Studio di funzione
Funzioni razionali intere
y = ao x n + a1 x n−1 + ........an−1 x + an
Caratteristiche: sono funzioni continue e derivabili in tutto il campo reale
•
D=R
quindi non esistono asintoti verticali
•
D’= R
quindi non esistono punti angolosi
•
lim y = lim a
x →∞
•
x →∞
o
xn = ∞
y
lim x = lim a
x →∞
x→∞
o
x n −1 = ∞
quindi non esistono asintoti orizzontali
quindi non esistono asintoti obliqui
Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino:
a) dominio
b) intersezioni con gli assi
N.B.:
- la determinazione dei punti di intersezione con l’asse delle ascisse può essere evitata se il
polinomio non è facilmente scomponibile
- una funzione polinomiale ha al massimo un numero di intersezioni con l’asse delle ascisse
pari al grado del polinomio
c) lim y = ±∞ ?
x → −∞
d) studio di y’ per determinare gli intervalli di crescenza di y, massimi e minimi relativi, flessi
a tangente orizzontale
e) studio di y” per determinare la concavità di y, flessi a tangente obliqua
Funzioni razionali fratte
y=
N ( x)
D( x )
Caratteristiche:
•
D = {x / x ∈ R e
D( x ) ≠ 0
}
i valori che annullano il denominatore sono punti di discontinuità per la funzione, pertanto
per tali valori vanno ricercati gli asintoti verticali
• Se N(x) e Q(x) sono di 1° grado cioè
y=
ax + b
cx + d
con ad-bc ≠ 0
1
la funzione è omografica e rappresenta un’iperbole equilatera con
A.V.:
•
x=−
d
c
e A.O. : y =
a
c
Se xo annulla contemporaneamente il numeratore e il denominatore la funzione ha una
discontinuità eliminabile e pertanto dopo aver semplificato l’espressione (numeratore e
denominatore) per (x-xo) si studia la nuova funzione ottenuta che è equivalente alla data
∀x ∈ D / x ≠ x0 (Vedi esempio N.1)
Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino:
a)
b)
c)
d)
e)
Dominio ed eventuali simmetrie evidenti
intersezioni con gli assi (attenzione alle discontinuità eliminabili)
insieme di positività
ricerca degli asintoti verticali
ricerca degli asintoti orizzontali (esistono solo se il grado di N(x) è inferiore o uguale al
grado di D(x) )
f) ricerca degli asintoti obliqui :
y=mx+q
con m ≠ 0 e finito e q finito
m = lim
x→∞
[ f ( x) − mx]
f ( x)
= lim f ' ( x )
x→∞
x
q = lim
x →∞
N.B.: L’asintoto obliquo esiste se il grado di N(x) supera di 1 il grado di D(x).
Nelle funzioni fratte l’equazione di tale asintoto si può determinare in modo rapido uguagliando
ad y il quoziente tra N(x) e D(x). (Vedi esempio N.2)
g) studio di y’ per determinare gli intervalli di crescenza di y, massimi e minimi relativi, flessi
a tangente orizzontale
h) studio di y” per determinare la concavità di y, flessi a tangente obliqua ( può essere evitato
se i calcoli sono laboriosi)
Funzioni irrazionali
y = n g( x)
Caratteristiche:
a) se n è pari
• D = {x / x ∈ R
g( x) ≥ 0
}
•
Agli estremi (cioè dove g(x)=0 ) la funzione è definita
•
Per la positività della funzione basta osservare il segno che precede la radice
b) se n è dispari
• D = {x / x ∈ R , ∃ g ( x )
}
cioè il dominio della funzione coincide con il dominio
di g(x)
•
La positività della funzione dipende dalla positività del radicando
2
c) Se n=2;3 prima di procedere nello studio della funzione provare ad elevare ambo i membri
per l’indice della radice potrebbe trattarsi di un ramo (positivo o negativo) di una curva
notevole (circonferenza,iperbole, ellisse ecc.) (Vedi esempio N.3)
d) Nella ricerca degli asintoti verticali ricordarsi che possono esserci A.V+. e A.V-. diversi fra
loro
(Vedi esempi N.4a e 4b )
e) Se l’indice della radice è pari, nella ricerca degli asintoti orizzontali o obliqui, conviene
procedere distinguendo:
e
lim f ( x )
x → +∞
lim f ( x )
x → −∞
Infatti frequentemente tali limiti si presentano nelle forme di indecisione e per eliminarle
potrebbe essere necessario portare dentro (o fuori) dal segno di radice la variabile (Vedi
esempio N.4b )
f) La derivata della funzione irrazionale assume la forma:
y' =
g' ( x)
nn g ( x ) n−1
Quindi la funzione non è derivabile nei punti in cui g(x)=0
Funzioni in valore assoluto
(Vedi esempio N.4a)
y = f ( x)
Caratteristiche:
•
sono funzioni continue dove f(x) è continua
•
i punti in cui l’argomento del valore assoluto si annulla sono punti di non derivabilità per la
funzione valore assoluto cioè punti angolosi
Per lo studio di tali funzioni:
a) Studiare la funzione y1=f(x) (cioè la funzione senza il valore assoluto) e rappresentarla
graficamente.
