Circuiti RLC RIASSUNTO: • L(r)C serie: • impedenza Z(ω) •Q valore • risposta in frequenza •L(r)C parallelo • Circuiti risonanti • Circuiti anti-risonanti 1 Circuito LrC in serie • I circuiti LC presentano caratteristiche interessanti. Ad esempio, ponendo un condensatore, un’induttanza (con resistenza interna r) in serie si ha: 1 Z = r + jωL + jωC 1 Z = r + ωL − ωC 1 ωL − ωC tan ϕ = r 2 2 2 Comportamento capacitivo • Per frequenze basse ω < ω0 = 1 LC la parte immaginaria dell’impedenza (reattanza) è negativa. • La corrente è pertanto in anticipo sulla tensione: 3 Comportamento induttivo ω > ω0 = 1 LC • Per frequenze alte la parte immaginaria dell’impedenza è positiva: si ha allora un comportamento induttivo. • La corrente è in ritardo rispetto alla tensione: 4 LrC Il circuito e’ descritto da (r,L,C). Introduciamo una terna di parametri ωL 1 1 L equivalenti:(r,ω0,Q), dove: ω0 = 1 Q= 0 = = ω ω0 tan ϕ = Q − ω0 ω LC r ω0 rC r C 2 2 2 2 ω ω 1 1 ωL 1 2 ω =r 1+ Q2 − 0 Z = r 2 + ωL − = r 1+ − = r 1+ Q − ωC Qr ωQrC r ωrC ω0 ω L V I = 0 = I 0 e − jϕ Z VL V0 r − jϕ V0 Vr = V0 e = e − jϕ 2 |Z | ω ω 1 + Q 2 − 0 Vr ω0 ω 2 VC 1 V < Pr >T = | I 0 || Vr |= 0 2 2r 1 ω0 2 ω 1 + Q − ω0 ω 2 5 RLC ω = ω0 = 1 LC •In corrispondenza della frequenza le reattanze della capacità e dell’induttanza si elidono. L’impedenza complessiva è reale (e di modulo minimo) ed uguale alla resistenza interna della bobina. 1 j ωC − j ϕ VC = V0 e = |Z| VL = V0 j ωL − j ϕ e |Z | V0 ωrC π 2 e − j (ϕ + ) 2 ω = 0 ω π V0Q 2 e − j (ϕ + ) 2 ω ω ω ω 1 + Q 2 − 0 1 + Q 2 − 0 ω0 ω ω0 ω L V0ω π π − j (ϕ − ) − j (ϕ − ) V0Q ω r 2 2 = e = e 2 2 ω0 ω ω ω0 2 ω 1 + Q − 1 + Q 2 − 0 ω0 ω ω0 ω Le cadute di potenziale ai capi rispettivamente dell’induttanza e della capacità sono (non nulle) di modulo uguale e in opposizione di fase, tali da dare una somma nulla. 6 φ RLC Vr/V0 ω/ω0 ω/ω0 <Pr>T 2r/V02 ω/ω0 7 RLC • Ai capi della resistenza ritroviamo la stessa tensione V0 del generatore solo alla pulsazione di “risonanza”. • Il circuito e’ un passa “banda”: attenua le frequenze maggiori e minori della frequenza di risonanza. La “banda” passante si definisce [ω1,ω2] tali per cui: V0 Vr (ω1, 2 ) = 2 ovvero • Si trova: 1 1 ω1 1 = 4 + 2 − Q Q ω0 2 ω2 − ω1 1 = Q ω0 ω ω0 Q − = ±1 ω0 ω 1 1 ω2 1 = 4 + 2 + Q Q ω0 2 1 ω 2 (ω2 + ω1 ) 1 = = 1+ ω0 ω0 4Q 2 N.B.: non simmetrica Q (fattore di merito) = Energia massima immagazzinata alla freq. di risonanza (in C o L) / (2 π * energia dissipata in un periodo da r) 1 2 2 CVC CV0 Q 2 1 Q 2 = 2 = ω0 rCQ 2 = 2 2π 2π 1 Vr V0 2π T 2 r r ω0 8 Z: Grafici del modulo e della fase Andamento del modulo e della fase dell’impedenza in funzione di ω L = 0.4 H C = 10 µF r = 0Ω (rosso) r = 30Ω (blu) 9 Grafici del modulo e della fase Andamento del modulo e della fase dell’impedenza in funzione di ω Altri valori: L = 0.18 H C = 10 µF r = 0Ω (rosso) r = 180Ω (blu) 10 LC in parallelo Il caso di LC in parallelo è più difficile da trattare.. Z L ZC ( r + jωL ) / ( jωC ) r + jωL Z= = = Z L + Z C r + jωL + 1 / jωC 1 − ω 2 LC + jω r C Z = r 2 + ω 2 L2 ω r C + (1 − ω LC ) ωL ωrC − 2 ω r 1 − LC tgφ = ωL ωrC 1+ ⋅ r 1 − ω 2 LC 2 2 2 2 2 11 Dipendenza da r • I calcoli esatti sono complicati, ma : – Per r = 0 l’impedenza diverge per ω = ω0 = 1 / LC – Per 0<r< (2L/C)1/2 il modulo del denominatore ha un minimo in corrispondenza di 1 r2 1 2 − 2 = ω0 − 2 ωden = τ LC 2 L 1 ω0 2 = LC 1 r2 = 2 2 τ 2L – Il modulo dell’impedenza ha un massimo e contemporaneamente la fase si azzera in corrispondenza di una frequenza critica ωc vicina a questo valore. – Per r > (2L/C)1/2 l’impedenza non ha massimo, ma decresce in modo monotono (le oscillazioni libere del circuito risultano sovra-smorzate). 12 Comportamenti capacitivo e induttivo • Stavolta il comportamento capacitivo si ha per frequenze superiori alla frequenza critica. • Per frequenze minori, si ha invece comportamento capacitivo. 13 Grafici di modulo e fase Andamento del modulo e della fase dell’impedenza L=0.5 H C=20 µF r = 0Ω (rosso) r =30Ω (blu) r =50kΩ (verde) 14 Circuiti risonanti I circuiti seguenti sono risonanti: – Si tratta di circuiti LC in cui le oscillazioni vengono forzate da una tensione esterna. 15 Caratteristiche dei circuiti risonanti • Quando la frequenza della tensione esterna è uguale a quella di oscillazione libera, l’ampiezza delle oscillazioni cresce enormemente. • Il rapporto tra l’ampiezza della tensione forzante e l’ampiezza delle oscillazioni in funzione della frequenza assume quindi la caratteristica forma a campana, la cui larghezza è legata alle resistenze r ed R. • La fase cambia di segno in corrispondenza della frequenza di risonanza: questa caratteristica è utilissima per determinare con esattezza la frequenza di risonanza. 16 Analisi dettagliata • Il primo circuito può essere visto come un partitore: Vout = Vg Vout Vg R R = Vg 1 Z tot R + r + j ωL + j ωC R = 2 tan φ = − 1 ωC R+r ωL − 1 ( R + r ) + ωL − ωC – Il rapporto tra tensione del generatore e tensione in uscita è massimo in corrispondenza di ω0 = 1 / LC – In corrispondenza di tale valore la differenza di fase risulta esattamente zero. – Esistono due frequenze ω+ ω- in corrispondenza delle quali il rapporto Vout/Vg vale esattamente la metà del massimo. Queste due frequenze non sono equidistanti dal massimo; la differenza ω+-ω- vale (3)1/2R/L ed è detta larghezza a metà altezza, o FWHM (Full width half maximum) 2 17 Risposta di un circuito risonante In figura sono riportati il rapporto tra l’ampiezza della tensione in ingresso e in uscita e la loro differenza di fase 18 Circuiti antirisonanti I circuiti seguenti sono invece detti antirisonanti: – La tensione in uscita presenta un minimo in corrispondenza della frequenza di oscillazione naturale. – Un circuito di questo tipo può essere utilizzato per attenuare una frequenza data, come ad esempio la frequenza di rete a 50 Hz (presente in tutti i circuiti elettrici collegati alla tensione di rete). 19