Università del Salento, Lecce
Corso di Laurea in Matematica
Appunti del Precorso A.A. 2016/2017
Prof.ssa Ivonne Sgura
Dipartimento di Matematica e Fisica ”E. De Giorgi”
Stanza 325, Ex-Collegio Fiorini p.terra
Email: [email protected]
Web: www.unisalento.it/people/ivonne.sgura
Argomenti delle Lezioni del 16-21-22-23 Settembre, 2016
1- Equazioni: 1o e 2o grado, grado superiore
2- Proprietà delle potenze
3- Prodotti notevoli
4- Esponenziali e logaritmi: cenni
5- Equazioni razionali
6- Disequazioni: di 1o e 2o grado, razionali, sistemi
7- Equazioni e disequazioni irrazionali
8- Valore assoluto
9- Trigonometria: definizioni, identità fondamentali, proprietà, equazioni e
disequazioni goniometriche
”No, la scuola non offriva soltanto una evasione dalla vita di famiglia. Almeno
nella classe del Signor Bernard, appagava una sete ancor più essenziale per il ragazzo che
per l’adulto, la sete della scoperta. Certo, anche nelle altre classi si insegnavano molte
cose, ma un po’ come si ingozzavano le oche. Si presentava un cibo preconfezionato e si
invitavano i ragazzi ad inghiottirlo. Nella classe del Signor Bernard, per la prima volta
in vita loro, sentivano di esistere e di essere oggetto della più alta considerazione: li si
giudicava degni di scoprire il mondo.” Albert Camus
1
1
1.1
Equazioni
Equazioni di primo grado
Si cerca il valore dell’incognita x che soddisfa la seguente equazione:
ax + b = 0
1
1
b
⇔ ax + b − b = −b ⇔ se a 6= 0, ax = −b ⇔ x = −
a
a
a
1.2
Equazioni di secondo grado
Si cercano i valori dell’incognita x che soddisfano la seguente equazione:
ax2 + bx + c = 0,
a > 0.
c
2b
c
b
⇔ x2 + x + = 0 ⇔ x2 + x = −
a
a
2a
a
2
2b
b2 − 4ac
b2
c
b2
b
⇔ x2 + x + 2 = − + 2 ⇔ x +
=
.
2a
4a
a 4a
2a
4a2
Quindi posto il discriminante
∆ = b2 − 4ac
si hanno i seguenti casi:
√
√
∆
b
−b ∓ ∆
∆ > 0 x1,2 = − ±
=
, x1 , x2 ∈ R
2a
2a
2a
b
∆ = 0 x1 = x2 = −
due radici reali e coincidenti
2a
∆ < 0 x1 , x2 ∈ C due radici complesse e coniugate
(1)
(2)
(3)
Se b = 2b̄ è pari, è possibile usare le cosiddette formule ridotte
√
¯
−b/2 ∓ ∆
¯ = b̄2 − ac.
, ∆
x1,2 =
a
Osservazione 1: Scomposizione in fattori
Se x1 ed x2 sono le radici dell’equazione, allora risulta:
ax2 + bx + c = a · (x − x1 ) · (x − x2 ) = 0.
Osservazione 2: Somma e prodotto
Si ricavano le seguenti relazioi tra i coefficienti dell’equazione e la somma e il prodotto
delle radici:
b
c
x1 + x2 = − ,
x1 x2 =
a
a
2
2
Verificare in: x − 5x + 4 = 0, 2x + 7x + 3 = 0.
2
1.3
Equazioni di grado superiore
In generale, un’equazione di grado n ≥ 3 (polinomiale) e’ data da
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0.
Tali equazioni sono risolubili mediante formule esplicite solo in casi particolari. In tal
senso una tecnica è quella di abbassare il grado mediante il metodo di Ruffini.
Equazioni cubiche n = 3:
Se P (x) = ax3 + bx2 + cx + d è divisibile per x = α vuol dire che P (x) = (x − α) Q(x)
dove Q(x) è un polinomio di secondo grado. Quindi le radici cercate saranno date da
[
x=α
Q(x) = 0.