b) Il grafico della funzione in valore assoluto si ottiene ribaltando rispetto all’asse delle ascisse
i rami della y1 negativi (che si trovano al di sotto dell’asse x) e lasciando inalterati i rami
positivi (che si trovano al di sopra dell’asse x). (Vedi esempio N.5a)
3
Funzioni contenenti termini in valore assoluto
y = f ( x) + g( x)
Caratteristiche:
•
la funzione y è definita a tratti , infatti prima di procedere nello studio di funzione bisogna
esplicitare il valore assoluto ricordando che
∀x ∈ R / g ( x ) ≥ 0
⎧ g( x)
g( x) = ⎨
⎩− g ( x )
∀x ∈ R / g ( x ) < 0
quindi la funzione y si decompone in due sepressioni:
∀x ∈ R / g ( x ) ≥ 0
⎧ y1 = f ( x ) + g ( x )
y⎨
⎩ y2 = f ( x ) − g ( x )
•
∀x ∈ R / g ( x ) < 0
i punti in cui l’argomento del valore assoluto si annulla sono punti di non derivabilità per la
funzione valore assoluto cioè punti angolosi
Per lo studio di tali funzioni:
a) Si studiano separatamente le funzioni y1 e y2 , ciascuna nell’intervallo in cui è stata limitata
b) Il grafico della funzione y è dato dall’unione dei grafici delle due funzioni y1 e y2 (Vedi
esempio N.5b)
Funzioni esponenziali
y = e f ( x)
y = a f ( x)
oppure
Caratteristiche:
•
il dominio della funzione coincide con il dominio dell’esponente
•
la funzione è sempre positiva per qualsiasi valore dell’esponente ( ricordare che a
•
nella ricerca degli asintoti ricordare:
se a>1
lim
a f ( x ) = +∞
lim
a f ( x ) = 0+
f ( x )→ +∞
se 0<a<1
lim
a f ( x ) = 0+
lim
a f ( x ) = +∞
lim a
=
1
)
an
= a0 = 1
f ( x )→0
f ( x )→ −∞
f ( x )→ +∞
f ( x)
−n
lim a
f ( x )→ −∞
•
non esistono intersezioni con l’asse delle ascisse infatti y = e
•
la derivata assume la forma
f ( x)
= a0 = 1
f ( x )→0
f ( x)
= 0 è impossibile
y' = f ' ( x )e f ( x ) pertanto per studiare il segno delle derivata
basta studiare il segno di f’(x) (Vedi esempio N.6)
4
Funzioni logaritmiche
y = log a f ( x )
y = log e f ( x )
oppure
Caratteristiche:
•
il dominio è rappresentato dai valori di x che rendono positivo l’argomento del logaritmo
•
per l’insieme di positività ricordare che:
se a>1
y ≥ 0 ⇒ log a f ( x ) ≥ 0 ⇒ f ( x ) ≥ 1
se 0<a<1
•
y ≥ 0 ⇒ log a f ( x ) ≥ 0 ⇒ f ( x ) ≤ 1
nella ricerca degli asintoti ricordare che:
se a>1
lim
log a f ( x ) = +∞
lim
log a f ( x ) = −∞
f ( x )→ +∞
se 0<a<1
f ( x )→ +∞
•
lim log
f ( x ) →0 +
a
lim log
f ( x )→0+
a
f ( x ) = −∞
f ( x ) = +∞
nella ricerca degli eventuali asintoti obliqui conviene eliminare la forma di indecisione con
la regola di De L’Hopital
Funzioni goniometriche
Caratteristiche:
•
