Matematica livello superiore (PDF, 1 MB, 15.08.2014)

Esame Svizzero di Maturità
Locarno, giugno 2014
Gruppo e n°: .............................................................
Nome e Cognome: …...................................................................................
Matematica
(livello superiore)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
La durata dell'esame è di 4 ore.
Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.
Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.
Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.
La nota 6 è conseguita con 40 punti.
È permesso l'uso delle tavole numeriche senza annotazioni né aggiunte personali.
È permesso l'uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non possa
emettere né ricevere informazioni a distanza.
Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni,
pregiudicano la valutazione.
Si richiedono (quando possibile) risultati esatti, non approssimati.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo e corretto i due
esercizi obbligatori e due dei tre problemi a scelta.
1
Prima parte: Esercizi obbligatori:
Esercizio 1
Sono dati
il piano α : k⋅x−y + h⋅z−1=0
x
2
h
la retta r : y = −6 + λ⋅ −3h
z
0
1
() ( ) ( )
i.
Stabilire per quali valori di h e k:
•
•
•
ii.
, λ ∈ℝ , h , k ∈ℝ
la retta r è parallela al piano α e non contenuta nel piano;
la retta è contenuta nel piano;
la retta e il piano sono incidenti.
Porre h=−2 e k=2 .
Siano inoltre
A (2 , 1 , 0) e B( 2,− 4 ,1) ;
s la retta passante per il punto A e perpendicolare al piano α;
p la retta passante per il punto B e parallela alla retta r.
Verificare che s e p sono incidenti e trovare l'equazione del piano β che le contiene.
iii. Porre h=−2 .
Sia inoltre C( 6, 8, 6) .
Trovare l'equazione della retta t, passante dal punto C e perpendicolare (quindi incidente) alla retta r.
Esercizio 2
Considerare le funzioni reali f e g così definite:
{
x⋅ln (
x+2
)−x
x
f ( x)= 0
1−e−x
x
x∈] 0 ; +∞
g( x )=
x=0
2
2x
x +2
x∈] −∞ ; 0 
i.
ii.
iii.
iv.
Verificare se la funzione f è continua e derivabile. Schizzare il grafico di f in un intorno di 0.
Trovare gli zeri della funzione f.
Verificare che la funzione f possiede due asintoti.
Spiegare perché è possibile affermare che la funzione f possiede almeno un estremo relativo
2
nell'intervallo ] 0 ;
 .
e−1
v.
Sia a> 0 . Dimostrare che
x =a al grafico di f.
g( a) è l'ordinata all'origine della retta tangente nel punto di ascissa
2
Esercizio 3
L'esercizio si compone di due parti indipendenti.
Prima parte:
Considerare la seguente figura, formata da un triangolo isoscele OAB e da una semicirconferenza di
diametro AB.
Sia 2x= ̂
AOB .
Determinare x, in modo che l'area della figura sia un estremo
(determinare se si tratta di un massimo o di un minimo).
Seconda parte:
2x
Trovare la primitiva F della funzione
f ( x)=
e
tale che
x
e +1
F(0)=1−ln(2) .
Esercizio 4
L'esercizio si compone di tre parti indipendenti
Prima parte:
1−i
1+i
Calcolare le radici quarte di z e rappresentarle nel piano complesso.
α
Determinare i valori α∈ℕ tali che z ∈ℤ .
È dato il numero complesso z= √ 3+
Seconda parte:
Risolvere in ℂ :
•
•
z−2
=z
z−1
2
z −( 1+3i) z−2+ 2i=0
Terza parte:
Rappresentare nel piano di Gauss gli insiemi
2
]A={z∈ℂ∣ R e( z) ≥
B={ z∈ℂ ∣ z+
∣z∣
}
2
1
∈ ℝ }
z
3
Esercizio 5
Un' urna contiene
3 palline bianche;
7 palline nere;
2 palline verdi.
Prima parte:
Vengono estratte senza reinserimento 3 palline.
i. Calcolare la probabilità che:
• siano tutte bianche;
• almeno due siano bianche;
• siano di tre colori diversi;
• siano tutte dello stesso colore.
ii.
Sia X la variabile aleatoria che associa ad ogni estrazione il numero di palline bianche ottenute.
Determinare la distribuzione di probabilità di X.
Seconda parte:
Considerare ora il gioco che consiste nell'estrazione di 3 palline. Per vincere occorre estrarne almeno due
bianche. Non tutti i giocatori però sono onesti. Si stima che un giocatore su dieci sia un imbroglione e che
imbrogliando abbia il 50% di probabilità di vincere.
Considerare gli eventi:
B: il giocatore è un imbroglione (Barare) ( B è l'evento complementare: “non è un imbroglione”);
V: il giocatore vince.
i. Esprimere a parole i seguenti eventi e calcolarne le probabilità: ( V/ B) ; ( V∩B)
181
ii. Dimostrare che p( V)=
1100
iii. Calcolare la probabilità che una persona che ha vinto sia un imbroglione.
4