Esempio
P (x) = x3 + x2 − 2 = 0
Si vede se almeno un fattore del termine noto annulla P (x). Qui é vero che P (1) = 0.
Eseguendo la divisione fra polinomi, si ha che
x3 + x2 − 2 = (x2 + 2x + 2)(x − 1) = 0 ⇔
x = 1 ∧ x2 + 2x + 2 = 0.
Equazioni biquadratiche n = 4:
ax4 + bx2 + c = 0.
Mediante la sostituzione y = x2 ci si riconduce a risolvere un’equazione di secondo grado
ay 2 + by + c = 0.
√
√
Se y1 e y2 sono le radici trovate, si ha x1 = ± y1 ed x2 = ± y2 se e solo se le yi , i = 1, 2
sono reali e positive.
Esercizi
1) x + 23 = 5(x + 2) (ris. x = 13/4),
2
x
3
+ 4(x − 1) = −4 (ris. x = 0);
√
√
√
√
x−2 5
2x + 5
√ = 0, (Ris. x = 5)
√
3)
+√
5
10 + 5
2)
4) x2 + 3x = 5(x + 3) − 16,
5) x2 − 5x + 4 = 0,
6) (3x − 1)2 − (x − 1)2 ,
(Ris. x = 1 doppia)
(Ris. 1, 4)
(Ris. 0, 1/2)
3
7) (x + 2)2 (x − 2) − (x − 2)2 (x + 2) = 4(x − 4),
8) (x + 1)3 − (x − 2)3 = 6x + 1,
9) 2x3 − 3x2 − 3x + 2 = 0,
10) 4x4 − 5x2 + 1 = 0,
(Ris. 0, 1)
(Ris. impossibile=xi ∈ C)
(Ris. −1, 1/2, 2)
(Ris. ±1/2, ±1)
11) Determinare due numeri tali che la somma e il prodotto siano dati da: s = −1/2, p =
−3 (Ris. -2, 3/2); s = 2, p = 5 (ris. impossibile)
2
Proprietà delle potenze
Sia x > 0 base, n, m, α, β nel seguito si dicono esponenti:
√
√
√
1
m
n, m ∈ N
x n = n x,
x n = n xm = ( n x)m
1
xα
= xα−β = β−α
α, β ∈ R
xα · xβ = xα+β ,
β
x
x
α β
αβ
β α
(x ) = x = (x )
α y −α
xα
x
α
α
α
=
=
x, y ∈ R x · y = (x · y) ,
yα
y
x
Esercizi
1)
x3 x7
= x10 x−15 x2 = x−3 = 1/x3
x15 x−2
2)
1
1
1
(x y)1/3
√
= x 3 − 2 · y 3 −1 = x−1/6 y −2/3
y x
3)
x2 + x3
√
=?
x
(Ris. x3/2 (1 + x))
4) [(x4 )7 x2 ]1/2 =?
(Ris. x15 )
5)
q p
p
√ p
6
x y · 3 x2 y 2 · 6 x y 3 =?
6) Se x =
3 2
4
ed y =
2 3
,
3
(Ris. xy)
chi é il piú grande fra i due?
7) Ordinare dal piú piccolo al piú grande i seguenti valori:
30
1
x=
,
2
20
1
y=
,
3
4
10
1
z=
.
5
(4)
(5)
(6)
(7)
3
Prodotti notevoli
a, b ∈ R
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 ),
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2 )
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Esercizi
1) x2 − 3 =?,
x4 − 4 =?
2) 8x3 − 8x2 + 2x =?
(Ris. 2x(2x − 1)2 )
3) 3x5 − 27x =?
(Ris. 3x(x2 + 3)(x2 − 3))
√
√
√
√
√
√
√
√
√
4) ( x + y)2 − ( x − y + 2 4 xy)( x − y − 2 4 xy), (Ris. 8 xy).
4
Esponenziali e logaritmi
Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo :
y = ax ,
a > 0 base fissata,
x esponente.
