ALGEBRA BOOLEANA
Insieme K con elementi che assumono i valori {0,1) con
operatori (AND , OR, NOT)
Notazione:
Se x e y sono due variabili booleane:
L’AND di x e y si indica con x · y (oppure xy)
L’OR di x e y si indica con x + y
Il NOT di x si indica con x
( oppure con x’ , ~x, (not x) ,x )
In generale, con n variabili si possono ottenere 2
( 2n )
funzioni.
PORTE LOGICHE ELEMENTARI
GENERALIZZAZIONE DELLE REGOLE DI DE MORGAN
ORDINE DI PRECEDENZA DEGLI OPERATORI LOGICI
Se in una espressione logica simbolica vengono utilizzati più operatori logici, viene
valutato prima NOT, quindi AND e infine OR. Per alterare tale priorità si usano le
parentesi :
Esempio : f(a,b,c) = a b c deve essere valutata , una volta assegnati i valori
booleani di a,b,c ,
eseguendo :
1) il not di a
2) la congiunzione and (•) tra a e b
3) la disgiunzione or (+) tra a b e c
Esempio : f(a,b,c) = a (b c) deve essere valutata , una volta assegnati i valori
booleani di a,b,c ,
eseguendo :
1) il not di a
2) la disgiunzione OR (+) tra b e c
3) la congiunzione and (•)
FUNZIONE DI MAGGIORANZA
La risposta del circuito è 1 quando ci sono più “ uni “ di “zeri”
PORTE XOR
LA PORTA XOR A PIU’ INGRESSI CALCOLA LA FUNZIONE “DISPARI”
Per esempio la funzione xor tra tre variabili:
restituisce il valore vero solo se una sola variabile è vera (=1) o lo sono tutte e
tre.
CIRCUITO EQUIVALENTE ALLA FUNZIONE LOGICA EXOR
TABELLA di verita’ della funzione EXOR
C = A xor B
LEGGI PRINCIPALI DELL’ALGEBRA BOOLEANA
---
- - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ADDIZIONATORE A n BIT ( in questo caso n= 4)
Verificare che se C = 0 il circuito effettua uno shift (scivolamento )a sinistra dei valori
D0……D7 ed S7 risulta = 0
( caso della moltiplicazione per 2).
Se invece C = 1 il circuito effettua uno shift a destra dei valori D0……D7
S0 risulta = 0
( caso della divisione per 2).
e
MULTIPLEXER
Circuito che seleziona in base ai valori A B e C ( 3 segnali di
controllo) quale degli 8 segnali d’ingresso sara’ presente all’uscita Y. Notare che i 3
segnali A,B,C possono controllare 23 = 8 segnali di ingresso (D0,D1, ………,D7)
In generale con n segnali di controllo si possono selezionare 2n segnali
d’ingresso. Applicazioni pratiche : trasformazione parallelo-seriale.
DEMULTIPLEXER
Il demultiplexer è un circuito che compie una funzione inversa rispetto
al multiplexer; il demultiplexer è in grado di trasferire a ciascuna delle
sue uscite un dato presente in ingresso in tempi successivi; l'uscita a
cui inviare il dato è scelta mediante un apposito selettore; il
demultiplexer ha quindi un solo ingresso e più uscite;
Nell’esempio in figura:
le linee A,B,C controllano le entrate in serie
(D0,D1, ………,D7) in 8 uscite in parallelo .
Applicazione pratica : Trasformazione serie-parallelo.
Notiamo, infine, che il bit in ingresso deve essere presente per tutto il
tempo in cui i selettori (A,B,C) comandano il passaggio dall'ingresso
all'uscita di un certo bit.
Esempio
Duale
a + ab = a + b
a*( a+b) = ab
Regola del controduale
Data una funzione booleana f(x1,x2,x3,…xn) si ottiene la sua
controduale fcd:
1)
negando ogni variabile;
2)
scambiando + e *
3)
scambiando 0 con 1
La funzione fcd ha la seguente proprieta’:
- per ogni x1,x2,x3,…xn {0,1)
fcd (x1,x2,x3,…xn) = f(x1,x2,x3,…xn)
Questo significa che a parita’ di valori x1,x2,x3,…xn il valore che
assume f e’ l’opposto del valore che assume fcd
Esempio-1
F ( x, y , z ) x * ( y z )
Fcd x y * z x * ( y z )
Verificate, per esercizio, le tabelle di verita’ di f e di fcd per tutti i
valori di x,y,z.
