Richiami di logica matematica Gli oggetti elementari dei discorsi matematici sono le proposizioni logiche = enunciati di cui si possa stabilire inequivocabilmente se sono veri o falsi. Sono proposizioni logiche p = “Torino è in Italia”, q = “2 è un numero dispari”, p = “Torino è bella”, 1 q = “ 100 è un numero piccolo”. non lo sono 1 Proposizioni composte: i connettivi logici Supponiamo che p, q siano due proposizioni e costruiamone altre. qp Si legge ‘NON p’ e il connettivo q si chiama negazione logica. È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità (tabella che collega i valori di verità di più proposizioni): p qp V F Aermando qp (cioè dicendo che qp è vera), F V dico che p è falsa. p a q Si legge ‘p ET q’ e il connettivo a si chiama congiunzione logica. È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità: p q paq V V V p a q è vera se entrambe p e q sono vere, V F F falsa negli altri casi. F V F Aermando p a q, dico che entrambe p e q sono vere. F F F p b q Si legge ‘p VEL q’ e il connettivo b si chiama disgiunzione logica. È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità: p q pbq V V V p b q è vera se almeno una tra p e q è vera, V F V falsa se p e q sono entrambe false. F V V Aermando p b q, dico che almeno una tra p e q è vera. F F F p , q Si legge ‘p IMPLICA q’ e il connettivo , si chiama implicazione logica. È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità: p q p,q V V V V F F F V V F F V p , q è falsa se p è vera e q è falsa, vera negli altri casi. Aermando p , q, escludo che p sia vera e q sia falsa, cioè dico che se p è vera allora q è vera. L’implicazione si usa allora per esprimere un ragionamento deduttivo, di cui si dice che p è la premessa o ipotesi, q è la conclusione o tesi. Se p , q è vera, si dice che: • p è condizione su!ciente a!nché valga q • q è condizione necessaria a!nché valga p. Osservazioni. 1 Attenzione a non scambiare i ruoli di ipotesi e tesi. Ad esempio, supponendo che x sia un numero reale, l’implicazione x > 2 , x2 > 4 è vera, ma il viceversa è falso. 2 La tabella dice anche che dal vero non si può dedurre il falso: se p , q è vera e q è falsa, allora p deve essere falsa. Ciò è alla base delle dimostrazioni per assurdo, dove si prova che una proposizione è falsa, supponendola vera e deducendone qualcosa di falso. p / q Si legge ‘p EQUIVALE A q’ e il connettivo / si chiama equivalenza logica. È la proposizione definita dalla seguente tavola di verità: p q p/q V V V V F F F V F F F V p / q è vera se p e q hanno lo stesso valore di verità, falsa negli altri casi. Aermando p / q, dico che p , q e q , p (/ si chiama anche biimplicazione). L’equivalenza si usa allora per esprimere il fatto che due proposizioni vogliono dire la stessa cosa (se n è un numero naturale, “n è pari” / “n + 1 è dispari”). Se p / q è vera, si dice che: • p è condizione necessaria e su!ciente a!nché valga q (e viceversa) • p vale se e solo se vale q (e viceversa). Proprietà. Tramite le tavole di verità, si possono verificare le seguenti equivalenze (utili nelle dimostrazioni): p,q / qq ,qp q (p , q) / (qq ,qp è detta contronominale di p , q) p aqq q (p a q) / qp b qq (1a legge di De Morgan) q (p b q) / qp aqq (2a legge di De Morgan) 2 Predicati e quantificatori Esempio. Supponendo x numero reale, la proposizione p = “x2 > 0” è vera o falsa? p non è una proposizione, ma un predicato = enunciato che dipende da uno o più argomenti variabili in un qualche insieme, che diventa una proposizione fissando un valore per tali argomenti. Un altro modo per costruire proposizioni da predicati è quello di quantificare le variabili: se p (x) è un predicato ed A è un insieme di valori in cui varia x, gli enunciati = ;x 5 A, p (x) “esiste x in A tale che p (x) è vera” = <x 5 A, p (x) sono proposizioni. “per ogni x in A, p (x) è vera” I simboli ; e < sono detti quantificatori, rispettivamente universale ed esistenziale. Esempio. Se p (x) = “x2 > 0” con x numero reale, allora ... Esempio. ;x 5 R, x2 + 2x 1 0 è vera o falsa? Esempio. ;x 5 R, <y 5 R, x + y = 1 è vera o falsa? Esempio. <y 5 R, ;x 5 R, x + y = 1 è vera o falsa? Richiami di teoria (ingenua) degli insiemi Un insieme è una collezione, raccolta, classe, aggregato di oggetti ben distinti della nostra immaginazione (elementi dell’insieme), che formano un tutt’uno (e che si dicono [Ghrujh Cdqwru] appartenenti all’insieme). • Si scrive x 5 A per dire che x è un elemento dell’insieme A e x 5 / A altrimenti. • Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi. • L’insieme privo di elementi (insieme vuoto) è unico e si denota con B. Un insieme può essere assegnato in due modi: • tramite l’elencazione dei suoi elementi, racchiusi tra grae: A := {0, 1, 2, 3} , N := {0, 1, 2, 3, 4, ...} • tramite una descrizione dei suoi elementi, tipicamente attraverso una proprietà caratteristica p (x), soddisfatta da tutti e soli gli elementi dell’insieme: A := {x : x 5 N, x 3} = {x 5 N : x 3} (in generale A := {x : p (x)}, oppure A := {x 5 X : p (x)} con X insieme ambiente). 1 Inclusione Si scrive B A (e si dice che B è un sottoinsieme di A, o che B è incluso in A) se tutti gli elementi di B sono anche elementi di A. In simboli: B A +, ;x 5 B, x 5 A. Proprietà. Risulta B = A +, B A a A B. Si scrive B A (B sottoinsieme proprio di A, o B strettamente incluso in A) se B A a B 9= A, cioè B A a (<x 5 A, x 5 / B) . Si assume che B sia sottoinsieme proprio di qualsiasi altro insieme. 2 Operazioni su sottoinsiemi Siano A, B due sottoinsiemi di un insieme ambiente X. • A _ B := {x 5 X : x 5 A a x 5 B} (intersezione; insieme formato dagli elementi comuni ad A e B) • A ^ B := {x 5 X : x 5 A b x 5 B} (unione; insieme formato dagli elementi che stanno in almeno uno tra A e B) • A \ B := {x 5 A : x 5 / B} (dierenza; insieme formato dagli elementi di A che non stanno anche in B) • X \ A è detto complementare di A (in X); si indica con A, Ac o c A. Proprietà delle operazioni libro di testo 3 Prodotto cartesiano Siano A, B 9= B due insiemi qualsiasi. Si chiame prodotto cartesiano di A e B l’insieme delle coppie ordinate degli elementi di A e B: A × B := {(x, y) : x 5 A a y 5 B} . N.B. (x, y) è una coppia ordinata (9= {x, y}): x è la prima componente, y è la seconda. Quindi A × B 9= B × A, se A 9= B. Esempio. {1, 2} × {a, b, c} = Più in generale: A1 × A2 × ... × An := {(x1 , x2 , ..., xn ) : xi 5 Ai , ;i = 1, ..., n} .