Facoltà di Ingegneria, Università di Cagliari Parziale no 2, Analisi Matematica 2 (Ing. Chimica, Meccanica, 2013/2014), 30.05.2014 Cognome e nome: .................................................................................. Matricola: .................. 1. Sia D delimitato da y = −x2 e y − 3x = 0. i) Disegnare (in modo approssimativo) D. Z Z ii) Calcolare l’integrale y dxdy, Ω 2. Scrivere la formula per l’area di un dominio Ω ⊂ IR2 . Sia Ω definito da (x2 + y 2 )2 < 4(x2 − y 2 ), x > 0. a) Usando le coordinate polari x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, descrivere Ω nelle coordinate polari ρ, ϕ e disegnare Ω (in modo approssimativo) nel piano cartesiano Oxy . 1 b) Calcolare l’area di Ω. 3. Sia V il solido di rotazione in IR3 ottenuto girando il grafico di y = −2z, z ∈ [−1, 0] rispetto all’asse Oz. a) Disegnare il solido V (in modo approssimativo). b) Calcolare il volume di V . c) Verificare che il bordo ∂V è una superficie regolare a pezzi e calcolare l’area di ∂V . Potete esprimere la superficie laterale come grafico di una funzione z = f (x, y), (x, y) ∈ Ω (trovare Ω)? √ 4. Scrivere la formula di Gauss-Green nel piano. Sia A il dominio delimitato da y < 9 − 4x, x ∈ [0, 9/4], x + y ≥ 1/2, x ≥ 0, y ≥ 0. a) Disegnare A (in modo approssimativo). b) Calcolare l’area di A, usando la formula di Gauss–Green. 5. Scrivere il teorema di Gauss (o della divergenza) ed il teorema del rotore (o di Stokes). Sia 2 2 2 2 U ⊂ IR3 il dominio delimitato dalla semisfera Σ− R definita da x + y + z = R , z < 0 e il cerchio CR nel piano Oxy definito da x2 + y 2 ≤ R2 e sia F = (yi + xj + z(x2 + y 2 )k un campo. Indichiamo −S con ∂U = SR CR il bordo (la superfice). i) Disegnare (in modo approssimativo) V . ii) Calcolare il flusso totale Φ(F ; ∂U ) di F attraverso la superficie ∂U con l’orientazione verso esterno iii) Calcolare Φ(F ; ∂U ) mediante il teorema della divergenza. iv) Calcolare il flusso del rotore di F attraverso la semisfera Σ− R con l’orientazione esterna − 2 2 2 mediante il teorema di Stokes applicato a Σ− e ∂Σ = S , essendo S R R la circonferenza x +y = R R R nel piano Oxy , orientata positivamente rispetto l’orienatzione esterna di Σ− R. 1 Ricordare cos(2ϕ) = cos2 ϕ − sin2 ϕ.