MISURE OTTICHE
giovedì 13 febbraio 2014
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 1h55min
1° Appello AA 2013/2014
L.26.16 ore 9.15
COGNOME: ______________________________ Nome: ________________________ (stampatello)
Laurea-anno: _______________(es. ELN-4°) Matr. e firma __ __ __ __ __ __ _________________
PUNTEGGI:
(8+9+8+7=32 p)
N.B. OCCORRE crocettare tutti i sottopunti a cui si è almeno parzialmente risposto [e.g. 1a), 1c), 1d) etc.].
SOLUZIONI
(30 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1a) Si elenchino, illustrandole brevemente con esempi anche numerici, le proprietà che rendono le sorgenti
laser ineguagliabili dalle sorgenti di luce tradizionali.
Si indichino le caratteristiche principali, e i corrispondenti valori tipici, per un laser a Nd:YAG, pompato
a diodi, in regime CW e pulsato (sia in Q-switching che in mode-locking).
1b) Si descrivano le principali cause di instabilità di frequenza di un laser a stato solido pompato a diodi.
Come è possibile limitare (passivamente) o ridurre (attivamente) il rumore di frequenza?
Quali campioni di frequenza si possono utilizzare per stabilizzare un laser a centro riga del riferimento
spettrale? Se ne indichino, aiutandosi con valori numerici, le principali caratteristiche e, anche in maniera
comparativa, i pregi e i difetti tra campioni di frequenza differenti.
Un laser a Nd:YAG con cavità lineare ha una lunghezza ottica tra i 20 cm e i 50 cm, con coefficiente di
temperatura =(L/L)/T=5×10-6/°C. Di quanti hertz si sposta la frequenza del laser se la sua temperatura
varia di 4 °C?
1c) Riportando un disegno dei livelli energetici coinvolti, si descriva il meccanismo di pompa e azione laser
a 3 oppure a 4 livelli e si commentino vantaggi e svantaggi di questi due modalità operative.
1d) Finesse (F) e free-spectral-range (FSR) di un interferometro Fabry-Perot: si forniscano le definizioni e le
formule per questi parametri nel caso di una cavità ottica composta da due specchi (identici) piani e paralleli.
Due specchi, piani e paralleli e ciascuno con riflettività in potenza R=90 %, sono disposti affacciati tra
loro alle estremità di un autoveicolo lungo 4.2 m. Quanto vale il free-spectral-range dell’interferometro
realizzato?
Su quale modo longitudinale del Fabry-Perot risuonerà un laser a Nd:YAG.
Quanto è larga, a metà altezza dal picco, la riga di trasmissione di questo Fabry-Perot e quanto vale il
suo fattore di merito Q?
21a) Vedi
appunti e dispense del Corso.
31b) Vedi
appunti e dispense del Corso.
Per il laser a Nd:YAG, è noto che la lunghezza d'onda di emissione è 1064 nm e dunque la sua
frequenza ottica =c/282 THz300 THz. Per una variazione di temperatura di 4 °C, si avrà una variazione
relativa di lunghezza (L/L)=T=20×10-6. Dato cha la variazione relativa di frequenza di un laser è legata
alla variazione relativa della sua lunghezza ottica della relazione (/)=-(/)-(L/L), si ricava
immediatamente che a variazione di frequenza cercata è in valore assoluto =(L/L) 5.64 GHz6 GHz.
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21c) Vedi
appunti e dispense del Corso.
41d) Vedi
appunti e dispense del Corso e il corrispondente profilo spettrale di Airy.
Indicando con R la riflettività in potenza degli specchi ( se R1R2 al posto di R si ha [R1R2]1/2 ), posti a
distanza L, la finesse si calcola come F= R / 1 R mentre il free-spectral-range vale FSR=c/2L.
Nel caso considerato di L=4.2 m, il free-spectral-range è dunque FSR=c/2L=35.7143 MHz36 MHz.
L’ordine del modo longitudinale risonante a =1064 nm, quindi alla frequenza ottica
=c/=281.96 THz, si ricava come m=/FSR7'894'737 8×106.
La finesse vale F= R / 1 R 30 e dunque la larghezza di riga FWHM è FWHM=FSR/F1.2 MHz
con un fattore di merito Q= /FWHM=(282×1012)/(1.2×106)2.35×108=235×106.
11/10 punti in totale ma va bene perché l’ESE è lungo e completo.