Il dominio della funzione, cioè l’insieme dei valori che si possono attribuire a x è
tutto R ; l’insieme dei valori che la funzione assume è R+ (la funzione esponenziale è
sempre strettamente positiva). Si distinguono tre casi:
a > 1 funzione crescente : x > y ⇒ ax > ay
a = 1 funzione costante: ax = 1 per ogni x ∈ R;
a < 1 funzione decrescente : x > y ⇒ ax < ay
Un’equazione si dice esponenziale se l’incognita compare soltanto nell’esponente di
una o più potenze. Il caso più semplice è:
ax = b
Sia a 6= 1. Se b ≤ 0 l’equazione è impossible, se b > 0 ammette una soluzione data dal
logaritmo in base a di b. Vale infatti:
ax = b ⇔ x = loga b
Infatti, per definizione il logaritmo è l’esponente da assegnare alla base a per ottenere il
numero b.
5
Il logaritmo risulta essere l’operazione inversa dell’esponenziale, pertanto le limitazioni cui è soggetto l’esponenziale si riflettono sul logaritmo. Quindi, fissata la base
a > 0 , deve essere b > 0 e inoltre loga 1 = 0, poichè a0 = 1 e loga a = 1 poichè a1 = a. I
logaritmi più usati sono in base a = 10 (logaritmo decimale) oppure in base a = e ≈ 2.718
(numero di Nepero) (logaritmo naturale).
Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo :
y = loga (x),
a > 0, a 6= 1,
base fissata,
x > 0.
Il dominio della funzione, cioè l’insieme dei valori che si possono attribuire a x è
R+ . Si distinguono due casi:
a > 1 funzione crescente : x > y ⇒ loga (x) > loga (y)
0 < a < 1 funzione decrescente : x > y ⇒ loga (x) < loga (y)
Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita compare soltanto nell’argomento
di uno o più logaritmi.
L’equazione logaritmica più semplice (elementare) è del tipo :
loga (x) = b,
a > 0, b ∈ R, x > 0 incognita.
LA sua soluzione per quanto detto sull’equazione esponenziale è x = ab .
Esempi:
1)
8 2x−1 − 2x+1 = 16
POichè 8 = 23 , si ha
23 2x−1 − 2x+1 = 16
⇔
2x+1 = 24
x+1=4 x=3
2) 5 3x = 7 Applichiamo le proprietà dei logaritmi:
log(5 3x ) = log(7)
⇔
log(5) + xlog(3) = log(7)
Esercizi
3
p
ex e
2
1) 2x = ex −(x+1)/2 (ris. x = 1, ± 3/2);
e
2) 52x − 5x = 6 ( ris. x = log5 3 );
3) 23x + 3 22x − 32x − 1 > 0 (ris. x > 0);
4) log3 (5x) + 2log9 (3)log3 (x) − log3 (6x) = 2 (ris. x = 54/5);
5) log 3 (x) − 2log(x) ≥ 0 (ris. e
√
2
√
≤ x ≤ 1; x ≥ e 2 );
6
⇔
x = ..
5
Equazioni razionali o fratte
Un’equazione razionale è del tipo
N (x)
= 0,
D(x)
dove N (x) e D(x) sono polinomi di grado n ≥ 1. La o le soluzioni x di tale equazione
vanno cercate fra le soluzioni del sistema:
D(x) 6= 0 condizione di esistenza
N (x) = 0
In sintesi: bisogna escludere dalle radici del numeratore quelle che annullano il denominatore.
Esempio
4 x2 + x − 3
=0
x2 − 1
Condizione di esistenza: D(x) = (x − 1)(x + 1) 6= 0 ⇔
Poichè N (x) = 4x2 + x − 3 = 0
dell’equazione è x = 3/4.
