MATEMATICA II Laurea Triennale in Scienza dei Materiali Vettori

MATEMATICA II
Laurea Triennale in Scienza dei Materiali
Vettori nel piano e nello spazio, geometria analitica nello spazio
Segmenti orientati e vettori nel piano e nello spazio. Operazioni di somma e prodotto per uno
scalare. Riferimenti cartesiani nel piano e nello spazio. Componenti di un vettore. Vettori
linearmente dipendenti e indipendenti. Prodotto scalare, norma di un vettore, prodotto vettoriale,
prodotto misto. Spazi vettoriali reali. Funzioni vettoriali di un parametro, limiti, continuità,
derivazione e principali proprietà dei derivati. Piani: equazioni parametriche, equazione cartesiana.
Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Rette nello spazio: equazioni parametriche, retta come
intersezione di due piani. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e perpendicolarità
tra una retta e un piano. Distanza di un punto da un piano.
Funzioni di due variabili
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Funzioni di R
in R . Dominio. Grafico. Alcune superfici quadriche. Curve di livello. Limiti.
Continuità. Derivate parziali prime. Derivate parziali seconde. Teorema dell'inversione dell'ordine
di derivazione (teorema di Schwarz). Derivata direzionale prima. Gradiente. Teorema del gradiente.
Teorema del valor medio. Derivazione di funzioni composte. Formula di Taylor al prim'ordine.
Piano tangente al grafico di una superficie. Differenziale. Punti di stazionarietà ed estremi.
Condizione necessaria per l'esistenza di un estremo. Metodo dell' Hessiano.
Integrali multipli
Integrali doppi e tripli. Proprietà geometriche. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili in
integrali doppi: coordinate polari piane; l'integrale gaussiano. Cambiamento di variabili in integrali
tripli: coordinate cilindriche, coordinate polari sferiche. Baricentri e momenti d' inerzia.
Curve, forme differenziali, integrali curvilinei
Curve parametrizzate nel piano e nello spazio. Curve regolari. Retta tangente ad una curva regolare.
Lunghezza di una curva. Integrali curvilinei: integrali di funzioni estesi ad una curva. Ascissa
curvilinea. Baricentri e momenti d’inerzia. Integrali curvilinei: integrali di forme differenziali in
due e tre variabili. Forme differenziali conservative. Forme differenziali esatte, funzione potenziale.
Integrali curvilinei di forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Equivalenza tra forme
differenziali esatte e forme differenziali chiuse in domini semplicemente connessi.
Campi scalari e vettoriali
Campi scalari e vettoriali. Gradiente, divergenza, rotore. Campi solenoidali, campi irrotazionali.
Laplaciano. Funzioni armoniche.