Principi di Kirchhoff – esercizio n. 6 - Digilander

Principi di Kirchhoff – esercizio n. 6
Calcolare le correnti che circolano nel circuito sotto riportato utilizzando i principi di Kirchhoff, la potenza erogata (o
eventualmente assorbita) dai generatori di tensione E1 e di corrente I01 ed I02 e quella assorbita da ciascuna resistenza:
E0 = 10 V
I01
I01 = 4 A
R2
R1
I02 = 5 A
R1 = 1 Ω
+
E1
R2 = 1 Ω
I02
R3
R3 = 2 Ω
Verranno utilizzati i principi di Kirchhoff.
Eventuale semplificazione del circuito
Per verificare se sia possibile semplificare il
circuito occorre stabilirne i nodi e quindi
controllare se vi siano resistenze in serie o
in parallelo.
Si stabiliscano i nodi del circuito.
I nodi presenti nel circuito risultano essere 4.
Ricerca di resistenze in serie:
Non sono presenti resistenze in serie.
Ricerca di resistenze in parallelo:
Non sono presenti resistenze in parallelo.
I01
R1
A
R2
B
C
I02
+
R3
E1
D
figura n. 1
1
Principi di Kirchhoff – esercizio n. 6
1° Principio (ai nodi):
Per ogni nodo o superficie chiusa (nodo generalizzato) la somma algebrica delle correnti deve essere nulla.
Il primo principio va applicato ai nodi indipendenti che risultano essere (n – 1).
Essi vanno scelti in modo arbitrario.
2° Principio (alle maglie)
In ogni maglia la somma algebrica delle d.d.p. è nulla.
Il secondo principio va applicato alle maglie indipendenti che risultano essere
[r – (n – 1)].
Esse vanno individuate scegliendo le maglie adiacenti.
Si stabiliscano i nodi, i nodi indipendenti, i
rami e le maglie indipendenti del circuito.
In tale circuito si individuano
n = 4 nodi
(n – 1) = (4 – 1) = 3 nodi indipendenti
r = 6 rami
[r – (n – 1)] = [6 – (4 – 1)] = 3 maglie indipendenti
Si disegnino, come in figura 2, in modo
arbitrario, le correnti di ramo che pur
essendo 6 perchè tanti sono i rami,
risulteranno essere incognite solo in 4, in
quanto su due rami sono presenti
generatori di corrente di valori noti I01 ed I02.
Tuttavia,
in
contemporanea,
sono
sconosciute le due d.d.p VAC e VBD ai capi
dei generatori di corrente, che costituiranno
(come maglie indipendenti verranno scelte quelle dunque ulteriori due incognite nelle
equazioni alle maglie che saranno
adiacenti).
successivamente scritte.
Si ricorda che per applicare il secondo principio di Equazioni ai nodi indipendenti:
Kirchhoff occorre fissare un verso arbitrario
positivo di percorrenza della maglia.
nodo A: I0 = I01 + I1
I principi di Kirchhoff danno origine alle seguenti
equazioni:
nodo B:
I1 = I2 + I02
nodo C:
I2 + I01 = I3
I01
VAC
+
R1
A
R2
B
I1
+
I0
C
I2
E0
+
+
VBD
R3
D I02
I3
figura n. 2
Equazioni alle maglie indipendenti
maglia ABDA
maglia BCDB
maglia ABCA
R1 ⋅ I1 + VBD = E0
− VBD + R2 ⋅ I2 + R3 ⋅ I3 = 0
− R1 ⋅ I1 − R2 ⋅ I2 − VAC = 0
2
Principi di Kirchhoff – esercizio n. 6
Sostituendo i valori:
Risolvendo il sistema si determinano
le correnti e le d.d.p. incognite:
I0 = 4 + I1
I0 = 8,25 A
I1 = I2 + 5
I1 = 4,25 A
I2 + 4 = I3
I2 = 0,75 A
1⋅ I1 + VBD = E0
I3 = 3,25 A
− VBD + 1⋅ I2 + 2 ⋅ I3 = 0
VAC = 3,5 V
−1⋅ I1 − 1⋅ I2 − VAC = 0
VBD = 5,75 V
VAC
I01
R2
R1
B
A
I1
I02
+
I0
C
I2
R3
E0
VBD
D
I3
figura n. 3
Calcolo della potenza erogata dai generatori:
Calcolo delle potenze assorbite dalle resistenze;
Per calcolare la potenza fornita dai generatori di corrente occorrono le d.d.p. VAC e VBD.
VCA = − VAC = −3,5 V
VDB = − VBD = −5,75 V
Poiché, per i generatori di corrente I01 ed I02 il verso della corrente erogata ed il
verso della d.d.p. ai morsetti dei generatori sono discordi, allora tali generatori
assorbono potenza invece che erogarla e pertanto la loro potenza deve essere
considera negativa.
PR1 = R1 ⋅ I12 = 1⋅ 4,252 = 18,06 W
Verifica potenze erogate ed assorbite:
PE0 = E0 ⋅ I0 = 10 ⋅ 8,25 = 82,50 W
PET = PE0 + PI01 + PI02 = 82,50 − 14,00 − 28,75 = 39,75 W
PI01 = VCA ⋅ I01 = −3,5 ⋅ 4,00 = −14,00 W
PI02 = VDB ⋅ I02 = −5,75 ⋅ 5,00 = −28,75 W
PR2 = R2 ⋅ I2 2 = 1⋅ 0,752 = 0,56 W
PR3 = R3 ⋅ I3 2 = 2 ⋅ 3,252 = 21,12 W
PRT = PR1 + PR2 + PR3 = 18,06 + 0,56 + 21,12 = 39,74 W
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