crittografici con questi enormi numeri di milioni di cifre.
Se poi il matematico cinese si riferisce al prodotto di due numeri
primi gemelli come possibile numero RSA, fa malissimo, poiché questi
prodotti sono facilissimi da fattorizzare con l’algoritmo di Fermat con
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connesso con l’ipotesi percentuale e la parte decimale molto alta, tipo
0,99… (vedi Rif . 5 ipotesi percentuale” al quale rimandiamo per gli
esempi, qui uno per tutti
101 *103 = 10403, con √10403 =101,995…, p = 101, parte intera della
radice quadrata.
Ad ogni modo, cercheremo in seguito di leggere la dimostrazione di
Zhang Yitang, e/o aspettare il giudizio finale della comunità
matematica internazionale.
Qualche decennio fa due altri matematici cinesi, Zhanle Du e
Shouyu Du della Chinese Acamedy of Sciences,
hanno proposto una dimostrazione dell’infinità delle coppie di numeri
primi gemelli (Rif. 6), ma nonostante ciò, ancora la congettura non è
ritenuta ufficialmente risolta.
Sarà ora questa la volta buona?
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che tale nuova ma ancora
presunta dimostrazione cinese potrebbe anche essere quella
definitiva, ma la presenza del numero limite di 70 000 000, ci
rende un po’ perplessi e alquanto scettici, essendo noi contrari
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al coinvolgimento di tali numeri , come prima accennato per
la congettura debole di Goldbach e per i numeri di Riesel e di
Sierpinski. Siamo infatti convinti che anche dopo 70 000 000 ci
siano infinite coppie di numeri primi gemelli, con differenze
ancora più grandi. Per noi, ogni numero pari, di qualsiasi
grandezza, è infinite volte la differenza tra due numeri primi
consecutivi (gap), ma anche tra due numeri primi non
consecutivi (congettura di Polignac).
L’interesse sull’infinità delle coppie di numeri primi gemelli è
legittima, ma la loro importanza emerge anche nella crittografia RSA,
come sopra accennato. I prodotti tra due numeri primi gemelli sono di
sempre di forma n^2 – 1, e quindi facilmente fattorizzabili, e perciò li
abbiamo sempre sconsigliati per costruire numeri RSA, quantunque
grandi essi siano. La forma numerica n^2 +1 riguarda invece i
numeri di Landau, che possono essere anche numeri primi , e anche
infiniti (Rif. 8, di prossima pubblicazione).
Riferimenti
1) “INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN E
DEI NUMERI PRIMI GEMELLI “
11
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) “PROOF OF ANDRICA’S CONJECTURE AND MINIMUM
GAP BETWEEN TWO CONSECUTIVE PRIMES”
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
3) “ESTENSIONI DELLE CONGETTURE, FORTE E DEBOLE, DI
GOLDBACH (a k primi , con N e k entrambi pari o dispari)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
4.1)” STUDY ON THE SIERPINSKI AND RIESEL NUMBERS “
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele
Nardelli, Francesco Di Noto
4.2)”MAX NUMERI PRIMI E ANCHE GEMELLI”
Ing. Pier Francesco Roggero
4.3) “QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE
LE FORME 6K + 1 E LORO INFINITA’ “
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
5) “Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N per una
fattorizzazione più veloce”
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Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Gruppo “B.Riemann”)
6) “I Numeri Primi Gemelli e l'Ipotesi di Riemann Generalizzata (con
accenno al problema P = NP)” Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/521/
e con accenno alla dimostrazione di due altri matematici cinesi:
“Noi dedicheremo questo lavoro soltanto alla congettura dei numeri primi
gemelli, una sua dimostrazione è stata di recente proposta dai due matematici
cinesi Zhanle Du e Shouyu Du della Chinese Acamedy of Sciences, sulla quale
però deve ancora pronunciarsi la comunità matematica. La loro dimostrazione
contiene a pag. 15 un ragionamento per assurdo… “
e al quale rimandiamo, come pure al lavoro originale:
“ There are infinitely Many Pairs of Twin Primes “ scritto dai matematici cinesi
Zhanle Du e Shouyu Du della Chinese Acamedy of Sciences
http://arxiv.org/abs/math.GM/0510171
(Il loro ragionamento per assurdo è simile al nostro, che riportiamo anche in
Rif. 1)
7) “PROOF THAT THE MAXIMUN GAP BETWEEN TWO
CONSECUTIVE PRIME NUMBERS IS BETWEEN n AND n/ln2”
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco
Di Noto
8) “I PROBLEMI DI LANDAU - Congettura e infinità dei
13
Numeri di Landau di forma n^2 +1 (dimostrazione ed estensione
a forme numeriche simili)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Di prossima pubblicazione)
9) “Appunti
sui gap tra due numeri primi consecutivi”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(di prossima pubblicazione)
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