Lezione 9 Polinomi ciclotomici.

Lezione 9
Prerequisiti: Radici dell’unità.
Polinomi ciclotomici.
Ricordiamo che, per ogni intero n ≥ 2 , le radici primitive n-esime dell’unità in un campo K sono le
radici n-esime dell’unità che non sono radici m-esime per 1 ≤ m < n . Nel campo complesso C esse
sono i generatori del gruppo ciclico Rn delle radici n-esime dell’unità, e il loro numero è φ (n ) ,
dove φ è la funzione di Eulero.
Definizione 9.1 Per ogni intero n ≥ 2 si dice n-esimo polinomio ciclotomico il polinomio
φ (n)
Φ n ( x) = ∏ ( x − ω i (n) ) ,
i =1
(n)
(n)
essendo ω 1 ,..., ω ϕ ( n ) , le radici primitive n-esime dell’unità. Si pone, inoltre, per convenzione,
Φ 1 ( x ) = x − 1 (si considera 1 come radice “prima” dell’unità).
Φ n (x ) è un polinomio di grado φ ( n ) che divide xn – 1. Notiamo, inoltre, che ogni radice n-esima
dell’unità è una radice primitiva d-esima, essendo d il suo periodo. Si ha allora, per il Teorema di
Lagrange (Algebra 2, Teorema 4.2), che d | n . Viceversa, dato un intero positivo d tale che d | n ,
ogni radice d-esima dell’unità è certamente una radice n-esima dell’unità. Abbiamo così provato:
Proposizione 9.2 Per ogni intero n ≥ 1 ,
x n − 1 = ∏ Φ d ( x) .
d |n
Esempio 9.3 Calcoliamo i primi polinomi ciclotomici. Per cominciare si ha, banalmente:
Φ 2 ( x) = x + 1,
essendo – 1 l’unica radice primitiva quadrata dell’unità. Le radici cubiche dell’unità sono 1, e due
radici primitive. Quindi, in base alla Definizione 9.1,
Φ 3 ( x) =
x3 − 1
= x2 + x + 1.
x −1
Le radici primitive quarte sono i e –i, e pertanto
Φ 4 ( x) = x 2 + 1 .
Le radici quinte dell’unità sono tutte primitive, tranne 1. Dunque
Φ 5 ( x) =
x5 − 1
= x4 + x3 + x2 + x + 1.
x −1
Per calcolare il sesto polinomio ciclotomico utilizziamo esplicitamente la Proposizione 9.2:
Φ 6 ( x) =
x6 − 1
= x2 − x + 1
Φ 1 ( x )Φ 2 ( x )Φ 3 ( x )
Se p>0 è un numero primo, allora ogni radice p-esima diversa da 1 è primitiva. Dalla Proposizione
9.2 si deduce allora facilmente:
Corollario 9.4 Per ogni numero primo p>0,
Φ p ( x) =
x p − 1 p −1 i
= ∑x .
x − 1 i =0
La Proposizione 9.2 permette anche di provare, con un facile ragionamento induttivo:
Proposizione 9.5 Per ogni intero positivo n, il polinomio Φ n (x ) è monico a coefficienti interi.
Ben più complessa è invece la dimostrazione del prossimo enunciato. Per semplicità, lo
dimostriamo solo in un caso particolare.
**Proposizione 9.6 Per ogni intero positivo n, il polinomio Φ n (x ) è irriducibile in Q[x ] . In
particolare, è il polinomio minimo su Q di ogni radice primitiva n-esima dell’unità.
Dimostrazione: Proviamo l’enunciato solo nel caso in cui n = p è un numero primo. Consideriamo
l’applicazione
υ : Q[ x ] → Q[ x ]
f ( x ) f ( x + 1)
Questa è, evidentemente, un isomorfismo di anelli. Quindi Φ p (x ) è irriducibile se lo è
υ (Φ p ( x )) = Φ p ( x + 1) =
( x + 1) p − 1 p  p  i −1 p −1 p  i
= ∑  x = ∑ 
x
x
i =1 i 
i = 0  i + 1
Questo è un polinomio monico a coefficienti interi, i cui termini diversi da quello di grado massimo
hanno tutti coefficienti divisibili per p. Il termine noto è p. Allora υ (Φ p ( x )) è irriducibile per il
Criterio di Eisenstein. Per la dimostrazione completa vedi [Mo], Theorem 7.7.
Utilizzando i polinomi ciclotomici è possibile provare il seguente
**Teorema 9.7 (Wedderburn) Ogni corpo finito è un campo.
Dimostrazione: [PC], Teorema 6.4.1.