le funzioni goniometriche sono periodiche pertanto dopo averne determinato il dominio si
limita lo studio e la rappresentazione ad un solo periodo in particolare:
y = sin x ⎫
⎬ si limitano a [0,2π ] e sfruttando la loro simmetria anche a [0, π ]
y = cos x ⎭
y = tan x ⎫
⎡ π π⎤
⎬ si limitano a [0, π ] oppure a ⎢ − , ⎥
y = cot x ⎭
⎣ 2 2⎦
•
•
•
•
•
se la funzione è data dalla somma di funzioni con periodi diversi conviene studiarla
nell’intervallo più ampio
conviene determinare il valore che la funzione assume agli estremi dell’intervallo e per
alcuni valori di x interni adesso, ad es: f (0), f ( π ), f (π ), f ( 3 π ) f ( 2π )
2
2
l’insieme di positività si calcola solo se l’espressione della funzione genera semplici
disequazioni goniometriche
essendo periodiche non possono avere asintoti orizzontali o obliqui
nella ricerca dei massimi e dei minimi relativi e dei flessi, se le disequazioni relative allo
studio del segno della derivata prima e seconda non sono di immediata soluzione, conviene
usare il metodo delle derivate successive.(Vedi esempio N.7)
5
Esempi
Studio di funzione
Esempio 1
y1 =
x 2 − 3x + 2
x −1
y2 = x − 2
D = {x / x ∈ R e
x ≠1
}
D=R
( x − 1)( x − 2)
x −1
y1 =
y
y
y2
y1
x
x
Esempio 2
y1 =
x 2 − 3x + 1
x −1
•
D = {x / x ∈ R e
x ≠1
}
Ricerca dell'asintoto obliquo
1° metodo:
m = lim
x →∞
f ( x)
x 2 − 3x + 1 1
= lim
=1
x →∞
x
x −1
x
m=1
− 2x + 1
⎛ x 2 − 3x + 1
⎞
q = lim ( f ( x ) − mx ) = lim ⎜
− x ⎟ = lim
= −2
x →∞
x →∞ ⎝
x
→
∞
x −1
x −1
⎠
2° metodo
x2 – 3x+1
-x2 + x
-2x+1
+2x -2
-1
x-1
x-2
A.Ob. y=x-2
6
q=-2
A.Ob. y=x-2
Esempio 3a
y = 4 − x2
•
•
•
D = {x / x ∈ R e
4 − x2 ≥ 0
} = {x / x ∈ R
−2≤ x ≤2
e
}
I.P.=D- {− 2,+2}
Elevando ambo i membri al quadrato con la condizione che y ≥ 0 si ha:
⎧ x 2 + y2 = 4
⎧ y2 = 4 − x 2
⎨
⎨
⎩y ≥ 0
⎩y ≥ 0
questo sistema rappresenta graficamente la semicirconferenza positiva di centro C(0 ,0) e r=2
y
x
Esempio 3b
y = − x −1
•
D = {x / x ∈ R e
•
Elevando ambo i membri al quadrato con la condizione che y ≤ 0 si ha:
x −1 ≥ 0
} = {x / x ∈ R
⎧ y2 = x − 1
⎨
⎩y ≤ 0
e
x ≥1
}
⎧ x = y2 + 1
⎨
⎩y ≤ 0
questo sistema graficamente rappresenta la semiparabola negativa di vertice V(1 ,0) e asse di
simmetria y=0
y
x
7
Esempio 4a
y=
•
Dominio
x−3
≥0
x −1
D = {x / x ∈ R e
•
x −3
x −1
} = {x / x ∈ R e
x < 1∨ x ≥ 3
}
Intersezioni
⎧y = 0
⎪
⎨
x−3
⎪ y = x −1
⎩
A(3 ,0)
⎧x = 0
⎪
⎨
x−3
⎪ y = x −1
⎩
B(0 , 3 )
• Ricerca asintoti
Per x=1 la funzione non è definita va ricercato l’asintoto verticale sinistro
lim
x−3
= +∞
x−1
lim
3
x (1 − )
x −3
x =1
= lim
x − 1 x→∞ x (1 − 1 )
x
x →1
−
x →∞
•
y' =
x=1 A.V-.