Esempio-2
F ( x, y ) x y
Fcd x * y x y
e abbiamo ottenuto una delle proprieta’ di De Morgan.
Esempio-3
F ( x, y ) x * y
Fcd x y x * y
e abbiamo ottenuto l’altra proprieta’ di De Morgan!!
PROPRIETA’ DI ASSORBIMENTO - dimostrazione:
a + ab
=
a + ab
a
= a *(b+b) + a*b
= ab + ab + ab
distributività
= ab + ab + ab
commutativita’
= ab + ab
idempotenza
= a( b + b )
distributività
= a*1
inverso
=a
a + ab
a + ab
=
elemento neutro del *
identità
a+b
= a + ab + ab
per l’assorbimernto
= a +b(a + a)
distributività
= a +b*1
inverso
=a+b
identità
da (a + ab = a+b) discende anche
a + ab = a+b
Il teorema del consensus permette di semplificare una espressione
Booleana nel seguente modo :
XY + XZ + YZ = XY + XZ
Come si vede salta il terzo termine,YZ, questo è ridondante e può essere
eliminato. Si noti che Y e Z sono associati a X e X nei primi due termini e
appaiono insieme nel termine che è eliminato.
Dimostrazione:
X*Y + X *Z + Y*Z
= X*Y + X*Z + Y*Z*( X + X )
per l’elemento neutro di *
= X*Y + X*Z + X*Y*Z + X*Y*Z
= X*Y + X*Y*Z + X*Z + X*Y*Z
per assorbimento
= X*Y(1 + Z) + X*Z *(1 + Y )
= X*Y + X*Z
CVD
Duale:
(X + Y)( X + Z)(Y + Z) = (X + Y)( X + Z) .
COMPLETEZZA DELLE PORTE NAND e NOR
Le porte NAND e NOR posso implementare qualsiasi
funzione logica (per questo sono chiamate porte universali)
CIRCUITI INTEGRATI
I circuiti digitali sono costruiti come circuiti integrati (IC) cristalli di
semiconduttori al silicio, detti informalmente chip, contenenti i componenti
elettronici per i gate digitali.
I gate sono interconnessi sul chip per formare il circuito integrato.
A seconda del numero di gate (porta logiche) che possono essere messi su
un chip variano da pochi a migliaia di milioni.
A seconda del numero parleremo di:
o
o
o
o
Small-scale integrated (SSI): diversi gate;
Medium-scale integrated (MSI): 10-100;
Large-scale integrated (LSI) : da 100 a poche migliaia;
Very large-scale integrated (VLSI): da parecchie migliaia a molti
milioni.
ESERCIZI:
VERIFICARE tramite le regole di Boole oppure tramite le tabelle di verità
quale delle seguenti uguaglianze sono corrette:
AB + AC + BC = AB + BC
AB + AC + BC = AB + AC
--------------------------Semplificare la seguente funzione a 3 variabili:
F(A,B,C)= A B BC
F(A,B,C)= A*B*C + B*C + A*B + A*B*C
---------------------------Applicando i teoremi dell’algebra di Boole, verificare la seguente
equivalenza tra espressioni:
ELEMENTI DI RAGIONAMENTO LOGICO.
CONCETTI FONDAMENTALI, IMPLICAZIONE E REGOLE DI INFERENZA
Per prima cosa il termine “ragionamento logico” nel senso da noi usato va inteso come il
processo seguito nella deduzione di nuove proposizioni o nuovi asserti da una o più
proposizioni date.
Praticamente useremo, nello stesso senso, anche i termini “inferenza logica” o “inferenza
deduttiva”. Osserviamo che è possibile anche studiare la logica in senso “induttivo”; tal caso
si parlerà di “inferenza statistica” o inferenza sperimentale”.
Una definizione appropriata di inferenza logica risale al 1943 da parte di J.C. Cooley:
DEFINIZIONE:
Ogniqualvolta una o più proposizioni portano a nuove
proposizioni che – se sono state accettate quelle originali – le
nuove devono essere accettate puramente in virtù della forma
e non del contenuto .
Questa definizione sottolinea, ponendo l’accento sulla forma, il moderno punto di vista
della logica. La maggior parte delle ricerche logiche contemporanee appartengono al campo
noto sotto i vari nomi di “logica simbolica”, “logica formale”,
“logica matematica”, che consiste nello studio dei principii del ragionamento e di numerosi
argomenti ad essi connessi, con l’ausilio di un simbolismo altamente astratto e complesso.