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(30 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Si deve progettare un telemetro ottico per misure di distanza in un range da 1 m a 300 m.
2a) Considerando le tipologie di telemetri studiate (triangolatore attivo, pulsato, CW con modulazione
sinusoidale), si discutano vantaggi/svantaggi di ciascuna soluzione e i corrispondenti limiti prestazionali, con
riferimento all’applicazione di misura specifica.
2b) Si dimensioni per l’applicazione considerata un telemetro laser a triangolazione (senza power-budget ma
solo valutando i parametri geometrici del triangolatore) che impiega un sensore CCD a 1024 pixel e lungo
X=2 cm unitamente a una lente di raccolta con focale f=10 cm.
2c) Si dimensioni per l’applicazione considerata (senza power-budget ma ipotizzando e scegliendo
ragionevolmente gli altri parametri del caso) un telemetro pulsato che impiega un laser a erbio in Q-switching
(=1.54 m e =10 ns).
2d) Per i telemetri discussi ai punti 2b) e 2c), si ricavino e si confrontino le risoluzioni dimensionali negli
estremi del range di misura (in Lmin e Lmax). Si operi con una risoluzione spaziale pari alla dimensione del
pixel nel caso del triangolatore e con risoluzione temporale T =10 ns nel caso del pulsato.
2e) Da cosa dipende l’accuratezza dei telemetri discussi ai punti 2b) e 2c)?
2
2a) Vedi appunti e dispense del Corso.
In estrema sintesi: il telemetro a triangolazione tipicamente va bene per distanze medo-brevi (0.1 m-10 m),
quello CW con modulazione sinusoidale per distanze medie (1 m-1000 m) e quello pulsato per distanze
grandi (1 km-100 km). Considerato che Lmin=1 m e Lmax=300 m, il telemetro preferibile per questa
applicazione sarebbe quello CW con modulazione sinusoidale.
2
2b) Volendo dimensionare un telemetro laser a triangolazione, con sensore CCD, sul range 1-300 m, occorre
dimensionare la linea di base (distanza D tra il fascio lanciato e la luce retro diffusa) tale da consentire di
coprire l’intero sensore ottico CCD per bersagli ai due estremi del range di misura. Indicando con f la focale
della lente di raccolta, valgono le relazioni: xmin/f=D/Lmax e xmax/f=D/Lmin. La lunghezza del sensore CCD
deve almeno coprire la distanza tra xmax e xmin, posizioni estreme della macchia raccolta in corrispondenza di
bersagli a distanza Lmin e Lmax, rispettivamente. Dunque, dalle due espressioni si ricava
X=(xmax-xmin)=fD(1/Lmin-1/Lmax)
ed
infine
una
linea
di
base
D=(X/f)/(1/Lmin-1/Lmax)=(0.02/0.1)(1/1-1/300)0.2 m=20 cm.
In funzione della lunghezza d'onda del laser utilizzato occorrerà poi scegliere il materiale fotosensibile
del CCD (rivelatore al Si per il visibile e fino a 1 m, rivelatori a InGaAs o al Ge per il NIR).
2c) Per rivelare la radiazione IR a 1.55 m occorrerà utilizzare un fotodiodo in InGaAs (o in Ge) con
responsivity di 0.8 A/W.
Perché il telemetro pulsato abbia un range di non ambiguità almeno pari a Lmax=300 m occorre che il periodo
di ripetizione degli impulsi sia Trep2Lmax/c=2 s e frep500 kHz.
La durata degli impulsi ottici ( ) e di conseguenza la banda del foto ricevitore (B1/ ) dovranno essere
commensurati alla risoluzione di misura che si intende ottenere.
2
2
2d) Triangolatore ottico attivo:
equazione della misura L=(Df)(1/x) e dunque risoluzione dimensionale L=-(1/x2)x=-L2/[(Df)]x, con
x=(2 cm)/(1024 pixel)20 m dimensione del pixel. Dunque la risoluzione dimensionale, che in funzione
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della distanza L del bersaglio varia come L2, sarà L=Lmin=1 mm per L=Lmin=1 m e invece
L=Lmax=90 m per L=Lmax=300 m
Telemetro ottico pulsato:
equazione della misura 2L=cT e dunque L=(1/2)cT con una risoluzione dimensionale
L=(1/2)cT=(1/2)c =0.53×10810×10-9=1.5 m indipendente da distanza e pertanto uguale sia per
L=Lmin=1 m che per L=Lmax=300 m (risolvendo invece T= /10 la risoluzione diviene L=15 cm).