quindi
quindi
y=1 A.O.
Studio della derivata prima
1
x −1− x + 3
1
=
2
x − 3 ( x − 1)
( x − 1)2 x − 3
2
x −1
x −1
D’=D- {3}
la funzione quindi è derivabile per x<1 e per x>3 e per tali valori la derivata è positiva e quindi la
funzione è crescente.
Poiché per x=3 la funzione è definita ma non è derivabile per ottenere ulteriori informazioni
sull’andamento della funzione in prossimità di 3 si può calcolare:
lim y' = lim
x →3+
x →3+
1
( x − 1)
2
x −3
x −1
=∞
ciò significa che la funzione nel punto di ascissa 3 ha tangente parallela all’asse y
8
y
x
Esempio 4b
y=
•
Dominio
⎧x2 −1 ≥ 0
⎨ 2
⎩ x + 3x + 2 ≠ 0
D = {x / x ∈ R e
•
x2 −1
x 2 + 3x + 2
} = {x / x ∈ R e
x < −1 ∨ x ≥ 1 ∧ x ≠ −2
Intersezioni
⎧y = 0
⎪
⎨
x2 −1
⎪y = 2
⎩
x + 3x + 2
x2 −1 = 0
x=-1
x=+1
A’(-1 0) non acc.
A(1 ,0)
Non vanno ricercate le intersezioni con l’asse delle ordinate perché la funzione non è
definita per x=0
• Ricerca asintoti
Per x = -1 la funzione non è definita va ricercato l’asintoto verticale sinistro
x2 −1
⎡0⎤
=⎢ ⎥
lim
x → −1 ( x + 1)( x + 2)
⎣0⎦
−
lim
−
x → −1
( x − 1)( x + 1)
− ( x + 2)
( x + 1)
2
= lim −
−
x → −1
x −1
( x + 2) x + 1
= −∞
quindi
x=-1 A.V-.
(per eliminare la forma di indecisione si poteva anche razionalizzare)
x2 −1
= +∞
lim
x → −2 ( x + 1)( x + 2)
−
}
x2 −1
= −∞
lim
x → −2 ( x + 1)( x + 2 )
+
9
quindi
x=-2 A.V.
⎧
1
−
−
x
1
⎪
x 2 = ⎡ − 1 ⎤ = 0+
⎪lim
⎢
⎥
1
⎪ x→−∞ x 2 ⎛⎜1 + 3 + 2 ⎞⎟ ⎣ − ∞ ⎦
x 1− 2
2
⎪
x2 −1
⎝ x x ⎠
x
=
=⎨
lim
lim
2
3 2 ⎞ ⎪
x →∞ x + 3 x + 2
x →∞
2⎛
1
x ⎜1 + + 2 ⎟
x 1− 2
⎝ x x ⎠ ⎪
⎡ +1 ⎤
x
=⎢
= 0+
⎪lim
⎥
x → +∞
+ ∞⎦
⎛ 3 2 ⎞
⎪
x 2 ⎜1 + + 2 ⎟ ⎣
⎝ x x ⎠
⎩
quindi y=0 A.O.