⇔
x 6= −1, x 6= 1.
x = −1, x = 3/4, l’unica soluzione
NB: Usando la scomposizione in fattori di N (x) e D(x) si possono semplificare i
fattori comuni a N (x) e D(x), ma richiedendo che essi siano diversi da zero. Vale infatti:
4 (x + 1)(x − 3/4)
4 x2 + x − 3
=
= 0 ⇔ x 6= 1 ed x = 3/4.
2
x −1
(x − 1)(x + 1)
Esercizi
1)
2)
3)
4)
5)
3x − 2
2x − 1
=
= 0 (ris. 1, 3/5);
3x − 2
2x − 1
2x − 3
1
+
=1
−x−2 x−2
x2
(Ris. 0, 4)
x+1
1
1
x3 − 3
+
=
+
x4 − 1 x2 + 1
x−1 x+1
(Ris. x = 4)
a
2a2
+ 2
+ 1 = 0 (Ris. a 6= 0, x = 0)
x + a x − a2
6x2 − x − 2
= 0, (Ris. 2/3)
x − 4x3
x3 − 8
= 0 (Ris. impossibile=xi ∈ C)
6)
5x2 − 9x − 2
7)
x
1
+8=−
, (Ris. impossibile)
x+1
x+1
7
6
Disequazioni
Risolvere una disequazione significa trovare uno o piu’ intervalli di possibili valori dell’incognita
x che soddisfano la relazione assegnata.
6.1
Di primo grado
Supponendo a 6= 0, ci si può sempre ricondurre ad una espressione del tipo
ax + b > 0 oppure ax + b ≥ 0.
(Basta moltiplicare entrambi i membri della disuguaglianza per -1 e cambiare il verso.)
⇔ ax ≥ −b
b
x≥− ,
a
b
x≤− ,
a
⇔
se a > 0
(13)
se a < 0.
(14)
La disuguaglianza vale strettamete se tale è nell’equazione di partenza.
6.2
Di secondo grado
Si puo’ sempre scrivere la relazione in modo tale che a > 0. Allora, le possibili disequazioni
di secondo grado sono le seguenti, dove ∆ = b2 − 4ac è il discriminante dell’equazione
associata.
CASO I: ax2 + bx + c > 0
valori esterni, estremi esclusi
∆ > 0 x < x1 x > x2
∆ = 0 per ogni x ∈ R tranne x = x1 = x2
(15)
∆ < 0 per ogni x ∈ R
CASO II: ax2 + bx + c ≥ 0
∆ > 0 x ≤ x1 x ≥ x2
valori esterni, estremi inclusi
∆ ≤ 0 per ogni x ∈ R
CASO III: ax2 + bx + c < 0
∆ > 0 x1 < x < x2
∆ ≤ 0 impossibile
valori interni, estremi esclusi
CASO IV: ax2 + bx + c ≤ 0
valori interni, estremi inclusi
∆ > 0 x1 ≤ x ≤ x2
∆ = 0 solo perx = x1 = x2
∆ < 0 impossibile
8
(16)
(17)
(18)
12
2
y=ax + bx+c, a>0
10
8
6
∆<0
4
2
∆ =0
0
o
x
−2
−1
0
1
o
*
x1=x
2
1
x
∆>0
2
2
3
4
5
Dedurre i seguenti casi dall’analisi della Figura 1.
Esempio:
−2x2 + 3x − 1 ≥ 0
Riscriviamo in modo da avere uno dei casi analizzati:
2x2 − 3x + 1 ≤ 0. Risolvendo l’equazione associata si ha x1 = 1/2, x2 = 1. Allora la
disequazione è verificata per
1/2 ≤ x ≤ 1.
6.3
Disequazioni di grado maggiore di due
Regola dei segni: La risoluzione di disequazioni di grado maggiore di due può essere
fatta fattorizzando il polinomio (quando è possibile) e studiando il segno di ogni fattore.
Si disegna una linea continua dove il fattore è positivo e tratteggiata dove è negativo.
Seguendo la regola dei segni del prodotto si ricavano gli insiemi di positività e di negatività
del membro a sinistra della disuguaglianza. Se il verso della disequazione è positivo
> (oppure < negativo) la soluzione è data dall’insieme di positività (rispettivamente:
negatività).
