somma tra matrici, prodotto scalare-matrice, spazio vettoriale delle

Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
Sia K un campo con elemento neutro dell’addizione 0 ed elemento neutro
della moltiplicazione 1.
Siano m, n ∈ N\{0}.
Definizione
Una matrice m × n a coefficienti in K è una tabella di m × n elementi di
K disposti su m righe ed n colonne.
Notazioni: l’insieme delle matrici si denota con Matm,n (K).
Se m 6= n la matrice si dice rettangolare,
se m = n si dice quadrata.
Nel caso di matrici quadrate Matn,n (K) si indica con Matn (K).
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
In Matm,n (K)
se m = 1 la matrice si dice vettore riga,
se n = 1 la matrice si dice vettore colonna.
Data una matrice A = [aij ]i∈Im ,j∈In ∈ Matm,n (K) è possibile estrarre
la i-esima riga (i ∈ Im ), si ottiene il vettore [ai1 . . . ain ];
la j-esima colonna (j ∈ In ), si ottiene il vettore [a1j . . . amj ]T .
Data una matrice quadrata A = [aij ] di Matn (K) (di ordine n), si
possono individuare due sottoinsiemi:
{aii : i = 1, . . . , n}, detto diagonale principale,
{ai
(n+1)−i
: i = 1, . . . , n}, detto diagonale secondaria.
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
In Matm,n (K)
se m = 1 la matrice si dice vettore riga,
se n = 1 la matrice si dice vettore colonna.
Data una matrice A = [aij ]i∈Im ,j∈In ∈ Matm,n (K) è possibile estrarre
la i-esima riga (i ∈ Im ), si ottiene il vettore [ai1 . . . ain ];
la j-esima colonna (j ∈ In ), si ottiene il vettore [a1j . . . amj ]T .
Data una matrice quadrata A = [aij ] di Matn (K) (di ordine n), si
possono individuare due sottoinsiemi:
{aii : i = 1, . . . , n}, detto diagonale principale,
{ai
(n+1)−i
: i = 1, . . . , n}, detto diagonale secondaria.
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
In Matm,n (K)
se m = 1 la matrice si dice vettore riga,
se n = 1 la matrice si dice vettore colonna.
Data una matrice A = [aij ]i∈Im ,j∈In ∈ Matm,n (K) è possibile estrarre
la i-esima riga (i ∈ Im ), si ottiene il vettore [ai1 . . . ain ];
la j-esima colonna (j ∈ In ), si ottiene il vettore [a1j . . . amj ]T .
Data una matrice quadrata A = [aij ] di Matn (K) (di ordine n), si
possono individuare due sottoinsiemi:
{aii : i = 1, . . . , n}, detto diagonale principale,
{ai
(n+1)−i
: i = 1, . . . , n}, detto diagonale secondaria.
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
Definiamo alcuni sottoinsiemi di Matn (K).
Definizione
Sia A = [aij ] ∈ Matn (K). A è detta:
triangolare superiore se aij = 0 per ogni i, j ∈ In tali che j < i;
triangolare inferiore se aij = 0 per ogni i, j ∈ In tali che j > i;
diagonale se aij = 0 per ogni i, j ∈ In con i 6= j; indichiamo con
Diagn (K) il sottoinsieme di Matn (K) delle matrici diagonali;
scalare se A è diagonale e inoltre aii = λ per ogni i ∈ In .
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
Definizione
Due matrici A = [aij ] e B = [bij ] si dicono uguali se
A, B ∈ Matm,n (K)
e se
aij = bij
∀(i, j) ∈ Im × In .
Definizione
Sia A = [aij ] ∈ Matm,n (K). Si dice trasposta di A la matrice AT i cui
elementi aij0 sono
aij0 = aji ,
