A.A. 2013/2014 Corso di studio Triennale in Matematica Analisi

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A.A. 2013/2014
Corso di studio Triennale in Matematica
Analisi Matematica 2
Codice SCC0049
Alberto G. Setti
CFU
SSD
Lezioni
Esercitazioni
(ore)
(ore)
8
MAT/05
56
12
Anno
2013-2014
Lingua
Italiano
Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Il corso si propone di fornire allo studente una conoscenza operativa della
teoria e delle tecniche del calcolo differenziale ed integrale in piu’ variabili, e
delle equazioni differenziali ordinarie, con un’enfasi sulla giustificazione teorica
delle tecniche di calcolo presentate.
Lo studente conoscera’ i risultati teorici principali, e sara’ in grado risolvere
problemi che coinvolgono il calcolo di limiti, la determinazione di massimi e
minimi, liberi e vincolati, il calcolo di integrali multipli e la soluzioni di equazioni
differenziali ordinarie.
Prerequisiti
Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare e geometria.
Contenuti e programma del corso
Spazi metrici e nozioni di topologia metrica. Limiti e continuita’ per funzioni
reali di piu’ variabili reali. Derivate parziali e differenziabilita’ di funzoni definite
su Rn. Differenziazione di funzioni composte e teorema del differenziale totale.
Teorema del valor medio di Lagrange. Differenziale di ordine superiore. Lemma
di Schwarz e matrice Hessiana. Formula di Taylor per funzioni di piu’ variabili
reali. Punti estremanti e punti stazionari. Determinazione della natura dei punti
stazionari con condizioni al secondo ordine. Funzioni implicite, teorema di Dini,
e teoremi di esistenza in grande. Estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange.
Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicita’ in piccolo.
Prolungamento di soluzioni e teorema di esistenza in grande. Equazioni lineari
del primo ordine, a variabili separabili e di Bernoulli. Struttura dello spazio
delle soluzioni di equazioni lineari di ordine n. Equazioni linari a coefficienti
costanti. Metodo di similitudine e variazione delle costanti arbitrarie. Teoria
dell’integrazione secondo Lebesgue. Sigma algebre e misure astratte. Misure
esterne e teorema di Caratheodory (solo enuncitato). Costruzione della misura
di Lebesgue e sue proprieta. Funzioni misurabili. Funzioni semplici e loro
integrale. Approssimazione di funzioni misurabili mediante funzioni semplici.
Integrale di funzioni misurabili positive. Teorema di convergenza monotona,
lemma di Fatou. Integrale di funzioni a valori reali o comlplessi. Teorema di
convergenza dominata. Proprieta’ che valgono q.o. Misura prodotto su Rn.
Teoremi di Tonelli e Fubini, teorema di cambiamento di variabili (solo
enunciati). Integrazione di funzioni su R2 e R3. Cambiamenti di coordinate in
R2 (lineari, polari, ellittiche, e iperboliche) e in R3 (polari, ellissoidali,
cilindriche).
Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali: 56 ore
Esercitazioni frontali: 12 ore
Testi e materiale didattico
E. Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri
E. Giusti, Complementi di Analisi Matematica 2, Boringhieri
Modalità di verifica dell’apprendimento
Esame scritto che comprende la soluzione di esercizi seguito da un esame
orale, che consiste nella discussione dell’elaborato scritto, seguito da domande
di teoria. Per essere ammessi alla prova orale e’ necessario aver ottenuto un
punteggio di almeno 14/30 nella prova scritta.
Orario di ricevimento
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