•
Studio della derivata prima
2x
( x 2 + 3 x + 2) − ( 2 x + 3) x 2 − 1
2
− x3 + 4x + 3
2
−
1
x
= 2
y' =
( x 2 + 3 x + 2) 2
( x + 3 x + 2) 2 x 2 − 1
D’=D- {1}
y' ≥ 0
− x 3 + 4 x + 3 = ( x + 1)( − x 2 + x + 3) ≥ 0
-2
-1.3
-1
1
2.3
1°f.
+
x≤
+
-
+
1 − 13
1 + 13
∨1 < x ≤
2
2
-
quindi max M1(-1.3, -0.2 ) M2(2.3, 0.7 )
Poiché per x=1 la funzione è definita ma non è derivabile per ottenere ulteriori informazioni
sull’andamento della funzione in prossimità di 1 si può calcolare:
− x3 + 4 x + 3
⎡6⎤
y' = lim 2
=⎢ ⎥=∞
lim
2
2
x →1
x →1 ( x + 3 x + 2 )
x −1 ⎣0⎦
+
+
ciò significa che la funzione nel punto di ascissa 1 ha tangente parallela all’asse y
y
x
10
Esempio 5a
y2 =
-5
-4
-3
-2
1 3
(x − 2 x 2 − 5 x + 6)
10
-1
0
1
2
3
4
5
y=
1 3
(x − 2 x 2 − 5 x + 6)
10
-4
-2
6
-5
-3
-1
0
1
2
3
4
5
6
Esempio 5b
y = x2 + x2 − x
⎧ y1 = x 2 + x 2 − x
y⎨
2
2
⎩ y2 = x − x + x
∀x ∈ R / x ≤ 0 ∨ x ≥ 1
⎧ y1 = 2 x 2 − x
y⎨
⎩ y2 = x
∀x ∈ R / x ≤ 0 ∨ x ≥ 1
y1
∀x ∈ R / 0 < x < 1
∀x ∈ R / 0 < x < 1
y2
y
7
7
6
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
-2
-1
-1 0
1
2
1
3
0
-2
-2
11
-1
0
1
2
3
Esempio 6
x 2 − 6 x +8
y = e x −6 x +5
2
•
Dominio
x 2 − 6 x + 5 ≠ 0} = {x / x ∈ R e
D = {x / x ∈ R e
•
x ≠ 1∧ x ≠ 5
}
Intersezioni
⎧⎪ x = 0
8
⎨
⎪⎩ y = e 5
8
5
A(0 , e )
Non vanno ricercate le intersezioni con l’asse delle ascisse perché l’equazione del tipo ax=0 è
impossibile.
• Ricerca asintoti
Nella ricerca degli asintoti verticali conviene prima studiare il segno dell’esponente, esso permette
di stabilire con facilità se l’esponente tende a + ∞ o - ∞ per i valori che annullano il denominatore.
1
2
4
5
N
D
+
+
+
lim e
x 2 − 6 x +8
x 2 −6 x + 5
−
x 2 − 6 x +8
=e
lim− x 2 −6 x +5
x →1
=e
⎡ 3 ⎤
⎢⎣ 0+ ⎥⎦
= e +∞ = +∞
quindi x=1 A.V-.
x →1
x 2 − 6 x +8
lim e
x 2 −6 x +5
x →1+
lim e
x 2 −6 x +8
x 2 − 6 x +5
x 2 − 6 x +8
x 2 −6 x + 5
=e
lim+
=e
lim− x 2 −6 x +5
x →1
=e
x 2 − 6 x +8
x →5
=e
⎡ 3 ⎤
⎢⎣ 0 − ⎥⎦
⎡ 3⎤
⎢⎣ 0− ⎥⎦
= e −∞ = 0
= e −∞ = 0
x →5−
lim e
x 2 − 6 x +8
x 2 −6 x +5
x →5+
lim e
x 2 −6 x +8
x 2 −6 x +5
x 2 − 6 x +8
=e
=e
lim+ x 2 −6 x +5
=e
x →5
lim
x →∞
x 2 −6 x +8
x 2 −6 x +5
⎡ 3⎤
⎢⎣ 0+ ⎥⎦
= e1 = e
x →∞
•
= e +∞ = +∞
quindi x=5 A.V+.
quindi y=e A.O.