La “logica classica” (termine con cui abitualmente s’intende lo studio della logica basato
sull’opera del grande filosofo e logico greco Aristotele) è invece una logica essenzialmente
“verbale”.
PROPOSIZIONI GENERALI E PROPOSIZIONI PARTICOLARI
La logica formale si occupa di asserti o dichiarazioni che possono venire classificati, sia
effettivamente che ipoteticamente come “veri” oppure “falsi” ma non “veri e falsi”
contemporaneamente”. A questi asserti daremo il nome di proposizioni.
Assioma 1 (Principio di non contraddizione) E' impossibile che una proposizione sia
contemporaneamente vera e falsa.
Assioma2 (Principio del terzo escluso) Non esistono altri valori di verità oltre a "VERO" e
"FALSO".
Così come nel linguaggio corrente possiamo incontrare frasi semplici (costituite cioè da un
soggetto, un predicato e da uno o più complementi) e frasi più complesse, così anche in logica
possiamo distinguere le proposizioni atomiche, cioè quelle più semplici delle quali abbiamo
parlato fin qui, delle quali si possa dire subito se sono vere o false, dalle proposizioni composte o
molecolari.
Chiameremo “proposizioni generali” quelle in cui compaiono termini generali o indefiniti come
“tutti”, “alcuni”, “ogni”, “ciascuno” ; le proposizioni in cui non compaiono termini di questo tipo
saranno chiamate “particolari”.
In base a quanto detto, quindi, nella logica possono considerarsi proposizioni le frasi:
1)
2)
3)
4)
5)
La zebra è un mammifero;
(prop. atomica)
3 è un numero primo.
Milano è in Sardegna.
( una proposizione può essere vera o falsa)
Bruxelles è in Belgio o in Olanda.
(prop. composta)
La neve è di colore rosso.
Non possono considerarsi proposizioni, invece, le frasi:
6)
7)
8)
9)
Firenze è la città più bella d’Italia;
( è soggettiva)
Chi è l’autore de “L’uomo senza qualità”?
(è una domanda)
Per favore non chiamare dopo le 11 di sera.
(è una richiesta)
Avanti!
(è un comando)
NEGAZIONE di una proposizione
Per esempio se p sta per “sta piovendo” ~
stia piovendo”.
p
sta per “non sta piovendo” oppure “è falso che
DISGIUNZIONE
La disgiunzione tra due proposizioni
poq
p , q è la proposizione
o p o q oppure p⋁q
oppure p+q oppure
che va intesa vera quando almeno una delle proposizioni sia vera, falsa nel caso opposto.
Se p indica come prima “sta piovendo” e q indica “spende il sole” la proposizione composta:
“o sta piovendo o splende il sole “ è vera quando:
1) sta piovendo
2) spende il sole
3) sta piovendo e splende il sole
Invece è falsa quando
- non sta piovendo e non splende il sole
CONGIUNZIONE
La congiunzione tra due proposizioni
p,q
è la proposizione
p⋀q
oppure p*q oppure p q
che va intesa vera quando entrambe le proposizioni sono vere , falsa nel caso opposto.
Usando le precedenti proposizioni p * q significa “ sta piovendo e splende il sole”
I simboli introdotti per la negazione, disgiunzione e congiunzione possono essere combinati in
molti modi per dar luogo a diverse proposizioni composte .
Ricordiamo che gli operatori ~, * e + hanno priorità differenti .
Prima il NOT(~) poi l’AND (*) e poi l’OR (+). Per alterare tale priorità si possono usare le
parentesi [( )].
Es:
a) p(q+r) : p è vera e q o r è vera
b) pq + r : p e q è vera oppure r è vera
c) p(~q)+( ~p)q : abbiamo (p e non-q ) è vera oppure (non-q e p) è vera.
Questa è la disgiunzione completa o anche elusive or.
d) ~[(~p)+ (~q)] : è falsa che non-p o non-q sia vera.
Alcune proposizioni composte possono risultare sempre vere , in tal caso si parla di
tautologie.
Esempio:
la proposizione p + (~p) è sempre vera ( è una tautologia).
Alcune proposizioni composte possono risultare sempre false , in tal caso si parla di
contraddizioni.
Esempio:
la proposizione q *(~q) è sempre falsa ( è una contraddizione).