Esempio
x(x2 − 4) ≤ 0
Si riscrive come: x(x − 2)(x + 2) ≤ 0 La regola dei segni si applica come in Figura 2,
individuando con linea continua x ≥ 0, x ≥ −2, x ≥ 2 Quindi la disequazione è verificata
per x ≤ −2 ed 0 ≤ x ≤ 2.
Esercizi
9
−2
−
2
0
−
+
+
1) 3(x − 2) < 4(x + 7/2) (ris. x > −20);
2) x2 − 5x + 4 < 0
(Ris. 1 < x < 4)
3) 10x2 − 2x + 5 < 0
4)
(Ris. impossibile )
1 3
x − 2x2 + 2x ≤ 0 (Ris. x = 2 ∪ x ≤ 0)
2
5) x3 + 3x2 − 4x < 0, (Ris. x < −4, 0 < x < 1)
6.4
Disequazioni razionali o fratte
Sono del tipo
N (x)
> 0(≥ 0) oppure
D(x)
N (x)
< 0(≤ 0)
D(x)
Innazitutto, come per le equazioni occorre trovare il dominio di esistenza escludendo i
valori tali che D(x) = 0.
Poi si osservi che, come il prodotto, cosı̀ il quoziente tra due polinomi è positivo
(negativo) se e solo se essi sono concordi (discordi). Per questo motivo allora anche in
questo caso ci si riconduce ad applicare la suddetta Regola dei segni, determinando gli
insiemi di positività e negatività del numeratore e del denominatore come su visto.
Esempio
Condizione di esistenza: x 6= 1. Allora:
x+2
≤2
1−x
x + 2 − 2 + 2x
3x
x+2
−2≤0⇔
≤0⇔
≥ 0.
1−x
1−x
x−1
Si vede facilmente che è verificata per x ≤ 0, x > 1.
Esercizi
1)
3(x + 1)
≤ 2 (ris. −7 ≤ x < 2);
x−2
10
2)
3)
3
6
>
x+4
x−4
(Ris. x < −12, −4 < x < 4)
2
x3 − 3x2 + 2x − 6
>
2
x − 2x − 3
x+1
(Ris. −1 < x < 0, 0 < x < 3, x > 3)
3x + 1
2x3 + 7x
4)
> 2
(Ris. x 6= 0, x < 1)
x−1
x −x
5)
6.5
x3 − 2x2 + 2x
≥ x + 2, (Ris. )
x2 + x
Sistemi di disequazioni
Un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni che devono essere verificate simultaneamente. Per cercare la soluzione di un sistema occorre risolvere le varie disequazioni
che lo compongono e considerare l’intersezione fra i singoli insiemi di soluzioni.
Anche in questo caso si ricorre ad un metodo grafico da NON confondere con la
Regola dei segni. In questo grafico ci sono tante righe quante sono le disequazioni. In
ogni riga del grafico la linea continua rappresenta l’insieme delle soluzioni che soddisfano
la disequazione in esame. Per determinare la soluzione del sistema si considerano SOLO
quelle ”zone” dove la linea è continua per tutte le disequazioni del sistema. (NON si
applica la regola dei segni!)
Esercizi
1)
5x − 1 < 0
(ris. x < −4);
2x + 8 < 0
2)
2x2 − 3x − 5 > 0
(ris. impossibile);
3x2 − 8x + 4 ≤ 0
3)
x+1≥0
(ris. x ≥ −1);
(x + 2)(x + 5) > x2 + 6x + 5
4x − 12 > 0
x2 + 4 > 0
4)
(ris. x > 3);
2
x − 5x + 6 > 0
x+2<0
(ris. x < −2);
5)
2x+3
>0
x
1
>0
(x+5)
(ris. −5 < x < −1);
6)
x+1<0
11
7
Equazioni e disequazioni irrazionali
Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice. Il
metodo di risoluzione fa ampio uso delle disequazioni. Consideriamo qui solo il caso più
semplice dove la radice in questione è quella quadrata.
