p2-a2ing-14_05-A - I blog di Unica

Facoltà di Ingegneria, Università di Cagliari
Parziale no 2, Analisi Matematica 2 (Ing. Chimica, Meccanica, 2013/2014), 30.05.2014
Cognome e nome: .................................................................................. Matricola: ..................
1. Sia D delimitato da y = −x2 e y − 3x = 0.
i) Disegnare (in modo approssimativo)
D.
Z Z
ii) Calcolare l’integrale
y dxdy,
Ω
2. Scrivere la formula per l’area di un dominio Ω ⊂ IR2 . Sia Ω definito da (x2 + y 2 )2 < 4(x2 − y 2 ),
x > 0.
a) Usando le coordinate polari x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, descrivere Ω nelle coordinate polari ρ, ϕ
e disegnare Ω (in modo approssimativo) nel piano cartesiano Oxy . 1
b) Calcolare l’area di Ω.
3. Sia V il solido di rotazione in IR3 ottenuto girando il grafico di y = −2z, z ∈ [−1, 0] rispetto
all’asse Oz.
a) Disegnare il solido V (in modo approssimativo).
b) Calcolare il volume di V .
c) Verificare che il bordo ∂V è una superficie regolare a pezzi e calcolare l’area di ∂V . Potete
esprimere la superficie laterale come grafico di una funzione z = f (x, y), (x, y) ∈ Ω (trovare Ω)?
√
4. Scrivere la formula di Gauss-Green nel piano. Sia A il dominio delimitato da y < 9 − 4x,
x ∈ [0, 9/4], x + y ≥ 1/2, x ≥ 0, y ≥ 0.
a) Disegnare A (in modo approssimativo).
b) Calcolare l’area di A, usando la formula di Gauss–Green.
5. Scrivere il teorema di Gauss (o della divergenza) ed il teorema del rotore (o di Stokes). Sia
2
2
2
2
U ⊂ IR3 il dominio delimitato dalla semisfera Σ−
R definita da x + y + z = R , z < 0 e il cerchio
CR nel piano Oxy definito da x2 + y 2 ≤ R2 e sia F = (yi + xj + z(x2 + y 2 )k un campo. Indichiamo
−S
con ∂U = SR
CR il bordo (la superfice).
i) Disegnare (in modo approssimativo) V .
ii) Calcolare il flusso totale Φ(F ; ∂U ) di F attraverso la superficie ∂U con l’orientazione verso
esterno
iii) Calcolare Φ(F ; ∂U ) mediante il teorema della divergenza.
iv) Calcolare il flusso del rotore di F attraverso la semisfera Σ−
R con l’orientazione esterna
−
2
2
2
mediante il teorema di Stokes applicato a Σ−
e
∂Σ
=
S
,
essendo
S
R
R la circonferenza x +y = R
R
R
nel piano Oxy , orientata positivamente rispetto l’orienatzione esterna di Σ−
R.
1
Ricordare cos(2ϕ) = cos2 ϕ − sin2 ϕ.