2
2e) Vedi appunti e dispense del Corso.
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(30 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3) Si vuole utilizzare l’interferometro di Michelson riportato in figura per controllare la posizione di una
slitta meccanica. La sorgente laser a disposizione è a semiconduttore, emette una potenza ottica P0 = 10 mW
su di un singolo modo longitudinale (λ0= 800 nm), ed è caratterizzata da una varianza di Allan pari a 1×10-14
(valutata per un tempo di integrazione di un secondo). Lo specchio di misura Rm è solidale alla slitta
meccanica, il cammino di riferimento ha lunghezza Lr = 0.2 m, e il fotodiodo utilizzato ha una responsività
spettrale σFD = 0.7 A/W. La slitta si muove partendo dalla posizione iniziale Lm0 = Lr secondo la funzione
LS(t) riportata in figura.
3a) Si determini l’espressione del segnale di corrente Iph(t) foto-generata all’uscita del fotodiodo,
calcolandone in particolare il valore medio I0, il valore minimo Imin, ed il valore massimo Imax.
3b) Si determini il numero di frange che si sviluppano nel segnale Iph(t) nei seguenti intervalli di tempo:
0 — 40 ms; 40 — 60 ms; 60 — 80 ms; 80 — 120 ms. Qual è la risoluzione dell’interferometro in queste
condizioni operative?
3c) Qual è la banda minima Bmin che il sistema elettronico di lettura deve garantire per poter eseguire
correttamente la misura di spostamento della slitta meccanica per conteggio di frange?
3d) Dopo aver stimato la larghezza di riga ΔνL della sorgente laser utilizzata a partire dalla sua varianza di
Allan, determinare la NED di fase quando lo specchio Rm è alle distanze:
Lm(0ms); Lm(40ms); Lm(120ms).
3e) La slitta meccanica rimane ferma fra 40 — 60 ms e fra 120 — 140 ms. Sarebbe possibile eseguire la
misura di Lm – Lr negli intervalli di tempo considerati? Giustificare la risposta. In caso di risposta
affermativa, la risoluzione dell’interferometro cambierebbe?
33a) La
corrente foto-generata Iph(t) è legata alla potenza ottica secondo la seguente relazione:
Iph(t) = FDP(t). La potenza ottica P(t) varia nel tempo a causa dell’interferenza dei segnali provenienti dai
cammini di riferimento (Pr) e misura (Pm), con la legge seguente:
P(t) = Pm + Pr + 2 (PmPr)1/2 cos [2k(Lm(t) – Lr)], con k numero d’onda pari a 2/λ0.
Dati i valori delle riflettività degli specchi e del rapporto trasmissione/riflessione del divisore di fascio
utilizzato, abbiamo Pm = Pr = P0/4 = 2.5 mW. Possiamo quindi scrivere per Iph(t):
Iph(t) = I0{1 + cos [2k(Lm(t) – Lr)]}, con Iave = I0 = FDP0/2 = 3.5 mA, Imin = 0 mA, e Imax = 7 mA.
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23b) Il
numero di frange interferometriche che si sviluppano nel segnale Iph(t) può essere calcolato a partire
dagli sfasamenti fra segnale di riferimento e segnale di misura. Negli intervalli di tempo considerati abbiamo:
Δφ1 = Δφ(40ms) – Δφ(0ms) = 2k[LS(40ms) – Lr] – 2k[LS(0ms) – Lr] = 2k[LS(40ms) – LS(0ms)] = 100π rad;
Δφ2 = Δφ(60ms) – Δφ(40ms) = 2k[LS(60ms) – LS(40ms)] = 0 rad;
Δφ3 = Δφ(80ms) – Δφ(60ms) = 2k[LS(80ms) – LS(60ms)] = –100π rad;
Δφ4 = Δφ(120ms) – Δφ(80ms) = 2k[LS(120ms) – LS(80ms)] = 40π rad.
Ricordando che una frangia interferometrica equivale ad una variazione di fase pari a 2π, otteniamo che le
frange sviluppate negli intervalli considerati sono pari a:
NF1 = Δφ1 / 2π = [LS(40ms) – LS(0ms)] / (λ0/2) = 50;
NF2 = Δφ2 / 2π = [LS(60ms) – LS(40ms)] / (λ0/2) = 0;
NF3 = |Δφ3| / 2π = [LS(80ms) – LS(60ms)] / (λ0/2) = 50;
NF4 = Δφ4 / 2π = [LS(120ms) – LS(80ms)] / (λ0/2) = 20.