p
A(x) = B(x)
Il metodo di risoluzione consiste nell’elevare al quadrato entrambi i membri,
A(x) = B 2 (x)
ma occorre imporre alcune condizioni. Si ha cosı̀ un sistema misto di equazioni e disequazioni. Tali condizioni sono:
1) A(x) ≥ 0 (condizione di esistenza della radice)
2) B(x) ≥ 0 (concordanza dei segni)
Tale sistema è dato da
A(x) = B 2 (x)
B(x) ≥ 0
Esempio
√
x2 − 3x + 3 = 1 − 2x ⇔
2
x2 − 3x + 3 = (1 − 2x)2
3x − x − 2 = 0
x1 = 1, x2 = −2/3
⇔
⇔
1 − 2x ≥ 0
x ≤ 1/2
x ≤ 1/2
Quindi la soluzione è data solo da x = −2/3. Verificare che x = 1 non soddisfa l’equazione
razionale di partenza.
7.1
Disequazioni irrazionali
p
CASO I: A(x) ≤ B(x)
Dalle considerazioni sull’esistenza della radice e sul segno di B(x) il problema si riconduce
a risolvere:
A(x) ≤ B 2 (x)
A(x) ≥ 0
B(x) ≥ 0
p
CASO II: A(x) ≥ B(x)
A(x) ≥ B 2 (x) [ A(x) ≥ 0
B(x) < 0
B(x) ≥ 0
In questo caso, c’è da risolvere un secondo sistema perchè, se B(x) è negativa e il
radicale esiste, la disequazione può essere verificata.
12
Esempio - CASO I
Risultato: x ≥ −2.
√
x2 − 2x + 8 ≤ x + 6
2
x − 2x + 8 ≤ (x + 6)2
x ≥ −2
⇔
x ≥ −6
x ≥ −6
Esempio - CASO II
r
9−x
>x−3
x+1
9−x
x+1 ≥ 0
[ 9−x ≥ 0
x+1
x−3≥0
x
−3<0
9−x
> (x − 3)2
x+1
Per il primo sistema si ha: 3 ≤ x < 4 per il secondo −1 < x < 3, da cui si ha che
−1 < x < 4 è la soluzione della disequazione irrazionale.
Esercizi
1)
√
2)
√
3)
√
√
x2 − 2x + 1 > x − 2 (ris. sempre);
6x − x2 + 16 < 4 − x (ris.−2 ≤ x < 0 );
4x2 + 3x − 1 > 2x − 3 (ris. x ≤ −1, x ≥ 1/4);
6 + x − x2 > x − 1 (ris. −2 ≤ x < 5/2);
√
√
√
5) x2 − 1 < x2 − 1 (ris. 2 < x < −1; 1 < x < 2);
4)
8
Valore assoluto
Quanto spiegato a lezione è in gran parte reperibile nel Capitolo 1, Sez. 1.5 di [1] e nel
libro [2]. Molti degli esercizi svolti ed assegnati sono presi da questi libri.
13
2
1.5
1
B
T
0.5
α
0
A
H
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
9
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Trigonometria (Cenni)
Per gli argomenti di questa sezione si consultino i libri [2, 3].
9.1
Definizioni e identità fondamentali
Dato un sistema di assi cartesiani, si consideri la circonferenza con centro nell’origine e
raggio unitario. Tale circonferenza è detta circonferenza goniometrica. Per ogni angolo al
centro α = AÔB in Figura [?] si consideri l’arco sotteso AB e la proiezione ortogonale H
dell’estremo B sul segmento OA. In riferimento al triangolo rettangolo OHB si danno le
seguenti definizioni di seno, coseno e tangente dell’angolo α:
BH
= yB ordinata del punto B,
OB
OH
= xB ascissa del punto B,
cos(α) =
OB
BH
sen(α)
tan(α) =
=
ordinata del punto T in Fig. 9.1.
