4^B/C – Fila A 30/10/2010 Conservazione della quantità di moto 1. Una palla da biliardo di 450 g che procede alla velocità di 1,2 m/s colpisce un’altra palla ferma di 350 g. Dopo l’urto elastico la prima palla procede a 0,15 m/s nello stesso verso. A quale velocità si muove la seconda? Verifica la conservazione dell’energia cinetica totale. m1 v1 + m2 v2 = m1 V1 + m2 V2 Per il principio di conservazione della quantità di moto: Considerato che v2 = 0 , posso ricavare la velocità finale della seconda palla da biliardo: V2 = Sostituendo i valori numerici: Verifico, come richiesto, che 0,45 kg ⋅ 1,2 m / s − 0,45 kg ⋅ 0,15 m / s = 0,35 kg ∆ Ec = 0 , cioè: Eci = Ec f ⇒ m1 v1 − m1 V1 m2 1,35 m / s 1 1 1 1 m1 v12 + m2 v22 = m1 V12 + m2 V22 2 2 2 2 1 ⋅ 0,45 kg ⋅ (1,2 m / s ) 2 = 0,324 J 2 1 1 Ec f = ⋅ 0,45 kg ⋅ ( 0,15 m / s ) 2 + ⋅ 0,35 kg ⋅ (1,35 m / s ) 2 = 0,324 J 2 2 ∆ Ec = Ec f − Eci = 0,324 J − 0,324 J = 0 ⇒ ∆ Ec = 0 c.v.d. Sostituendo i dati numerici: E perciò: V2 = Eci = 2. Un soprammobile cadendo sul pavimento si spezza in tre pezzi di uguale massa, due dei quali hanno la stessa velocità v e si muovono lungo rette che formano un angolo di 60°. Con quale velocità e in quale direzione e verso si muove il terzo pezzo? Considerando la conservazione della quantità di moto e sapendo che essa è uguale a zero prima che il soprammobile cada sul pavimento, ottengo la relazione: m v + m v + m v3 = 0 v3 = − ( v + v ) . Ovvero: Cioè, la velocità del terzo pezzo è opposta alla somma delle velocità degli altri due pezzi. Graficamente otteniamo che: v In altre parole, il vettore v3 v3 è la diagonale del rombo che ha i lati uguali alla velocità v . Per ricavarne il modulo, devo ricordare che il rombo, in questo caso, consiste in due triangoli equilateri attaccati per un lato. Perciò la diagonale maggiore è pari al doppio dell’altezza del triangolo equilatero. Il triangolo equilatero ha lato v (il modulo della velocità v ), perciò l’altezza è: 2 h= E da qui posso concludere che: 1 v v2 − = v 2 2 v3 = v 3 3 v 4^B/C – Fila A 30/10/2010 Conservazione della quantità di moto 3. Un pallina da tennis di 50 g batte sulla racchetta di un giocatore alla velocità di 30 m/s, il giocatore rilancia la pallina all’avversario alla velocità di 35 m/s. Qual è l’impulso impresso alla pallina? Se il contatto fra la pallina e la racchetta dura 1,3 ⋅ 10 − 2 s , qual è l’intensità media della forza impressa alla pallina? I = ∆q I = m ( v f − vi ) = 0,05 kg ⋅ ( 35 m / s + 30 m / s ) = Per determinare l’impulso, applico il teorema dell’impulso: Ovvero: Considerando che: 4. I = F ⋅ ∆t ⇒ F= I 3,25 N s = = ∆ t 1,3 ⋅ 10 − 2 s 3,25 N s 250 N Su un corpo di massa 200 g in moto rettilineo con velocità costante di 10 m/s si applica una forza avente la direzione della traiettoria, il verso della velocità iniziale del corpo e di intensità variabile col tempo come indica la figura. Calcola la velocità del corpo negli istanti t1 = 3s, t2 = 6s, t3 = 8s. F (N) Dal grafico, possiamo ricavare l’impulso nei tre diversi momenti, come area sottesa dal grafico: I1 = 3s ⋅ 6 N = 9 Ns 2 Considerato il teorema dell’impulso e conoscendo la velocità iniziale, possiamo ricavare la velocità finale: I = ∆ q ⇒ I = m ( v f − vi ) ⇒ v f1 = I1 + m vi = 55 m / s m t (s) Analogamente per gli istanti t2 = 6s e t3 = 8s. I2 = F (N) (3s + 6 s) ⋅ 6 N = 27 Ns 2 v f2 = I 2 + m vi = 145 m / s m Nel caso dell’impulso dell’istante t3, considero l’area di tutto il trapezio: I3 = t (s) (3s + 8 s ) ⋅ 6 N = 33 Ns 2 v f3 = I 3 + m vi = 175 m / s m 4^B/C – Fila A 30/10/2010 5. Conservazione della quantità di moto Una sferetta con velocità 5,66 m/s ne urta un’altra della stessa massa, inizialmente ferma. Se l’urto è perfettamente elastico, ma le velocità finali delle due sfere non hanno la stessa direzione, calcola la velocità delle due sferette dopo l’urto, sapendo che hanno lo stesso modulo, e determina l’angolo che formano con la velocità iniziale. Essendo l’urto elastico, valgono le leggi di conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica, ovvero: m v1 = mV1 + mV2 1 1 1 2 2 2 m v1 = m V1 + m V2 2 2 2 ⇒ v1 = V1 + V2 2 v1 = V12 + V22 In altre parole, la velocità iniziale della prima massa è uguale alla somma vettoriale delle due velocità finali ed inoltre il triangolo che si viene a formare è un triangolo rettangolo. Sapendo che V1 = V2 , il triangolo non è solo rettangolo, ma anche isoscele, perciò le due velocità finali formano un angolo di 45° con la velocità iniziale. Per ricavarne il valore considero la seconda relazione: v12 = V12 + V12 ⇒ 2V12 = v12 ⇒ V1 = v1 = 2 4 m/ s y 6. Tre palline, due di massa m e una di massa 3 m, sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato l, come indicato in figura. Determina le coordinate del centro di massa del sistema. m m x Trattandosi di un triangolo equilatero, possiamo determinare le coordinate delle posizioni delle tre masse, partendo in senso antiorario dalla massa m che si trova sul semiasse negativo delle x: l m1 − ; 0 2 l m2 ; 0 2 l 3m 0; 2 3 Utilizzando le seguenti formule, possiamo determinare le coordinate del centro di massa: m1 xm1 + m2 xm2 + 3 m x3 m x = m1 + m2 + 3 m y = m1 ym1 + m2 ym2 + 3 m y3 m m1 + m2 + 3 m Ovvero: x =0 3l y = 10 ⇒ 3 l l m ⋅ − + m ⋅ + 3m ⋅ 0 2 2 x = m + m + 3m l 3 m ⋅ 0 + m ⋅ 0 + 3m ⋅ 2 y= m + m + 3m ⇒ x =0 l 3m ⋅ 3 2 y= 5m sono le coordinate del centro di massa del sistema.