Eseguendo la misura di spostamento della slitta per conteggio di frange (per numeri interi, ovvero senza
interpolazioni), la risoluzione dell’interferometro è pari a RIS = LS,min = λ0/2 = 400 nm.
23c) Eseguendo
la misura per conteggio di frange, l’elettronica deve permettere di poter “contare”
correttamente il numero di frange che si sviluppano nel segnale interferometrico. Questo significa che la
banda minima del sistema di lettura (e.g. con segnali attenuati di 3 dB) deve essere uguale all’inverso della
minima durata temporale di una singola frangia, ovvero pari al rapporto fra la massima velocità della slitta e
lo spostamento equivalente ad una frangia interferometrica (ovvero RIS=0/2). La slitta si muove alla
massima velocità fra i 60 ms e gli 80 ms, con |vmax| = -[LS(80ms) – LS(60ms)] / (80ms – 60ms) =
20 μm / 20 ms = 1 μm/ms = 1 mm/s, e in tale intervallo di tempo ogni frangia dura un tempo TF = RIS / vmax.
La banda minima del sistema di lettura deve quindi essere pari a:
Bmin = 1/TF = vmax/RIS = 2500 frange/s 2.5 kHz. (ovvero 5 kSa/s se si campiona e converte A/D la
sinusoide del segnale interferometrico oppure la banda che occorre al sistema di conteggio di frange - e.g.
trigger a soglia seguito da derivatore e conteggio di impulsi di trigger - per misurare la frequenza del
segnale (sinusoide) interferometrico all’uscita del fotodiodo.
23d) La
larghezza di riga della sorgente laser si ricava dalla varianza di Allan, ricordando che:
σA ΔνL / νL, da cui ΔνL σA νL = σA (c/λ0) = (1×10-14)½ (c/λ0) = 37.5 MHz, con σA deviazione standard di
Allan pari alla radice quadrata della varianza di Allan, νL frequenza ottica centrale della radiazione laser, e c
velocità della luce, approssimata al valore 3×108 m/s.
La NED di fase è direttamente proporzionale alla larghezza di riga della sorgente e alla differenza tra il
cammino di riferimento e il cammino di misura: NEDfase = (Lm-Lr)(ΔL/L). Nei tre casi considerati:
NEDfase@0ms = 0 m, l’interferometro è infatti bilanciato;
NEDfase@40ms = LS(40ms)(ΔL/L) = 20 m×10-7 =20×10-13 m = 2 pm;
NEDfase@120ms = LS(120ms)(ΔL/L) = 8 m×10-7 = 8×10-13 = 0.8 pm.
23e)
La misura della differenza fra il cammino di misura ed il cammino di riferimento, quanto sono entrambi
costanti nel tempo, è possibile ricordando che la lunghezza d’onda di emissione di una sorgente laser a
semiconduttore può essere direttamente modulata agendo sulla sua corrente di polarizzazione. In presenza di
una modulazione Δλ(t), la variazione di fase interferometrica 2k(Lm-Lr) diventa, in modulo, infatti:
Δφλ = 4π (Lm-Lr) Δλ(t) / λ02.
In questa modalità di misura la risoluzione dell’interferometro non è più pari a RIS = λ0/2 ma diventa, sempre
ipotizzando di fare la misura per conteggio di frange interferometriche, RISΔλ = λ02/[2 Δλ(t)], e di ottenere
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una risoluzione è stata ottenuta come RIS=L=(Lm-Lr) quando φλ=2. Tale risoluzione dipende dalla
ampiezza di modulazione (t) applicata. Naturalmente, lavorando con (t) ampia si otterranno risoluzioni
più spinte (RIS “piccolo”) ma per fare ciò occorre imporre una ampia profondità di modulazione alla
lunghezza d'onda del laser e dunque alla corrente di polarizzazione.
11/10 punti in totale ma va bene perché l’ESE è lungo e completo.