∀(i, j) ∈ Im × In .
Proposizione
Sia A = [aij ] ∈ Matm,n (K). Si ha AT
T
= A.
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
Definizione
Due matrici A = [aij ] e B = [bij ] si dicono uguali se
A, B ∈ Matm,n (K)
e se
aij = bij
∀(i, j) ∈ Im × In .
Definizione
Sia A = [aij ] ∈ Matm,n (K). Si dice trasposta di A la matrice AT i cui
elementi aij0 sono
aij0 = aji ,
∀(i, j) ∈ Im × In .
Proposizione
Sia A = [aij ] ∈ Matm,n (K). Si ha AT
T
= A.
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
Proposizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è triangolare superiore se e solo AT è
triangolare inferiore.
Definizione
Una matrice A ∈ Matm,n (K) si dice simmetrica se e solo se A = AT .
Si dice antisimmetrica se e solo se A = −AT .
Osservazioni.
Se una matrice è simmetrica, allora è quadrata.
Se una matrice è antisimmetrica, allora è quadrata e gli elementi
sulla diagonale principale sono nulli.
Ogni matrice diagonale è simmetrica.
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
Proposizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è triangolare superiore se e solo AT è
triangolare inferiore.
Definizione
Una matrice A ∈ Matm,n (K) si dice simmetrica se e solo se A = AT .
Si dice antisimmetrica se e solo se A = −AT .
Osservazioni.
Se una matrice è simmetrica, allora è quadrata.
Se una matrice è antisimmetrica, allora è quadrata e gli elementi
sulla diagonale principale sono nulli.
Ogni matrice diagonale è simmetrica.
Introduzione all’algebra delle matrici
Le matrici
Proposizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è triangolare superiore se e solo AT è
triangolare inferiore.
Definizione
Una matrice A ∈ Matm,n (K) si dice simmetrica se e solo se A = AT .
Si dice antisimmetrica se e solo se A = −AT .
Osservazioni.
Se una matrice è simmetrica, allora è quadrata.
Se una matrice è antisimmetrica, allora è quadrata e gli elementi
sulla diagonale principale sono nulli.
Ogni matrice diagonale è simmetrica.
Introduzione all’algebra delle matrici
Lo spazio vettoriale delle matrici
Definizione
Siano A = [aij ], B = [bij ] matrici di Matm,n (K). Definiamo:
matrice somma di A con B la matrice (A + B) ∈ Matm,n (K) il cui
elemento di posto i, j è
aij + bij
∀(i, j) ∈ Im × In ;
matrice prodotto dello scalare α ∈ K per la matrice A, la
matrice (α · A) ∈ Matm,n (K) il cui elemento di posto i, j è
αaij
∀(i, j) ∈ Im × In .
Introduzione all’algebra delle matrici
Esercizio 1.
Siano α = −2 ∈ R e
√ 3 4
5
A=
,
1 0 8
Calcolare A + B e α · B.
0 −1
B=
−2 7
√ − 5
∈ Mat2,3 (R).
4
Introduzione all’algebra delle matrici
Lo spazio vettoriale delle matrici
Proposizione
La terna (Matm,n (K), +, ·) è uno spazio vettoriale sul campo K.
Dimostrare che (Matm,n (K), +) è un gruppo abeliano (non vuoto,
operazione associativa, con elemento neutro la matrice nulla e con
inverso additivo la matrice opposta; operazione commutativa) e che la
somma e il prodotto esterno soddisfano i quattro assiomi:
∀A, B ∈ Matm,n (K), ∀α, β ∈ K :
(a) (α + β) · A = α · A + β · A;
(b) α · (A + B) = α · A + α · B;
(c) (αβ) · A = α(β · A);
Compito. Date