Implicazione logica
L’ implicazione logica è un connettivo logico attraverso il quale, a partire da due proposizioni
p e q , si forma una nuova proposizione ,chiamata p implica q e si scrive
p q, la quale è falsa solo se p è vera e q è falsa
Questa definizione si può riassumere mediante la seguente tabella di verità:
p
falsa
falsa
vera
vera
q
falsa
vera
falsa
vera
p q
vera
vera
falsa
vera
Si dice anche che
p è condizione sufficiente per q;
q è condizione necessaria per p;
NOTARE CHE LA TABELLA DI VERITA’ DELL’IMPLICAZIONE p
E’ EQUIVALENTE ALL’ESPESSIONE
pq
Esempio
p è la proposizione “piove”
q è la proposizione “Giulia resta a casa”
“se piove allora Giulia resta a casa“
pq
Usando l’equivalenza con
O non piove o Giulia resta a casa
possiamo affermare :
MA
Se non piove Giulia può restare a casa oppure no!
q
CONTRARIA-INVERSA-CONTRONOMINALE
Data l'implicazione p→q (implicazione diretta),
l'implicazione p q si dice contraria di
;
l'implicazione q p si dice inversa di
;
l'implicazione q p si dice contronominale di
.
L’Implicazione diretta e contronominale sono logicamente equivalenti, come si può facilmente
controllare costruendo le relative tavole di verità. Sempre utilizzando le tavole di verità si può
dimostrare che una implicazione non equivale logicamente alla sua inversa né alla sua contraria.
Tavole di verità
p
q
falsa
falsa
vera
vera
falsa
vera
falsa
vera
vera
vera
falsa
falsa
vera
falsa
vera
falsa
vera
vera
falsa
vera
vera
falsa
vera
vera
vera
falsa
vera
vera
vera
vera
falsa
vera
Osserviamo che implicazione diretta e contronominale hanno lo stesso valore di verità , mentre
l'inversa ha lo stesso valore di verità della contraria.
ESEMPI
Sia N un numero intero
p è la proposizione “N ha lo zero come ultima cifra”
q è la proposizione “ N è pari”
Consideriamo l'implicazione p q
"Se N ha lo zero come ultima cifra allora è pari"; VERA
La sua contraria è:
"Se N non ha lo zero come ultima cifra allora non è pari"; FALSA
La sua inversa è:
" Se N è pari allora ha lo zero come ultima cifra ";
FALSA
La sua contronominale è
"
Se N non è pari allora non ha lo zero come ultima cifra
Possiamo allora affermare:
VERA
Condizione sufficiente , ma non necessaria, affinché N sia pari è che la sua
ultima cifra sia lo zero
Condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché N abbia come ultima cifra
lo zero, è che N sia pari.
LA DOPPIA IMPLICAZIONE
Sia T un triangolo;
Consideriamo le due proposizioni:
p = “T è rettangolo”
q = “ Le misure dei lati di T verificano la relazione pitagorica
In questo caso
pq:
"Se T è rettangolo allora le misure dei lati di T verificano la relazione pitagorica” VERA
La sua contraria è:
" Se T non è rettangolo allora le misure dei lati di T non verificano la relazione pitagorica”
VERA
La sua inversa è:
"Se le misure dei lati di T verificano la relazione pitagorica allora T è rettangolo ” VERA
La sua contronominale è
"Se le misure dei lati di T non verificano la relazione pitagorica allora T non è rettangolo ”
VERA
Le implicazioni sono tutte e quattro vere.
Si parla allora di Implicazione doppia (pq )che si può esprimere nelle forme
seguenti:
p se e solo se q.
p è condizione necessaria e sufficiente per q.
p è equivalente a q.
pq è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità
p
q
falsa
falsa
vera
vera
falsa
vera
falsa
vera
pq
vera
falsa
falsa
vera
Possiamo allora affermare
Se e solo se T è rettangolo allora le misure dei lati di T verificano la
relazione pitagorica”
Condizione necessaria e sufficiente affinché i lati di T verifichino la
relazione pitagorica è che T sia rettangolo
Le due proposizioni:
p “T è rettangolo”
q “Le misure dei lati di T verificano la relazione pitagorica”
sono logicamente equivalenti
REGOLE DI INFERENZA
Regola di inferenza deduttiva o Modus ponens
Se p q è vera e p è vera allora q è vera
Tavole di verità
p
q
falsa falsa
vera
falsa
vera
falsa vera
vera
falsa
vera
vera falsa
falsa
falsa
vera
vera vera
vera
vera
vera
Regola di inferenza della contronominale o Modus tollens
Se p q
è vera e
q
è vera allora
Tavole di verità
p
q
falsa
falsa
vera
vera
falsa
vera
falsa
vera
vera
vera
falsa
vera
vera
falsa
falsa
falsa
vera
vera
vera
vera
ESEMPI
”
“se piove allora Giulia resta a casa“
A) PIOVE!
