Programma del corso

Corso di Laurea in Ingegneria Logistica e della Produzione
e Organizzazione d’ Impresa
Programma del corso di Analisi Matematica A
(Prof. Morando, Prof. Camporesi e Prof. Longo)
Anno Accademico 2003/04
Insiemi numerici. Numeri razionali
e loro proprietà.
√
Numeri reali: irrazionalità di 2; sottoinsiemi limitati e illimitati di R; maggioranti
e minoranti per un sottoinsieme di R; estremo superiore, estremo inferiore; massimo
e minimo; radici n-esime aritmetiche; potenze ed esponenziali e loro proprietà;
logaritmi e loro proprietà.
Numeri complessi: definizione di C; unità immaginaria e numeri complessi in forma
algebrica; somma, prodotto e quoziente di numeri complessi in forma algebrica;
coniugato di un numero complesso; modulo di un numero complesso e sue proprietà;
forma trigonometrica di un numero complesso e sue relazioni con la forma algebrica;
prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica; quoziente di numeri complessi in forma trigonometrica; elevamento a potenza di numeri complessi in forma
trigonometrica e formule di de Moivre; radici n-esime di un numero complesso;
teorema fondamentale dell’algebra; risoluzione analitica di semplici equazioni e disequazioni in C e interpretazione grafica dei risultati; risoluzione grafica di semplici
equazioni e disequazioni in C.
Successioni: definizione di successione ed esempi; successioni limitate, superiormente limitate, inferiormente limitate; successioni convergenti e loro interpretazione
grafica; relazione tra successioni convergenti e successioni limitate; teorema di
unicità del limite; successioni divergenti e successioni irregolari; insiemi non limitati; infinitesimi e infiniti; successioni monotone; teorema di esistenza del limite per
successioni monotone; successione geometrica di ragione q; calcolo di limiti e forme
di indecisione; teorema di permanenza del segno; teorema del confronto; prodotto
di successione infinitesima per successione limitata; il numero e come limite di una
successione; confronti tra infiniti e infinitesimi; infiniti e infinitesimi di ordine superiore, inferiore e non confrontabili (definizione ed esempi); la gerarchia degli infiniti;
stime asintotiche (an ∼ bn ): definizione di ∼, proprietà ed esempi; utilizzo di stime
asintotiche nel calcolo dei limiti.
Definizione di funzione ed esempi: dominio e immagine di una funzione, grafico di
una funzione; funzioni limitate (superiormente e inferiormente) ed esempi; funzioni
simmetriche (pari e dispari): definizione ed esempi; funzioni periodiche.
Funzioni elementari e loro grafici: funzioni potenza con esempi; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche; funzioni iperboliche; funzioni parte
intera e mantissa; funzioni modulo e segno; operazioni sui grafici; risoluzione grafica
di equazioni e disequazioni.
Funzioni composte; funzioni invertibili e funzioni inverse; relazioni tra monotonia e
invertibilità; funzioni trigonometriche inverse; funzioni iperboliche inverse.
1
2
Limiti di funzioni: definizione per successioni e con gli intorni; non esistenza di
limn→+∞ sin x; funzioni continue; funzioni discontinue e possibili tipi di discontinuità; asintoti (verticali, orizzontali e obliqui); teoremi sulle funzioni continue;
teorema degli zeri; teorema di Weierstrass; teorema dei valori intermedi; teorema
del confronto; teorema di permanenza del segno; algebra dei limiti; limiti notevoli
(come approssimazione al primo ordine di sviluppi di Taylor); prolungamento per
continuità di una funzione; equivalenza asintotica per funzioni; gerarchia degli infiniti; stime asintotiche e grafici di funzione; calcolo di limiti.
Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; definizione di funzione derivabile in un punto; derivate di funzioni elementari; equazioni differenziali soddisfatte da
funzioni esponenziali e trigonometriche; funzioni non derivabili in un punto; punti
angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale; relazioni tra continuità e derivabilità.
Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivata di funzione composta; derivata della funzione inversa.
Punti stazionari; massimi e minimi locali; teorema di Fermat; teorema del valor
medio e sua interpretazione geometrica; test di monotonia; caratterizzazione delle
funzioni a derivata nulla; ricerca di massimi e minimi su intervalli e su R; studio
della monotonia di successioni tramite le derivate; soluzioni di alcuni problemi di
massimo e minimo; teorema di de l’Hospital e suo utilizzo per dimostrare il Teorema
sulla gerarchia degli infiniti.
Differenziale e approssimazione lineare; definizione di “o piccolo” e sue proprietà;
esempi di approssimazione lineare.
Significato geometrico della derivata seconda; convessità e monotonia della derivata
prima; convessità e rette tangenti: punti di flesso; convessità e corde; formule di
Taylor e di Mc Laurin del secondo ordine; formula di Taylor e convessità; formula
di Taylor con resto di Peano.
Studio del grafico di una funzione.
Testi consigliati:
Bramanti, Pagani, Salsa: Matematica (Zanichelli);
Conti, Acquistapace, Savojni: Analisi Matematica. Teoria e Applicazioni (McGrawHill)