Carica e Scarica di un condensatore.

Appunti di Elettronica – ITIS G. Ferraris – Anno scolastico 2013-14 – Prof. Aniello Celentano
Carica e Scarica di un condensatore.
Analizziamo il circuito riportato di seguito. Il deviatore commutato nella posizione A permette di
caricare il condensatore C attraverso la resistenza R. Mentre se è commutato nella posizione B, il
condensatore si scarica attraverso la resistenza R.
Il nostro obiettivo è quello di ricavare l’andamento nel tempo della
tensione ai capi di ciascun elemento passivo formante la maglia
elettrica, cioè vR(t) e vC(t)..
Dividiamo l’analisi in due momenti distinti: a) fase di carica del
condensatore; b) fase di scarica del condensatore.
a) Carica del condensatore
Supponiamo che all’istante t=0 il deviatore venga commutato nella posizione A e il condensatore
sia inizialmente scarico. Possiamo ricavare le seguenti condizioni:
t=0
Condizione iniziale
vc(t) = 0
Condensatore scarico
i(t) = Eo / R La corrente a t=0
t=
Dopo un tempo lungo
vc(t) = Eo Condensatore carico
i(t) = 0
Corrente nulla
In un qualunque istante l’equazione alla maglia deve essere:
[1]
La soluzione di questa equazione è:
[2]
Dove Io e K sono costanti da determinare in base alle condizioni iniziali (t=0) e finali (t= ).
Per la condizione iniziale t=0 si ha:
[3]
Dopo aver determinato Io dobbiamo determinare la costante K imponendo che la [2] sia soluzione
dell’ equazione [1]. Pertanto:
Risolvendo l’ integrale:
Dove A è una costante d’ integrazione da determinare e Io è il valore già determinato [3]. Ordinando
e raggruppando i fattori si ha:
Imponendo che ciascun addendo sia uguale a zero, otteniamo A = Eo e K = 1/RC. On definitiva, la
[2] si può scrivere come:
[4]
!"
#$
#%
[5]
!"
!"
[6]
Come si può facilmente verificare dalla [6], all’ istante t=0 il condensatore risulta scarico e per t=
risulta carico alla tensione Eo.
Appunti di Elettronica – ITIS G. Ferraris – Anno scolastico 2013-14 – Prof. Aniello Celentano
L’ espressione [6] può essere usata per ricavare il tempo affinché il condensatore si carichi fino ad
un dato valore Vo. In particolar modo il tempo che impiega per passare da un valore iniziale V1 ad
un valore finale V2 è:
+(
&
'( '
)*
+
b) Scarica di un condensatore
Supponiamo che dopo che il condensatore si sia caricato al valore Eo commutiamo il deviatore nella
posizione B in modo da eliminare il generatore di tensione costante Eo. In questo caso il
condensatore, che supponiamo carico, inizierà un processo di scarica attraverso la resistenza R.
L’ equazione alla maglia resta valida la [1] a patto di cancellare il termine Eo. Ossia:
[7]
La soluzione di questa equazione è ancora la [2]. Imponendo che la [2] sia soluzione della [7] è
semplice dimostrare che la corrente i(t) è:
Pertanto restano determinare le tensioni :
#$
!"
#%
[8]
Poiché la corrente i(t) esce dal condensatore, per convenzione bisogna considerare la tensione vc(t)
negativa. Solo in tal modo istante per istante risulta vR(t)+vC(t) = 0.
Anche in questo caso occorre determinare il tempo in cui il condensatore si scarica dalla tensione
V1 alla tensione V2. Dall’ espressione [8] si possono ricavare i tempi T1 e T2 in cui il condensatore si
trova alla tensione V1 e V2 per cui:
&
'(
'
)*
+(
+