Studio della derivata prima
y' = e
x 2 − 6 x +8
x 2 −6 x +5
(2 x − 6)(x
2
x − 6 x +8
− 6 x + 5) − (2 x − 6)(x 2 − 6 x + 8)
6(3 − x )
x −6 x +5
e
=
2
(x 2 − 6 x + 5)2
(x 2 − 6 x + 5)
2
2
D’=D
12
y' ≥ 0
3− x ≥ 0
x ≤ 3 quindi x= 3 è ascissa di massimo M( 3,
4
e)
Poiché per x= 1 e per x= 5 la funzione è asintotica rispettivamente solo da sinistra e da destra, per
avere un grafico più preciso in prossimità di 1+ e di 5- conviene calcolare il limite della funzione
derivata per avere informazioni sull’andamento delle tangenti in tali punti:
lim y' = lim y' = lim e
x →1+
x 2 − 6 x +8
x 2 − 6 x +5
x →1+
x →5−
6(3 − x )
=0
(x 2 − 6 x + 5)2
cioè la tangente in tali punti ha coefficiente nullo
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Esempio 7
y = 2 cos 2 x + 4 cos x − 1
•
Dominio
D = {x / x ∈ R
}
limito lo studio a [0,2π ]
•
Calcolo di alcuni valori
•
π
3
f ( π ) = −1
2
f (π ) = − 3
f ( ) = −1
2
Studio dei massimi e minimi e flessi:
f ( 0) = 5
f (2π ) = 5
1° metodo
y' = −4 cos x sin x − 4 sin x = 4 sin x ( − cos x − 1)
y' ≥ 0
D’=D
4 xinx ( − cos x − 1) ≥ 0
Π
0
2Π
1°f
2°f
13
+
quindi x= 0 e x=2Π sono ascisse di max
mentre x= Π è ascissa di min.
M1( 0, 5)
C (Π,-3)
M2(2Π, 5)
y' ' = 4 sin 2 x − 4 cos2 x − 4 cos x = −8 cos2 x − 4 cos x + 4
y' ' ≥ 0
− 2 cos2 x − cos x + 1 ≥ 0
π
0
-
⎛π 3⎞
, ⎟
⎝ 3 2⎠
2° metodo
1
2
2Π
+
-
⎛ 5π 3 ⎞
, ⎟
⎝ 3 2⎠
F1 ⎜
y' = 0
5π
3
Π
3
− 1 ≤ cos x ≤
F2 ⎜
y' = −4 cos x sin x − 4 sin x = 4 sin x ( − cos x − 1)
sin x = 0 ∨ cos x = −1
x= 0 x= Π
y' ' = 4 sin x − 4 cos x − 4 cos x
2
D’=D
x=2Π
2
y' ' (0) = 0 − 4 − 4 = −8 < 0
x= 0 max
M1( 0, 5)
y' ' (2π ) = 0 − 4 − 4 = −8 < 0
x=2Π max
M2(2Π, 5)
y' ' (π ) = 0 − 4 + 4 = 0 ?
y' ' ' = 8 sin x cos x + 8 cos x sin x + 4 cos x = 16 sin x cos x + 4 cos x
y' ' ' (π ) = 0 ?
y' v = −16 sin 2 x + 16 cos 2 x + 4 cos x
x=Π min C (Π,-3)
y' v = +16 − 4 > 0
5π
π
x=
x= Π
x=
y' ' = 4 sin 2 x − 4 cos 2 x − 4 cos x = 0
3
3
π
⎛π 3⎞
y' ' ' ( ) = 6 3 ≠ 0
F1 ⎜ , ⎟
3
⎝ 3 2⎠
5π
⎛ 5π 3 ⎞
y' ' ' ( ) = −6 3 ≠ 0
, ⎟
F2 ⎜
3
⎝ 3 2⎠
6
5
4
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