0
A = 1
3
le matrici


0
1
2 , B = 4
4
0
(d) 1K · A = A.


1
4
1 , C = 3
2
1

0
3 ∈ Mat3,2 (R),
0
verificare che (A + B) + C = A + (B + C ) e che A + B = B + A.
Introduzione all’algebra delle matrici
Lo spazio vettoriale delle matrici
Proposizione
La terna (Matm,n (K), +, ·) è uno spazio vettoriale sul campo K.
Dimostrare che (Matm,n (K), +) è un gruppo abeliano (non vuoto,
operazione associativa, con elemento neutro la matrice nulla e con
inverso additivo la matrice opposta; operazione commutativa) e che la
somma e il prodotto esterno soddisfano i quattro assiomi:
∀A, B ∈ Matm,n (K), ∀α, β ∈ K :
(a) (α + β) · A = α · A + β · A;
(b) α · (A + B) = α · A + α · B;
(c) (αβ) · A = α(β · A);
Compito. Date

0
A = 1
3
le matrici


0
1
2 , B = 4
4
0
(d) 1K · A = A.


1
4
1 , C = 3
2
1

0
3 ∈ Mat3,2 (R),
0
verificare che (A + B) + C = A + (B + C ) e che A + B = B + A.
Introduzione all’algebra delle matrici
Lo spazio vettoriale delle matrici
Proposizione
Per ogni A, B ∈ Matm,n (K), per ogni α ∈ K si ha:
(A + B)T = AT + B T ;
(α · A)T = α · AT .
Introduzione all’algebra delle matrici
Esercizio 2.
Siano
1
A=
0
1
−1
2
,
1

1
D= 1
−1
Calcolare:
a) A + B;
b) 3A − 2B;
c) B + D;
Compito.
d) 3A + C ;
e) E + F ;
f) 2E − F .
−2
B=
1
0
−1
1

0
2 ,
−1
1
−2
−2
,
0
−3
C=
0
E = [1 0 4],
−3
3
F = [0 3 1].
−6
−3
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Definizione
Dati un vettore riga A ∈ Mat1,p (K) e un vettore colonna B ∈ Matp,1 (K)
con
A = [a11 . . . a1p ], B = [b11 . . . bp1 ]T ,
chiamiamo prodotto della riga A per la colonna B lo scalare k definito
da
k = [a11 . . . a1p ] · [b11 . . . bp1 ]T = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + · · · + a1p bp1 =
=
p
X
a1i bi1 .
i=1
Esempio. Siano A = [2 1 0 6], B = −1 2
1
2
T
1 . Calcolare A · B.
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Definizione
Dati un vettore riga A ∈ Mat1,p (K) e un vettore colonna B ∈ Matp,1 (K)
con
A = [a11 . . . a1p ], B = [b11 . . . bp1 ]T ,
chiamiamo prodotto della riga A per la colonna B lo scalare k definito
da
k = [a11 . . . a1p ] · [b11 . . . bp1 ]T = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + · · · + a1p bp1 =
=
p
X
a1i bi1 .
i=1
Esempio. Siano A = [2 1 0 6], B = −1 2
1
2
T
1 . Calcolare A · B.
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Definizione
Date le matrici A = [aih ] ∈ Matm,p (K) e B = [bhj ] ∈ Matp,n (K)
chiamiamo prodotto (righe per colonne) di A con B la matrice
AB ∈ Matm,n (K) avente come elemento di posto (i, j) il prodotto della
i-esima riga di A con la j-esima colonna di B:
(AB)ij = [ai1 . . . aip ] · [b1j . . . bpj ]T .
Esempio. Siano
4
A=
0
calcolare AB.
1
−1
3
,
3

−2

B= 1
−1
1 0
4 −1
0 0

−2
2 ,
−2
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Definizione
Date le matrici A = [aih ] ∈ Matm,p (K) e B = [bhj ] ∈ Matp,n (K)
chiamiamo prodotto (righe per colonne) di A con B la matrice
AB ∈ Matm,n (K) avente come elemento di posto (i, j) il prodotto della
i-esima riga di A con la j-esima colonna di B:
(AB)ij = [ai1 . . . aip ] · [b1j . . . bpj ]T .
Esempio. Siano
4
A=
0
calcolare AB.
1
−1
3
,
3

−2

B= 1
−1
1 0
4 −1
0 0

−2
2 ,
−2
Introduzione all’algebra delle matrici
Esercizio 3.
Compito.
Siano

1
A = 3
0
3
C=
1
Calcolare:
a) AB;
b) BA;
c) AC ;
d) CA;
e) BD;
f) AD;
g) CD.
0
0
1

2
1 ,
0
2
2
1
,
3

0
B = 1
5
2
1
0

1
D = 4
5

0
1 ,
3

3
0 .
0