Richiami su logica e insiemi

Richiami di logica matematica
Gli oggetti elementari dei discorsi matematici sono le proposizioni logiche = enunciati
di cui si possa stabilire inequivocabilmente se sono veri o falsi.
Sono proposizioni logiche
p = “Torino è in Italia”,
q = “2 è un numero dispari”,
p = “Torino è bella”,
1
q = “ 100
è un numero piccolo”.
non lo sono
1 Proposizioni composte: i connettivi logici
Supponiamo che p, q siano due proposizioni e costruiamone altre.
qp Si legge ‘NON p’ e il connettivo q si chiama negazione logica.
È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità (tabella che collega i valori
di verità di più proposizioni):
p
qp
V
F
Aermando qp (cioè dicendo che qp è vera),
F
V
dico che p è falsa.
p a q Si legge ‘p ET q’ e il connettivo a si chiama congiunzione logica.
È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità:
p
q
paq
V V
V
p a q è vera se entrambe p e q sono vere,
V
F
F
falsa negli altri casi.
F
V
F
Aermando p a q, dico che entrambe p e q sono vere.
F
F
F
p b q Si legge ‘p VEL q’ e il connettivo b si chiama disgiunzione logica.
È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità:
p
q
pbq
V V
V
p b q è vera se almeno una tra p e q è vera,
V
F
V
falsa se p e q sono entrambe false.
F
V
V
Aermando p b q, dico che almeno una tra p e q è vera.
F
F
F
p , q Si legge ‘p IMPLICA q’ e il connettivo , si chiama implicazione logica.
È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità:
p
q
p,q
V V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p , q è falsa se p è vera e q è falsa,
vera negli altri casi.
Aermando p , q, escludo che p sia vera e q sia falsa,
cioè dico che se p è vera allora q è vera.
L’implicazione si usa allora per esprimere un ragionamento deduttivo, di cui si dice
che p è la premessa o ipotesi, q è la conclusione o tesi.
Se p , q è vera, si dice che:
• p è condizione su!ciente a!nché valga q
• q è condizione necessaria a!nché valga p.
Osservazioni.
1 Attenzione a non scambiare i ruoli di ipotesi e tesi. Ad esempio, supponendo che x
sia un numero reale, l’implicazione
x > 2 , x2 > 4
è vera, ma il viceversa è falso.
2 La tabella dice anche che dal vero non si può dedurre il falso:
se p , q è vera e q è falsa, allora p deve essere falsa.
Ciò è alla base delle dimostrazioni per assurdo, dove si prova che una proposizione è falsa,
supponendola vera e deducendone qualcosa di falso.
p / q Si legge ‘p EQUIVALE A q’ e il connettivo / si chiama equivalenza logica.
È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità:
p
q
p/q
V V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p / q è vera se p e q hanno lo stesso valore di verità,
falsa negli altri casi.
Aermando p / q, dico che p , q e q , p
(/ si chiama anche biimplicazione).
L’equivalenza si usa allora per esprimere il fatto che due proposizioni vogliono dire
la stessa cosa (se n è un numero naturale, “n è pari” / “n + 1 è dispari”).
Se p / q è vera, si dice che:
• p è condizione necessaria e su!ciente a!nché valga q (e viceversa)
• p vale se e solo se vale q (e viceversa).
Proprietà. Tramite le tavole di verità, si possono verificare le seguenti equivalenze
(utili nelle dimostrazioni):
p,q
/ qq ,qp
q (p , q) /
(qq ,qp è detta contronominale di p , q)
p aqq
q (p a q) / qp b qq
(1a legge di De Morgan)
q (p b q) / qp aqq
(2a legge di De Morgan)
2 Predicati e quantificatori
Esempio. Supponendo x numero reale, la proposizione p = “x2 > 0” è vera o falsa?
p non è una proposizione, ma un predicato = enunciato che dipende da uno o più
argomenti variabili in un qualche insieme, che diventa una proposizione fissando un valore
per tali argomenti.
Un altro modo per costruire proposizioni da predicati è quello di quantificare le variabili:
se p (x) è un predicato ed A è un insieme di valori in cui varia x, gli enunciati
= ;x 5 A, p (x)
“esiste x in A tale che p (x) è vera” = <x 5 A, p (x)
sono proposizioni.
“per ogni x in A, p (x) è vera”
I simboli ; e < sono detti quantificatori, rispettivamente universale ed esistenziale.
Esempio. Se p (x) = “x2 > 0” con x numero reale, allora ...
Esempio. ;x 5 R, x2 + 2x 1 0 è vera o falsa?
Esempio. ;x 5 R, <y 5 R, x + y = 1 è vera o falsa?
Esempio. <y 5 R, ;x 5 R, x + y = 1 è vera o falsa?
Richiami di teoria (ingenua) degli
insiemi
Un insieme è una collezione, raccolta, classe, aggregato di oggetti ben distinti della
nostra immaginazione (elementi dell’insieme), che formano un tutt’uno (e che si dicono
[Ghrujh Cdqwru]
appartenenti all’insieme).
• Si scrive x 5 A per dire che x è un elemento dell’insieme A e x 5
/ A altrimenti.
• Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi.
• L’insieme privo di elementi (insieme vuoto) è unico e si denota con B.
Un insieme può essere assegnato in due modi:
• tramite l’elencazione dei suoi elementi, racchiusi tra grae:
A := {0, 1, 2, 3} ,
N := {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• tramite una descrizione dei suoi elementi, tipicamente attraverso una proprietà
caratteristica p (x), soddisfatta da tutti e soli gli elementi dell’insieme:
A := {x : x 5 N, x 3} = {x 5 N : x 3}
(in generale A := {x : p (x)}, oppure A := {x 5 X : p (x)} con X insieme ambiente).
1 Inclusione
Si scrive B A (e si dice che B è un sottoinsieme di A, o che B è incluso in A) se
tutti gli elementi di B sono anche elementi di A. In simboli: B A +, ;x 5 B, x 5 A.
Proprietà. Risulta B = A +, B A a A B.
Si scrive B A (B sottoinsieme proprio di A, o B strettamente incluso in A) se
B A a B 9= A, cioè B A a (<x 5 A, x 5
/ B) .
Si assume che B sia sottoinsieme proprio di qualsiasi altro insieme.
2 Operazioni su sottoinsiemi
Siano A, B due sottoinsiemi di un insieme ambiente X.
• A _ B := {x 5 X : x 5 A a x 5 B}
(intersezione; insieme formato dagli elementi comuni ad A e B)
• A ^ B := {x 5 X : x 5 A b x 5 B}
(unione; insieme formato dagli elementi che stanno in almeno uno tra A e B)
• A \ B := {x 5 A : x 5
/ B}
(dierenza; insieme formato dagli elementi di A che non stanno anche in B)
• X \ A è detto complementare di A (in X); si indica con A, Ac o c A.
Proprietà delle operazioni libro di testo
3 Prodotto cartesiano
Siano A, B 9= B due insiemi qualsiasi. Si chiame prodotto cartesiano di A e B l’insieme
delle coppie ordinate degli elementi di A e B:
A × B := {(x, y) : x 5 A a y 5 B} .
N.B. (x, y) è una coppia ordinata (9= {x, y}): x è la prima componente, y è la seconda.
Quindi A × B 9= B × A, se A 9= B.
Esempio. {1, 2} × {a, b, c} =
Più in generale: A1 × A2 × ... × An := {(x1 , x2 , ..., xn ) : xi 5 Ai , ;i = 1, ..., n} .