OH
cos(α)
La tangente è quindi l’ordinata del punto di intersezione tra il prolungamento del raggio
OB e la retta tangente in A alla circonferenza.
sen(α) =
Per ogni angolo x si possono quindi definire le funzioni
y = sen(x),
y = cos(x),
y = tan(x),
x ∈ [0, 2π].
Il loro grafico su assi cartesiani x,y sono riportati in Figura 9.1. Si vede facilmente che le
funzioni sen(x) e cos(x) soddisfano
|sen(x)| ≤ 1,
|cos(x)| ≤ 1,
14
∀x.
sen(x)
cos(x)
tan(x)
1
1
10
0.8
0.8
8
0.6
0.6
6
0.4
0.4
4
0.2
0.2
2
0
0
0
−0.2
−0.2
−2
−0.4
−0.4
−4
−0.6
−0.6
−6
−0.8
−0.8
−1
−10
−5
0
−2 π ≤ x ≤ 2 π
5
10
−1
−10
−8
−5
0
−2 π ≤ x ≤ 2 π
5
−10
−10
10
−5
0
−2 π ≤ x ≤ 2 π
5
10
Figure 1: Le funzioni seno, coseno e tangente per x ∈ [−2π, 2π].
e sono periodiche di periodo 2π. Invece la funzione tan(x) ha periodo π e non è definita
π
per + kπ, k = ±1, ±2, . . . , dove assume valore ±∞.
2
I valori più usati di tali funzioni sono riassunti in Tabella 1.
Table 1: Valori delle funzioni trigonometriche per angoli notevoli
x
0
sin(x)
cos(x)
tan(x)
0
1
0
π
6
1/2
√
√3/2
3/3
π
√4
√2/2
2/2
1
π
√3
3/2
1/2
√
3
π
2
1
0
±∞
π
0
-1
0
3
π
2
-1
0
±∞
2π
0
1
0
I valori degli angoli associati (complementari, supplementari, opposti) a quelli in
Tabella 1 si possono ricavare dalle seguenti proprietà, facilmente dimostrabili mediante
costruzione geometrica sulla circonferenza goniometrica.
sen(π − x) = sen(x)
sen(π + x) = −sen(x)
cos(π − x) = −cos(x)
cos(π + x) = −cos(x)
sen(−x) = −sen(x)
sen( π2 − x) = cos(x)
cos(−x) = cos(x)
cos( π2 − x) = sen(x)
sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(x + 2kπ) = cos(x) k = ±1, ±2, . . . ,
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
L’ultima proprietà esprime la periodicità delle funzioni seno e coseno.
NB: Queste proprietà consentono praticamente di operare una riduzione al primo
quadrante di ogni angolo maggiore di π/2.
15
9.2
Identità trigonometriche
Si possono dimostrare le seguenti identità (per approfondimenti consultare ad esempio
[3])):
sen2 (x) + cos2 (x) = 1
sen(x ± y) = sen(x)cos(y) ± sen(y)cos(x)
cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sen(x)sen(y) (addizione e sottraz.)
sen(2x) = 2sen(x) cos(x), cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x)
(duplicazione)
x
1 − cos(x)
x
1 + cos(x)
sen2 ( ) =
, cos2 ( ) =
(bisezione)
2
2
2
2
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Si vedano i testi consigliati per:
le formule di prostaferesi (trasformano somme o sottrazioni di funzioni trigonometriche
in prodotti);
Es:
x+y
x−y
x+y
x−y
sen(x) + sen(y) = 2sen(
)cos(
), cos(x) + cos(y) = 2cos(
)cos(
)
2
2
2
2
le formule di Werner (viceversa: trasformano prodotti di funzioni trigonometriche in
somme e sottrazioni);
1
1
sen(x)sen(y) = (cos(x − y) − cos(x + y)), cos(x)cos(y) = (cos(x − y) + cos(x + y))
2
2
1
sen(x)cos(y) = (sen(x + y) + sen(x − y))
2
La TRI-Gonometria ha lo scopo di definire le relazioni esistenti tra angoli e lati nei
triangoli. Ricordiamo in particolare i risultati principali sui triangoli rettangoli.