allora Giulia resta a casa
B) Giulia non resta a casa! allora Non piove
p
è vera
ESERCIZI
(01) Dire quali delle seguenti coppie di forme proposizionali sono logicamente equivalenti
( il simbolo ¬ = NOT) :
(a) A
(A∨B)∧(A∨¬B)
(b) ¬(A∧¬B)
¬A∨B
(c) A→B
¬B→A
(d) A∨B
(¬A∧B)∨(A∧¬B)
(e) A∧(B→C)
B ∧ (A→C)
(f) (A∨B)→C
(A→C)∧(B→C)
risp: (a) (b) (d) (f)
Risp: sotto la casella
(02) Posto: A = “Carlo è ligure” e B = “Diego è piemontese”, scrivere le proposizioni che
formalizzano i seguenti enunciati:
(a) “Carlo non è ligure”
risp(¬A)
(b) “Carlo è ligure e Diego è piemontese”
(c) “Carlo è ligure sebbene Diego sia piemontese”
(d) “Non è vero che Carlo sia ligure e Diego piemontese”
(e) “Se Carlo non è ligure, allora Diego non è piemontese”
(f) “È falso che se Carlo è ligure, allora Diego è piemontese”
(g) “Carlo è ligure solo se Diego non è piemontese”
(h) “Carlo è ligure se e solo se Diego è piemontese”
(i) “O Carlo è ligure o, se Carlo non è ligure, allora Diego è piemontese”
(l) “O Carlo è ligure e Diego è piemontese, o né Carlo è ligure, né Diego è piemontese”
(m) “Carlo è ligure se Diego è piemontese”
RISPOSTE
¬A (b) A∧B
Risp sotto la(a)casella
(e) ¬A→¬B
(f) ¬(A→B)
(c) A∧B
(g) A ¬B
(i) A∨(¬A→B) (l) (A∧B)∨(¬A∧¬B)
(d) ¬(A∧B)
(h) AB
(m) B→A
FINE
da finire
IMPLICAZIONI
Una delle più importanti e abituali relazioni tra due proposizioni è formata dai due termini
“se…. allora “ . Nel caso di un teorema matematico il “se” regge l’ipotesi e l’”allora”
regge la tesi . La dimostrazione del teorema mostra che vi è una connessione logica tra
ipotesi e tesi che impone di accettare la seconda qualora sia stata accettata la prima, con
l’ipotesi addizionale che i postulati ( del ramo della matematica in esame) siano veri.
Spesso, nel linguaggio comune , una frase che contiene il “se…..allora” viene usata in modo
molto più casuale, senza che sia richiesta un’effettiva connessione logica tra le due
preposizioni componenti ( spesso le due proposizioni sono legate da una forma di causa ed
effetto).
Per esempio:
1) Se piove, allora l’aria si rinfrescherà.
2) Se il tempo è buono allora esco in bicicletta.
3) Se vai tu, allora vengo anch’io.
Invece di “se…..allora” si usa spesso un unico termine “implica” e qualsiasi proposizione
composta del tipo “se p, allora q”, “se p è vera , allora q è vera” oppure “ p implica q” saraà
chiamata un’implicazione e sarà simboleggiata in questo modo:
pq
.
Come fare per definire l’implicazione con gli operatori and, or, not , già precedentemente
conosciuti e usati?
A questo scopo consideriamo la seguente proposizione:
Se il tempo sarà buono allora si giocherà la partita
In questo caso vi sono due possibilità corrispondenti alla proposizione condizionale, vale a
dire che il tempo potrà essere buono o cattivo. Nel primo caso, accettando che la proposizione
sia vera
OR , ⋁ , ⋀ ,+
xor , ⊕
not , ~ ,
∊ appartenenza
∉ non appartenenza
∃ esistenza
∄ non esistenza
⇒
⊥(falso- assurdo)
n = 2 variabili
simboli matematici
16 funzioni possibili
