Prova scritta: 15 febbraio 2012 (file pdf)

Corso di Laurea in Informatica
Compito di Analisi Matematica
15 febbraio 2012
Prof. Vania Sordoni
Esercizio 1 (5)
Sia A = R \ {0} e f : A → R definita come segue
f (x) = x2 e1/x
Fare il grafico della funzione f , determinare sup f (x), inf f (x) e dire se la
x∈A
x∈A
funzione ha massimo e/o minimo assoluto in R.
Risposta:
La funzione f ∈ C ∞ (A) . Si ha
lim f (x) = +∞,
lim f (x) = +∞,
x→+∞
x→−∞
lim f (x) = +∞
lim f (x) = 0,
x→0−
x→0+
Inoltre
f 0 (x) = e1/x (2x − 1)
1
1
1
e quindi e quindi f 0 (x) = 0 sse x = e f ( ) = e2 .
2
2
4
Quindi
sup f (x) = +∞, inf f (x) = 0
x∈A
x∈A
e f non ha nè massimo nè minimo assoluti su A
Esercizio 2(5
Calcolare
1 cos(2x) − 1
2x2
−
2
2
x→0 x
2x
cos(2x) − 1
I = lim
Risposta:
1
Per la formula di Taylor nel punto x = 0 si ha
I =
=
(cos(2x) − 1)2 − 4x4
x→0
2x4 (cos(2x) − 1)
lim
lim
(1 −
x→0
(2x)2
(2x)4
5
2
2 + 24 + o(x ) − 1) −
2
3
2x4 (1 − (2x)
2 + o(x ) − 1)
4x4
4
(−2x2 + 2x3 + o(x5 ))2 − 4x4
= lim
x→0
2x4 (−2x2 + o(x3 ))
6
6
4x4 − 8x3 + o(x7 ) − 4x4
− 8x3 (1 + o(1))
2
= lim
=
=
6
6
x→0
−4x (1 + o(1)))
−4x (1 + o(1)))
3
Esercizio 3(pt. 5)
Calcolare il seguente integrale
Z ln 2
0
2e2x
dx
e2x − 2ex + 2
Risposta:
Facendo il cambiamento di variabile ex = y si ha
Z 2
Z 2
Z 2
2y
2y − 2
1
dy
=
dy
+
2
dy
2 − 2y + 2
2 − 2y + 2
2+1
y
y
(y
−
1)
1
1
1
= [ln |y 2 − 2y + 2|]21 + 2[arctg(y − 1)]21 = ln 2 +
π
2
Esercizio 4 (5)
Dire per quali valori di α ∈ R é convergente il seguente integrale generalizzato
Z ∞
π
ln (1 + x4 ) e−x
I=
sin( 2
)
dx
x +1
xα
0
Risposta:
L’integrale è a termini positivi. Decomponiamo l’integrale in
Z 1
Z ∞
π
ln (1 + x4 ) e−x
1
ln (1 + x4 ) e−x
sin( 2
I = II+III =
)
dx+
sin(
)
dx
x +1
xα
x2 + 1
xα
0
1
Poichè, per x → 0, sin( x2π+1 ) ∼ sin π2 = 1, ln (1 + x4 ) ∼ x4 , e−x ∼ 1, si ha
sin(
π
ln (1 + x4 ) e−x
1
)
=∼ α−4
2
α
x +1
x
x
e quindi II converge se α < 5.
D’altro canto, per x → ∞, sin( x2π+2 ) ∼
sin(
π
,
x2
ln (1 + x4 ) ∼ ln x4 = 4 ln x, si ha
π
ln (1 + x4 ) e−x
4πe−x ln x
)
∼
x2 + 1
xα
x2+α
2
e quindi III converge per ogni valore di α.
Quindi I converge sse α < 5.
Esercizio 5
(pt. 5) Data f : R2 → R,
f (x, y) = (x2 + y)ex+y
a) determinare i punti stazionari e dire se essi sono punti di massimo o di
minimo relativo per f .
√ √
∂f
b) Calcolare
(1, 1) ove v = ( 22 , 22 ).
∂v
Risposta:
a) Si ha ∇f (x, y) = ((2x+x2 +y)ex+y , (1+x2 +y)ex+y ) e quindi si haun solo
punto stazionario ( 21 , − 54 )). Calcolando la matrice hessiana di f nei punti si
vede che ( 21 , − 54 )). è un punto minimo per f .
b) Poiché ∇f (1, 1) = (4e2 , 3e2 ) si ha
√ √
2 2
∂f
7e2 √
2
2
2,
(1, 1) = h(4e , 3e ), (
,
)i =
∂v
2 2
2
Esercizio 6
(pt.4,5) Calcolare l’integrale
Z
2xex
2 +y
dx dy
A
ove
A = {(x, y) ∈ R2 ; , 0 ≤ y ≤ 2x2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
Risposta:
Z
xe
x2 +y
Z
1
dx dy =
A
Z
2xe (
x2
0
Z
=
2x2
y
Z
0
1
x2
2xe (e
1
e dy) dx
2x2
Z
0
1
− 1) dx =
0
0
e3
1 2
2
2
= [ e3x − ex ]10 =
−e+
3
3
3
3
2
2
2xex [ey ]2x
dx
0
2
2
(2xe3x − 2xex ) dx