Matematica per l'economia e matematica finanziaria
Prof.ssa A. Orlando
I Modulo: Matematica per l’economia
Numeri
Interi naturali e relativi. Numeri razionali. Numeri reali: proprietà, valore assoluto, radici n-esime
aritmetiche. Logaritmi, proprietà dei logaritmi. Insiemi di numeri reali. Massimo e minimo di un
insieme. Il piano cartesiano.
Funzioni
Definizione. Dominio e codominio di una funzione. Grafico di funzioni reali di variabile reale.
Funzioni elementari: Funzioni lineari. Funzioni lineari affini. Funzione potenza. Funzione esponenziale.
Funzione logaritmo. Funzioni composte: definizione
Monotonia. Monotonia e invertibilità. Funzioni inverse. Massimi e minimi: definizione.
Intersezione con gli assi e segno di una funzione. Intervalli e intorni. Punto di accumulazione. Limite di
una funzione. Limite sinistro e limite destro. Limite infinito per una funzione. Asintoto verticale.
Limite di una funzione all’infinito. Asintoto orizzontale. Limite infinito di una funzione all’infinito.
Teoremi sui limiti(solo enunciato): teorema di unicità; teorema della permanenza del segno; teorema
del confronto. Calcolo dei limiti. Limiti e operazioni algebriche: limite della somma, del prodotto e del
rapporto tra due funzioni. Forme di indecisione aritmetiche. Limiti delle funzioni elementari. Infiniti e
infinitesimi. Infinitesimi e loro confronto. Infiniti e loro confronto.Principio di sostituzione degli
infinitesimi e degli infiniti. Asintoti obliqui.
Continuità. Definizione di funzione continua. Discontinuità. Proprietà delle funzioni continue (solo
enunciati): Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi Teorema di Weierstrass.
Derivata di una funzione. Significato geometrico di derivata. Derivata destra e sinistra. Derivate di
alcune funzioni elementari. Principali regole di derivazione:derivata della somma di due funzioni;
derivata del prodotto di due funzioni. Derivata del rapporto di due funzioni. Derivata delle funzioni
composte. Derivata della funzione reciproca. Differenziale di una funzione: definizione. Applicazioni
del calcolo differenziale. Teorema di Lagrange. Teorema di Fermat. Test di monotonia per funzioni
derivabili su un intervallo. Primo test di riconoscimento dei punti stazionari. Massimi e minimi di una
funzione. Teorema di de l’Hospital. Derivate successive. Secondo test di riconoscimento dei punti
stazionari. Test di convessità (concavità). Flessi.
Formula di Taylor (arrestata al secondo ordine) e formula di Mac- Laurin.
Integrali definiti: definizione e proprietà. Significato geometrico dell’integrale definito Funzioni
primitive. Integrali indefiniti: definizione e proprietà. Integrali indefiniti immediati. Calcolo integrali
definiti:Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri.
Vettori: definizione. Vettori fondamentali. Operazioni tra vettori: uguaglianza. Proprietà
dell’uguaglianza: riflessiva; simmetrica; transitiva. Ordinamento tra vettori. Vettori positivi. Vettori
non negativi. Addizione tra vettori. Proprietà dell’addizione: commutativa, associativa. Prodotto di un
vettore per uno scalare. Proprietà distributiva rispetto all’addizione tra numeri. Proprietà associativa.
Proprietà distributiva rispetto all’addizione tra vettori. Prodotto interno tra vettori. Vettori ortogonali.
Combinazione lineare di vettori. Dipendenza lineare tra vettori.
Matrici. definizione, trasposizione, matrici quadrate, sottomatrici. Operazioni fra matrici: somma di
matrici e prodotto di una matrice per uno scalare, prodotto di matrici, proprietà del prodotto. Matrici
diagonali, scalari e matrici unità. Potenza di una matrice.
Il determinante (minore complementare, complemento algebrico, calcolo determinante)
Matrice inversa. Rango di una matrice (teorema degli ‘orlati’ o regola di Kronecker). Sistemi lineari e
matrici. Sistemi di n equazioni ed n incognite. La regola di Cramer. Sistemi generali (teorema di
Rouchè-Capelli), schema risolutivo. Sistemi omogenei cenni.
Funzioni di due variabili. Campi di esistenza. Derivate parziali prime: gradiente. Derivate parziali
seconde: matrice Hessiana. Ottimizzazione: estremi liberi e vincolati (funzione Lagrangiana, Metodo
dei moltiplicatori di Lagrange).
II Modulo: Matematica finanziaria
Elementi di base del calcolo finanziario. Operazioni di capitalizzazione e attualizzazione. Leggi
coniugate.
Regime dell’interesse semplice, Regime della capitalizzazione composta, Regime dello sconto
commerciale: Rappresentazione grafica del fattore di montante. Tassi equivalenti nei tre regimi. Tasso
nominale. Tasso istantaneo d’interesse. Capitalizzazione continua nel regime dell’interesse
composto.Confronto tra montanti. Scindibilità.
Rendite: definizione e tipologie. Rendita immediata, posticipata: montante e valore attuale. Rendita
immediata, anticipata: montante e valore attuale. Valore attuale e montante di rendite frazionate
(anticipate e posticipate). Rendite perpetue.
Ammortamento progressivo o graduale: caratteristiche e stesura del piano di ammortamento.
Condizione di chiusura elementare. Condizione di chiusura iniziale Condizione di chiusura finale.
Ammortamento italiano: caratteristiche e stesura del piano di ammortamento. Condizione di chiusura
elementare. Condizione di chiusura iniziale Condizione di chiusura finale. Ammortamento francese:
caratteristiche e stesura del piano di ammortamento. Condizione di chiusura elementare. Condizione di
chiusura iniziale Condizione di chiusura finale.
Scelte finanziarie: criteri di decisione. Criterio del Valore Attuale Netto (VAN).
Discounted Cash Flow (DCF) e osservazioni sul DCF. Confronto fra più investimenti.
Valore Attuale Netto Generalizzato (VANG). Tasso interno di rendimento (TIR).
Valore Attuale netto sul capitale proprio (APV). GAPV.
Durata media finanziaria di un titolo e di un portafoglio di titoli: definizione e calcolo. Uso della
Duration come strumento di immunizzazione finanziaria. Duration modificata e volatilità di un titolo.
Testi consigliati:
Peccati L., Salsa S., Squellati A. – Matematica per l’economia e l’azienda, III
edizione, Egea, 2004
Modesti P., Salinelli E., Vignati M. – Matematica Generale. Esercizi e complementi,
Giappichelli, ult. Ed.
Castagnoli E., Peccati L,. - Matematica in azienda 1 (calcolo finanziario con
applicazioni), III edizione, Egea, Milano, 2002
D’Amico M., Moretto E. - Matematica finanziaria. Esercizi, Egea, Milano, 2004