Sia ABC un triangolo rettangolo in A, ed a,b,c le misure dell’ipotenusa e dei due
cateti opposti ai vertici A,B e C. Siano gli angoli α = π/2 e β, γ rispettivamente gli angoli
nei vertici A, B e C.
Teorema dei seni:
In un triangolo rettangolo ABC risulta:
b = a sen(β),
c = a cos(β),
b/c = tan(β)
un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto o all’ipotenusa per il coseno
dell’angolo adiacente.
Teorema del coseno o di Carnot:
Se ABC è un triangolo qualsiasi, risulta:
a2 = b2 + c2 − 2b c cos(α),
b2 = a2 + c2 − 2a c cos(β),
c2 = a2 + b2 − 2a b cos(γ)
sui triangoli rettangoli questo risultato coincide col Teorema di Pitagora.
Si possono definire, quando è possibile le funzioni trigonometriche inverse arcsen(x),
arccos(x), arctan(x). Questo argomento sarà approfondito nel corso curriculare di Analisi.
16
9.3
Equazioni e disequazioni goniometriche
Un’equazione trigonometrica è un’equazione che contiene una o più delle funzioni seno,
coseno, tangente. In questo caso l’incognita x da determinare è un angolo.
NB: Data la periodicità delle funzioni trigonometriche, le equazioni di questo tipo hanno
in realtà infinite soluzioni o nessuna. Per questo motivo, spesso nella risoluzione conviene
restringere lo studio a un intervallo che contiene un periodo (es. [0, 2π] o [−π, π] per
sen(x) e cos(x), [−π/2, π/2] per la tan(x)) o indicare la periodicità della soluzione. Nella
risoluzione spesso conviene trasformare l’equazione in modo da ricondursi a uno dei casi
seguenti e lavorare sulla circonferenza goniometrica:
sen(x) ≥ c ( ≤),
cos(x) ≥ c ( ≤),
tan(x) ≥ c ( ≤).
Esempi
1) sen(x) ≤ 1/2
Dalla tabella, per l’equazione associata si ha:
sen(x) = 1/2 ⇒ x = π/6. Ma se restringiamo l’attenzione all’intervallo di periodicità
[0, 2π] (questo equivale, lavorando sulla circonferenza goniometrica, a partire dal primo
quadrante in senso antiorario) anche l’angolo supplementare x = π−π/6 = 65 π è soluzione.
Osservando i valori sulla circonferenza si vede che la disequazione è verificata per
0 ≤ x ≤ π/6
5
π ≤ x ≤ 2π.
6
∧
Se il periodo scelto per studiare la disequazione è invece [−π, π] (che equivale a
partire dal terzo quadrante in senso antiorario) la soluzione si esprime come:
−π ≤ x ≤ π/6
∧
5
π ≤ x ≤ π.
6
Esercizi
1) cos(x) >
√
2
(ris. 0 < x < π/4 e 74 π < x < 2π);
2
2) cos(x) + 4 −
3
cos(x)+2
= 0 (ponendo cos(x) = t, ris.t = −5, −1, x = π + 2kπ );
3) risolvere l’esercizio 2 per < 0 (ris. mai );
4) 2sen2 (x) + 5sen(x) = −2 (ris. x = −π/6 + 2kπ; 7π/6 + 2kπ);
5)
sen(x)
sen(x)
1
+
≤√
cos(x) − sen(x) cos(x) + sen(x)
3
(ris. −π/2 + kπ < 2x < π/6 + kπ);
BUON LAVORO1!!!
1
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References
[1] M. Amar, A.M. Bersani, Esercizi di Analisi Matematica, Edizioni Esculapio Bologna, Seconda Ed. 2004
[2] C. Belingeri, F.Bongiorno, F. Rosati, Matematica −30,
Aracne Editrice, Roma 1992
[3] N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi: Corso di Trigonometria,
Ghisetti e Corvi Editori, 1996.
18