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(25 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4) Un sistema LDV viene utilizzato per misurare il profilo di agitazione (velocità) di particelle all’interno di
un fluido contenuto in un recipiente trasparente a sezione quadrata e di lato L=10 cm. Il sistema LDV
impiega un laser a Nd:YAG-2X (duplicato in frequenza) da 10 mW, diviso equamente in due fasci, la cui
macchia di uscita è allargata e collimata per avere un waist w0=8 mm nella zona di massima sovrapposizione
dei fasci,
4a) Si calcoli la divergenza dei fasci a grande distanza dalla zona di collimazione e si valuti la dimensione di
macchia wT dei fasci laser a una distanza L=1 km dal waist.
Su quale range di misura il fascio rimane “collimato”?
4b) Le particelle in moto nel fluido hanno diametro 5 µm e si vogliono dimensionare le frange di
interferenza con distanza tra frange adiacenti proprio uguale a questo diametro: si calcoli l’angolo di
incidenza dei fasci ottici nel fluido.
Per rivelare il segnale LDV si impiega un un fotodiodo al silicio con efficienza quantica del 70 %: se ne
valuti la responsivity alla lunghezza d'onda di lavoro.
4c) Le particelle si muovono con velocità media v=16 cm/s, con una distribuzione gaussiana che ha
deviazione standard =2 cm/s. Quale frequenza Doppler occorre rilevare sul fotodiodo al Si (con quale
banda?) che raccoglie il segnale LDV diffuso?
4d) Con quale strumento di misura è possibile osservare il grafico/istogramma corrispondente alla
distribuzione di velocità?
lunghezza d'onda del laser è 532 nm e partendo da un beam waist w0=8 mm, la divergenza in
campo lontano è div =/(w0)21 µrad.
Allontanandosi dal waist di un quantità L=1000 m, lo spot size diviene
34a) La
2
wT=w0
2
z
L
w2
1 =w0 1 con zR= 0 =380 m e quindi wT2.8w022.5 mm
zR
zR
Il range di collimazione è RANGE=zR=380 m.
34b) Per
avere frange di interferenza a una distanza D=5 µm, occorre che i due fasci ottici interferenti si
intersechino ad un angolo 2 tale che
D
/2
/2
532 109 m
e quindi = arcsin
=arcsin(53×10-3)53 mrad3° e 2 6°
arcsin
6
sin
D
2 5 10 m
La responsivity del fotodiodo è =I/P=(Q/t)/(E/t)=(e)/(h)=(e)/(hc) e dunque, con =0.7 e
=532 nm, si ottiene =(0.71.6×10-19)/(6.6×10-343×108)532×10-90.3 A/W. Il valore trovato è più basso
della tipica responsivity del Si nel visibile [ =0.5 A/W per RED=633 nm] perché in questo caso l’efficienza
quantica è significativamente minore di 1, e anche la lunghezza d'onda del laser nel verde è inferiore alla
lunghezza d'onda dell’He-Ne nel rosso.
24c) La
frequenza Doppler da misurare all’uscita del fotodiodo che rivela la luce diffusa dalle particelle in
moto nel liquido, si ricava dalla relazione:
v 16 cm/s
fD= =
=32 kHz
D
5 m
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Considerata la distribuzione gaussiana delle velocità, con vMIN=vAVE-(3÷5) e vMAX=vAVE+(3÷5), si avrà
una corrispondente distribuzione gaussiana nel profilo delle frequenze (spettro del segnale Doppler),
ragionevolmente osservabile tra fMIN=12 Hz e fMAX=52 Hz, avendo scelto una ampiezza di osservazione pari
a ±5. La banda richiesta per il fotodiodo al Si è piuttosto bassa è può anche essere B=250-500 kHz
(prendendo come limite di banda 5-10 volte fMAX).
La frequenza centrale da misurare, 30 kHz, è una frequenza agevolmente misurabile con un contatore
elettronico o anche con un analizzatore di spettro elettronico del tipo a FFT. Per osservare l’intera
distribuzione di frequenza, ad esempio da -5 fino a -5, dunque da 6 cm/s fino a 26 cm/s, occorre
rivelare uno spettro di frequenze da 12 kHz fino a 52 kHz che può essere misurato con un analizzatore
di spettro a FFT (o comunque mediante conversione A/D della fototensione rivelata per poi eseguire a
calcolatore una trasformata FFT dei campioni numerici corrispondenti).
24d)
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Esercizio ___ (continua)
[foglio addizionale per eventuale esercizio “lungo”]
SCRIVERE “CONTINUA” IN FONDO ALLA PAGINA DELL’ESERCIZIO CORRISPONDENTE
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